¿Qué son las identidades trigonométricas?

Identidades trigonométricas

Las identidades trigonométricas son igualdades entre las diferentes funciones trigonométricas. Gracias a estas equivalencias trigonométricas, podemos deducir una determinada razón trigonométrica en función de cualquier otra. Por lo tanto, es necesario conocer las fórmulas de estas razones para poder comprender las fórmulas de las identidades trigonométricas. Si en tu caso no las conoces, te recomendamos que visites el último enlace.

Tabla de identidades trigonométricas

Formulario de identidades trigonométricas
Formulario de identidades trigonométricas

Identidades trigonométricas fundamentales

Existen una serie de identidades trigonométricas básicas que son consideradas las más importantes, esto se debe a que conforman la base teórica de las demás. Estas son las más comunes de encontrar y posiblemente, las más fáciles de recordar, ya que son bastante intuitivas. Recuerda que todas las fórmulas las basaremos en la siguiente imagen:

Triángulo rectángulo

Identidad trigonométrica fundamental

La primera identidad de todas es la que se conoce como identidad trigonométrica fundamental, también conocida como relación entre seno y coseno. A continuación puedes encontrar su demostración matemática: sin² (α) + cos² (α) = 1.

Demostración identidad trigonométrica fundamental

En el último paso, básicamente aplicamos el teorema de Pitágoras, porque c² = a² + b², entonces nos queda c² / c² lo cual es igual a 1. En conclusión, podemos afirmar que: sin² (α) + cos² (α) = 1.

Relación entre secante y tangente (secante al cuadrado)

En segunda instancia, tenemos una identidad trigonométrica que relaciona la secante con la tangente, su expresión es la siguiente: sec² (α) = 1 + tan² (α). En la siguiente imagen puedes ver algunas fórmulas de recordatorio que conforman esta identidad y después, el procedimiento para llegar a la fórmula final:

Demostración relación entre secante y tangente

En este caso, estamos usando las fórmulas de las razones trigonométricas para hallar otras razones. En conclusión, podemos afirmar que: sec² (α) = 1 + tan² (α).

Relación entre cosecante y cotangente (cosecante al cuadrado)

A partir de la definición de cosecante y cotangente podemos encontrar una conexión en la fórmula de la tangente, es gracias a esta que podemos deducir otra identidad trigonométrica: cosec² (α) = 1 + cotg² (α).

Demostración relación entre cosecante y cotangente

Con esta demostración podemos verificar que: cosec² (α) = 1 + cotg² (α). Además, podemos ver que esta relación guarda una cierta similitud con la anterior, lo cual se debe a la similitud entre tangente y cotangente.

Razones trigonométricas del ángulo suma y del ángulo resta

Las razones del ángulo suma o del ángulo resta son un tipo de identidades que se obtienen al calcular las razones trigonométricas de la suma o resta de dos ángulos. Por ejemplo, si queremos calcular el seno de 90 + 60, hay una serie de fórmulas que nos facilitan este cálculo. A continuación puedes encontrar una lista con todas las fórmulas de las identidades trigonométricas de este estilo:

Seno del ángulo suma: sen (α + β) = sen (α) · cos (β) + cos (α) · sen (β)

Seno del ángulo resta: sen (α – β) = sen (α) · cos (β) – cos (α) · sen (β)

Coseno del ángulo suma: cos (α + β) = cos (α) · cos (β) – sen (α) · sen (β)

Coseno del ángulo resta: cos (α – β) = cos (α) · cos (β) + sen (α) · sen (β)

Tangente del ángulo suma: tan (α + β) = (tan (α) + tan (β)) ÷ (1 – tan (α) · tan (β))

Tangente del ángulo resta: tan (α – β) = (tan (α) + tan (β)) ÷ (1 + tan (α) · tan (β))

Es evidente que calcular el seno de 150º es más fácil que usar las fórmulas que acabamos de explicar para calcular el seno de (90º + 60º). Por lo tanto, ¿Por qué son importantes estas fórmulas? Pues bien, la respuesta es que estas identidades nos permiten calcular las razones trigonométricas de ángulos complejos a partir de ángulos más simples. En consecuencia, si nos memorizamos las razones de los ángulos notables (los más relevantes), no nos hará falta utilizar la calculadora para calcular las razones de los ángulos más complejos como puede ser 150º.

Razones trigonométricas del ángulo doble

Cuando queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo doble (2α), podemos hacerlo por medio de una serie de identidades. Concretamente, lo podemos hacer a través de unas fórmulas muy similares a las que acabamos de comentar en el apartado previo. Ya que, si cambiamos β por α, en las anteriores expresiones, nos queda (α + α), lo cual es equivalente a (2α). Teniendo en mente esto, podemos deducir las siguientes identidades:

Razones trigonométricas del ángulo doble

A continuación, puedes ver las demostraciones:

Seno del ángulo doble: sen (2α) = sen (α) · cos (α) + cos (α) · sen (α) = 2 · sen (α) · cos (α)

Coseno del ángulo doble: cos (α + α) = cos (α) · cos (α) – sen (α) · sen (α) = cos² (α) – sen² (α)

Tangente del ángulo doble: tan (2α) = 2 tan (α) ÷ (1 – tan² (α))

Razones trigonométricas del ángulo mitad

También, existen identidades que nos permiten calcular las razones trigonométricas del ángulo mitad (α/2):

Razones trigonométricas del ángulo mitad

A partir de las fórmulas ya conocidas siguientes:

1 = sen² (β) + cos² (β)

cos (2β) = cos² (β) – sen² (β)

Si hacemos que β = α/2, entonces podemos demostrar estas identidades, restando ambas expresiones en el caso del seno, sumándolas en el caso del coseno y dividiendo las dos fórmulas obtenidas (la del seno y la del coseno) en el caso de la tangente. Solamente, falta aislar la razón que queramos calcular en las fórmulas que obtenemos a continuación:

Seno del ángulo mitad: 1 – cos (α) = 2 sen² (α/2); sen² (α/2) = (1 – cos (α)) ÷ 2

Coseno del ángulo mitad: 1 + cos (α) = 2 cos² (α/2); cos² (α/2) = (1 + cos (α)) ÷ 2

Razones trigonométricas del ángulo triple

En el caso de tener un ángulo triple (3α), también podemos usar unas identidades para calcular sus razones trigonométricas. Estas identidades provienen de las siguientes fórmulas ya explicadas: las identidades del ángulo doble, las identidades del ángulo suma y la identidad fundamental de la trigonometría.

Razones trigonométricas del ángulo triple

Para demostrar estas identidades, tenemos que recurrir a las fórmulas del ángulo suma:

Seno del ángulo suma: sen (3α) = sen (α + 2α) = sen (α) · cos (2α) + sen (2α) · cos (α)

Coseno del ángulo suma: cos (3α) = cos (α + 2α) = cos (α) · cos (2α) – sen (α) · sen (2α)

Entonces, si aplicamos las fórmulas del ángulo doble en las expresiones que acabamos de comentar y aplicamos la identidad fundamental de la trigonometría, podemos demostrar las identidades. Cabe mencionar que, el uso de la identidad trigonométrica fundamental nos permite convertir todas las razones de la expresión en una misma. Es por eso que la fórmula del seno del ángulo triple solo está compuesta por senos y la del coseno solamente contiene cosenos. A continuación, puedes ver el procedimiento completo:

Seno del ángulo triple: sen (3α) = sen (α + 2α) = sen (α) · cos (2α) + sen (2α) · cos (α) =

= sen (α) · (cos² (α) – sen² (α)) + 2 sen (α) · cos (α) · cos (α) =

= sen (α) · cos² (α) – sen³ (α) + 2 sen (α) · cos² (α) =

= sen (α) · (1 – sen² (α)) – sen³ (α) + 2 sen (α) · (1 – sen² (α)) =

= sen (α) – sen³ (α) – sen³ (α) + 2 sen (α) – 2 sen³ (α) =

= 3 sen (α) – 4 sen³ (α)

Coseno del ángulo triple: cos (3α) = cos (α + 2α) = cos (α) · cos (2α) – sen (α) · sen (2α) =

= cos (α) · (cos² (α) – sen² (α)) – sen (α) · 2 sen (α) · cos (α) =

= cos³ (α) – cos (α) · sen² (α) – 2 cos (α) · sen² (α) =

= cos³ (α) – 3 cos (α) · sen² (α) =

= cos³ (α) – 3 cos (α) · (1 – cos² (α)) =

= cos³ (α) – 3 cos (α) + 3 cos³ (α) =

= 4 cos³ (α) – 3 cos (α)

Por último, la tangente del ángulo triple se puede calcular de dos maneras: la primera es dividiendo la fórmula del seno entre la del coseno y la segunda es sustituyendo la expresión de la tangente del ángulo doble, en la fórmula de la tangente del ángulo suma siguiente: tan (α + 2α) = (tan (α) + tan (2α)) ÷ (1 – tan (α) · tan (2α)).

Identidades trigonométricas según el tipo de ángulo

Es importante comentar una serie de fórmulas que son una especie de reglas para calcular razones trigonométricas de manera directa y rápida. De hecho, también se pueden considerar identidades trigonométricas, ya que, cumplen las mismas características que todas las expresiones que acabamos de comentar. Concretamente, estas fórmulas nos permiten determinar las razones trigonométricas de un ángulo a partir de la relación que mantiene con otro ángulo.

Ángulos complementarios

Los ángulos complementarios (α y β) son aquellos que tienen una suma igual a 90º, por lo tanto, cuando los sumamos obtenemos un ángulo recto. Para determinar que α es el ángulo complementario de β, tenemos que resolver una ecuación muy sencilla: α = 90 – β, si el resultado de esta equivalencia concuerda, entonces podemos afirmar que son complementarios. Gracias a estas identidades podemos deducir las razones trigonométricas de un ángulo a partir de las del otro.

Seno del ángulo complementario: sen (90º – α) = cos (α)

Coseno del ángulo complementario: cos (90º – α) = sen (α)

Tangente del ángulo complementario: tan (90º – α) = cotan (α)

Cosecante del ángulo complementario: cosec (90º – α) = sec (α)

Secante del ángulo complementario: sec (90º – α) = cosec (α)

Cotangente del ángulo complementario: cotan (90º – α) = tan (α)

Ángulos suplementarios

Los ángulos suplementarios (α y β) son aquellos que tienen una suma igual a 180º o π radianes, por lo tanto, podemos deducir la fórmula α + β = 180º. O dicho de otro modo, si el ángulo suplementario de α es β, entonces se tiene que cumplir la siguiente expresión β = 180 – α. A continuación, puedes ver el listado de identidades que podemos deducir sobre estos ángulos:

Seno del ángulo suplementario: sen (180º – α) = sen (α)

Coseno del ángulo suplementario: cos (180º – α) = -cos (α)

Tangente del ángulo suplementario: tan (180º – α) = -tan (α)

Cosecante del ángulo suplementario: cosec (180º – α) = cosec (α)

Secante del ángulo suplementario: sec (180º – α) = -sec (α)

Cotangente del ángulo suplementario: cotan (180º – α) = -cotan (α)

Ángulos conjugados

Los ángulos conjugados (α y β) son aquellos que tienen una suma igual a 360º o 2π radianes, es por ello que podemos deducir la fórmula α + β = 360º. Y a partir de esta primera fórmula, podemos expresar uno de los ángulos en función del otro de la siguiente manera: α = 360º – β o β = 360º – α. Ahora te mostraremos las igualdades de los ángulos conjugados:

Seno del ángulo conjugado: sen (360º – α) = – sen (α)

Coseno del ángulo conjugado: cos (360º – α) = cos (α)

Tangente del ángulo conjugado: tan (360º – α) = – tan (α)

Cosecante del ángulo conjugado: cosec (360º – α) = – cosec (α)

Secante del ángulo conjugado: sec (360º – α) = sec (α)

Cotangente del ángulo conjugado: cotan (360º – α) = – cotan (α)

Ángulos opuestos

Los ángulos opuestos o ángulos negativos (α y β) son aquellos que tienen un mismo valor numérico, pero tienen diferente signo, un ejemplo de este tipo de ángulos son 30º y -30º. Algo que hay que tener en mente es que el signo negativo indica que el giro es en sentido horario, mientras que un ángulo positivo gira en sentido antihorario.

Seno del ángulo opuesto: sen (-α) = – sen (α)

Coseno del ángulo opuesto: cos (-α) = cos (α)

Tangente del ángulo opuesto: tan (-α) = – tan (α)

Cosecante del ángulo opuesto: cosec (-α) = – cosec (α)

Secante del ángulo opuesto: sec (-α) = sec (α)

Cotangente del ángulo opuesto: cotan (-α) = – cotan (α)

Ángulos que difieren en 90º o ángulos más/menos π/2

Los ángulos que difieren en 90º o ángulos más/menos π/2 (α y β) son aquellos que tienen una diferencia de 90º. Por lo tanto, se pueden expresar como βα = 90º, siendo β 90º más grande que α. Estos ángulos también tienen una serie de fórmulas que relacionan las razones trigonométricas de ambos ángulos.

Seno del ángulo que difiere en 90º: sen (90º + α) = cos (α)

Coseno del ángulo que difiere en 90º: cos (90º + α) = -sen (α)

Tangente del ángulo que difiere en 90º: tan (90º + α) = – cotan (α)

Cosecante del ángulo que difiere en 90º: cosec (90º + α) = sec (α)

Secante del ángulo que difiere en 90º: sec (90º + α) = -cosec (α)

Cotangente del ángulo que difiere en 90º: cotan (90º + α) = -cotan (α)

Ángulos que difieren en 180º o ángulos más/menos π

Los ángulos más/menos π (α y β) equivalen a ángulos que difieren en 180º. Por lo tanto, se pueden expresar por medio de la fórmula siguiente: βα = 180º, siendo β 180º más grande que α. A continuación, te mostramos las identidades trigonométricas que relacionan las razones trigonométricas de estos ángulos:

Seno del ángulo que difiere en 180º: sen (180º + α) = -sen (α)

Coseno del ángulo que difiere en 180º: cos (180º + α) = -cos (α)

Tangente del ángulo que difiere en 180º: tan (180º + α) = tan (α)

Cosecante del ángulo que difiere en 180º: cosec (180º + α) = -cosec (α)

Secante del ángulo que difiere en 180º: sec (180º + α) = -sec (α)

Cotangente del ángulo que difiere en 180º: cotan (180º + α) = cotan (α)

Transformaciones de razones trigonométricas

Por último, hay algunas identidades trigonométricas que nos permiten expresar una determinada razón trigonométrica por medio de otras operaciones. Entonces, si tenemos una suma de razones y queremos expresarlo en forma de producto, podemos recurrir a estas fórmulas. Aunque, por desgracia no hay una expresión para cada operación aritmética, solamente se puede pasar de suma o resta a producto y viceversa.

Transformar suma o resta en producto

Las siguientes cuatro fórmulas nos ayudan a calcular las sumas y las restas de las funciones trigonométricas:

Transformar suma o resta en producto

Transformar producto en suma o resta

Las siguientes cuatro fórmulas nos ayudan a calcular los productos de las funciones trigonométricas:

Transformar producto en suma o resta

¿Qué son las razones trigonométricas?

Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas de un ángulo son las razones que se obtienen a partir de los tres lados de un triángulo rectángulo. Dicho de otro modo, son los valores que resultan de comparar por medio de cocientes (divisiones) sus tres lados. Aunque cabe destacar, que estas razones solamente existen en los triángulos rectángulos (triángulos que tienen un ángulo de 90º).

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Las seis razones trigonométricas más importantes son: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. A continuación, explicaremos en gran detalle cómo se define cada una de estas razones y hablaremos sobre la fórmula que las caracteriza. Para poder entender las siguientes explicaciones tomaremos en cuenta el siguiente triángulo rectángulo:

Triángulo rectángulo

Seno

El seno de un ángulo (sen o sin) es igual al cociente del cateto opuesto (a) entre la hipotenusa (c), por lo tanto, la fórmula del seno es la siguiente: sen (α) = a / c. Es muy importante conocer esta definición de seno, ya que, esta es la base de toda la trigonometría, al igual que las otras razones que comentaremos en este apartado.

Fórmula seno

A través del teorema del seno, podemos calcular cualquier lado del triángulo, esto lo podemos hacer relacionando los cocientes de un determinado ángulo entre su lado correspondiente. Por ejemplo, si queremos calcular el lado a y tenemos los valores del lado b y de los ángulos A y B, podemos hacerlo usando la fórmula: a / sen (A) = b / sen (B). Resolviendo esta sencilla ecuación obtenemos el valor correspondiente a la variable que queremos calcular.

Coseno

El coseno de un ángulo (cos) es igual al cociente del cateto contiguo (b) entre la hipotenusa (c), por lo tanto, la fórmula del coseno queda así: cos (α) = b / c. En este caso, la fórmula está compuesta por los dos lados del triángulo que están en contacto con el ángulo que queremos estudiar, en este ejemplo, el ángulo A o α.

Fórmula coseno

Con el coseno, también tenemos una manera de calcular los lados del triángulo, que es a partir del teorema del coseno. Este nos permite relacionar los lados con los ángulos y nos ofrece las siguientes tres expresiones:

a² = b² + c² – 2bc · cos (A)

b² = a² + c² – 2ac · cos (B)

c² = a² + b² – 2ab · cos (C)

Tangente

La tercera razón más importante, con la cual cerraremos el conjunto de razones originales, es la tangente (tan o tg). Esta se calcula haciendo la división entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo (b), por lo tanto, la fórmula de la tangente nos queda así: tan (α) = a / b. A continuación, puedes verlo de manera gráfica:

Fórmula tangente

La tangente también tiene un teorema propio, el cual se llama teorema de la tangente. Este nos permite relacionar las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los ángulos. El enunciado es el siguiente: «el cociente de la suma de dos lados entre su resta es igual al cociente entre la tangente de la media de los dos ángulos opuestos a dichos lados y la tangente de la mitad de la diferencia de estos».

Razones trigonométricas derivadas

A partir de las tres razones trigonométricas que acabamos de comentar, podemos obtener otras razones trigonométricas derivadas. Estas se obtienen al hacer la razón inversa respecto al seno, coseno y tangente.

  • Cosecante: es la razón inversa del seno y se calcula con las fórmulas: cosec (α) = c / a y cosec (α) = 1 / sen (α).
  • Secante: es la razón inversa del coseno y se calcula con las fórmulas: sec (α) = c / b y sec (α) = 1 / cos (α).
  • Cotangente: es la razón inversa de la tangente y se calcula con las fórmulas: cotg (α) = b / a y cotg (α) = 1 / tan (α).

Tabla de razones trigonométricas

A continuación, puedes ver una tabla que resume todas las razones explicadas hasta ahora. Con esta tabla podrás memorizar de manera eficiente todas las fórmulas, ya que, permite distinguir fácilmente las diferencias entre cada expresión matemática.

Tabla de razones trigonométricas

Razones trigonométricas en una circunferencia

Otra manera de estudiar la trigonometría es a través de la circunferencia goniométrica o círculo unitario, esta circunferencia tiene radio igual a 1 y su origen es el punto (0, 0). El dibujo consta de un círculo y de un triángulo rectángulo representado en el interior del círculo, concretamente, el ángulo que estudiaremos tiene que estar tocando el punto de origen.

Circunferencia goniométrica

Cuando tenemos esta imagen, sabemos que el radio es igual a la hipotenusa, el cual es igual a 1. Entonces, si queremos calcular el seno y el coseno, usaremos el valor del radio y el de los otros lados del triángulo. Para calcular el seno, haremos el siguiente cálculo: sen (A) = CD / AC = CD / radio = CD / 1 = CD, por lo tanto, el seno de A es a. Por otro lado, para calcular el coseno, haremos el cálculo: cos (A) = AD / AC = AD / radio = AD / 1 = AD, como resultado, el coseno de A es c1.

Es muy importante tener en cuenta dos cosas. La primera es que el uso de este círculo en el estudio de las razones trigonométricas, se debe a la necesidad de tratar con ángulos más grandes de los que se puede estudiar con el triángulo. Por ejemplo, el ángulo de 150º no se puede estudiar a través de un simple triángulo, dado que es demasiado grande. Y la segunda cosa a tener en cuenta es que tanto el seno como el coseno, nunca podrán adoptar valores mayores al 1 y menores al -1.

Signo de las razones trigonométricas

Como ya hemos dicho antes, para tratar con ángulos más grandes que los que nos permite tratar un triángulo, usamos la circunferencia goniométrica. Para hacerlo, representamos un triángulo en el interior del círculo exactamente en uno de los cuatro cuadrantes que dividen la circunferencia, en la siguiente imagen se pueden ver representados los cuatro cuadrantes.

Cuadrantes de la circunferencia goniométrica
Ejemplo de los cuatro cuadrantes

Entonces, para poder distinguir entre un ángulo de 30 y uno de 210, que vienen a ser lo mismo en cuanto a la distribución dentro del triángulo, usaremos una distribución de signos según el cuadrante en el que se encuentre el triángulo. A continuación, puedes ver los signos correspondientes a cada cuadrante y un ejemplo dibujado.

Signos cuadrante de la circunferencia

Por ejemplo, los ángulos de 30º y de 210º comparten el mismo valor numérico, pero su seno y su coseno tienen signo contrario. Por lo tanto: sen (30) = 1/2 y cos (30) = √3/2, mientras que sen (210) = -1/2 y cos (210) = -√3/2. Para llegar a este resultado hemos representado ambos ángulos en la circunferencia (imagen de abajo) y hemos seguido las pautas de los signos.

Ejemplo de representación de un ángulo

Por último, comentar que es posible tener ángulos mayores a 360º, aunque no lo parezca porque la circunferencia es de tan solo 360º. Pero, si queremos resolver un ángulo de 750º, podemos hacer una reducción a un ángulo que esté entre 0º y 360º. Sencillamente, dividimos 750 entre 360 y el resto es el ángulo que nos queda, en el caso de 750º obtenemos un ángulo de 30º.

Tipos de ángulos según el cuadrante

Existen algunas relaciones entre diferentes ángulos, las cuales nos permiten calcular las razones trigonométricas de todos los ángulos pertenecientes a la circunferencia. Nos permiten obtener esas razones a partir de la reducción al primer cuadrante. Esto que quiere decir que hacemos una simplificación de un determinado ángulo al primer cuadrante y después aplicamos los signos correspondientes. A continuación puedes encontrar los diferentes procedimientos explicados (según el cuadrante):

Primer cuadrante

En este primer cuadrante (0º – 90º) solamente tenemos que resolver la razón trigonométrica con el ángulo que nos han dado. Y si nos fijamos en la imagen que hemos explicado anteriormente sobre los símbolos, tanto el seno como el coseno tienen un positivo delante (el resultado que obtengamos no se verá afectado por el signo).

Reducción del segundo cuadrante al primero

En el segundo cuadrante (90º – 180º) estamos tratando con ángulos suplementarios, lo cual quiere decir que entre los dos ángulos suman 180º. Por lo tanto, tenemos que hacer una reducción del segundo cuadrante al primero y esto lo hacemos con la fórmula 180 – α = β, siendo α el ángulo del primer cuadrante y β el ángulo original.

Ángulos del primer cuadrante

Por ejemplo, si nos dan el ángulo 135º (el cual pertenece al segundo cuadrante) tenemos que encontrar el ángulo del primer cuadrante que se relaciona con este primero. En este ejemplo, el ángulo (α) que buscamos es 45º, ya que 180 – 45 = 135. Por lo tanto, se cumplirá: sen (135) = sen (180 – 45) = sen (45), cos (135) = cos (180 – 45) = -cos (45) y tan (135) = tan (180 – 45) = -tan (45).

Reducción del tercer cuadrante al primero

En el tercer cuadrante (180º – 270º) estamos tratando con ángulos que difieren en 80º, lo cual quiere decir que los ángulos están a una distancia de 180º. Entonces, si queremos hacer una reducción del tercer cuadrante al primero tenemos que usar la fórmula 180 + α = β, siendo α el ángulo del primer cuadrante y β el ángulo original.

Reducción del tercer cuadrante al primero

Por ejemplo, si nos dan el ángulo 225º (el cual pertenece al tercer cuadrante) tenemos que encontrar el ángulo del primer cuadrante que concuerda con este. En el caso del 225º, el ángulo (α) que estamos buscando es otra vez 45º, ya que 180 + 45 = 225. Por lo tanto, se cumplirá sen (225) = sen (180 + 45) = -sen (45), cos (225) = cos (180 + 45) = -cos (45) y tan (225) = tan (180 + 45) = tan (45).

Reducción del cuarto cuadrante al primero

En el cuarto cuadrante (270º – 360º) estamos tratando con ángulos opuestos, lo cual quiere decir que los ángulos son iguales numéricamente, pero tienen signo contrario, como por ejemplo el 30º y el -30º (equivalente a 330º, ya que 360º – 30º = 330º). Es importante tener en cuenta, que los ángulos opuestos se pueden escribir como un ángulo positivo y un ángulo negativo o como dos ángulos positivos, (en el ejemplo que acabamos de comentar hemos explicado la diferencia).

Entonces, si queremos hacer una reducción del cuarto cuadrante al primero tenemos que usar la fórmula 360 – α = β, siendo α el ángulo del primer cuadrante y β el ángulo original.

Reducción del cuarto cuadrante al primero

Por ejemplo, si nos dan el ángulo 315º (el cual pertenece al cuarto cuadrante) tenemos que encontrar el ángulo del primer cuadrante que se relaciona con este primero. En el caso del ángulo (α) que estamos buscando es otra vez 45º, ya que, 360 – 45 = 315. Por lo tanto, se cumplirá sen (315) = sen (360 – 45) = -sen (45), cos (315) = cos (360 – 45) = cos (45) y tan (315) = tan (360 – 45) = -tan (45). En conclusión, hemos visto los ángulos derivados de 45º de todos los cuadrantes.

Razones trigonométricas de los ángulos más importantes

Existen una serie de ángulos, llamados ángulos notables, los cuales son los más comunes en la trigonometría. Es muy recomendable saberse sus razones trigonométricas de memoria. Por lo tanto, a continuación hemos creado una tabla que contiene las razones trigonométricas de estos ángulos y de sus derivados (mismos ángulos, pero con una diferencia de 90, 180 o 270 grados):

Ángulo (º) Ángulo (rad) Seno Coseno Tangente
0 rad 0 1 0
30º 1/6 π rad 1/2 √3/2 √3/3
45º 1/4 π rad √2/2 √2/2 1
60º 1/3 π rad √3/2 1/2 √3
90º 1/2 π rad 1 0
120º 5/8 π rad √3/2 -1/2 -√3
135º 3/4 π rad √2/2 -√2/2 -1
150º 5/8 π rad 1/2 -√3/2 -√3/3
180º π rad 0 -1 0
225º 5/4 π rad -√2/2 -√2/2 1
270º 3/2 π rad -1 0
315º 7/4 π rad -√2/2 √2/2 -1

Relación entre las razones trigonométricas

Existen bastantes maneras de relacionar las diferentes razones trigonométricas. A partir de estas relaciones, obtenemos una especie de igualdades entre las distintas funciones trigonométricas, las cuales se llaman identidades trigonométricas. Gracias a este tipo de identidades podemos calcular una razón en función de cualquier otra. Cabe destacar que hay muchos tipos de identidades trigonométricas diferentes, los cuales se clasifican según el tipo de relación que sustenta a la propia expresión.

Ejercicios resueltos de razones trigonométricas

A continuación, te planteamos una serie de ejercicios con los que podrás practicar toda la teoría explicada en este artículo. Recuerda que si en algún momento te bloqueas o te surge cualquier duda, puedes volver a leerte el artículo y seguramente, con una segunda lectura lo entenderás todo mucho mejor. Dicho esto, ya puedes empezar a practicar:

Ejercicio 1

Calcula las seis razones trigonométricas del ángulo 225º:

Empezaremos calculando el ángulo (α), el cual es igual a: 180 + α = 225º, por lo tanto, α = 45º.

sen (225) = sen (180 + 45) = -sen (45) = -√2/2

cos (225) = cos (180 + 45) = -cos (45) = -√2/2

tan (225) = tan (180 + 45) = tan (45) = 1

Ejercicio 2

Calcula las seis razones trigonométricas del ángulo 120º:

Empezaremos calculando el ángulo (α), el cual es igual a: 180 – α = 120º, por lo tanto, α = 60º.

sen (120) = sen (180 – 60) = sen (60) = √3/2

cos (120) = cos (180 – 60) = -cos (60) = -1/2

tan (120) = tan (180 – 60) = -tan (60) = -√3

Ejercicio 3

Calcula las seis razones trigonométricas del ángulo 510º:

Antes de empezar, tenemos que hacer la reducción de ángulos: 510 / 360 = 1 vuelta y un ángulo de 150 restante. Seguidamente, calculamos el ángulo (α), el cual es igual a: 180 – α = 150, por lo tanto, α = 30º.

sen (150) = sen (180 – 30) = sen (30) = 1/2

cos (150) = cos (180 – 30) = -cos (30) = -√3/2

tan (150) = tan (180 – 30) = -tan (30) = -√3/3

Cuadrados mágicos

Cuadrados mágicos

Los cuadrados mágicos son un juego matemático para pensar, el cual entrena nuestra capacidad de cálculo de una manera divertida y emocionante. Es por eso que es uno de los mejores recursos para enseñar matemáticas a los estudiantes jóvenes.

¿Qué es un cuadro mágico y cómo se resuelve?

Un cuadrado mágico es una especie de tabla o matriz que está compuesta por diferentes casillas, en las cuales se escriben números enteros. Pero, no se pueden poner de cualquier manera, hay que seguir una serie de normas:

  • Todas las sumas mágicas (sumas de todos los valores de cualquier línea horizontal, vertical o diagonal) tienen que dar siempre el valor equivalente a la constante mágica (es un valor único).
  • No se puede repetir ningún número dos veces.
  • Solamente puedes usar números consecutivos (por ejemplo, del 1 al 9) o números que siguen una determinada serie, por ejemplo: números impares, múltiplos de 5, entre otras.

También, es importante destacar que podemos hacer diferentes clasificaciones de cuadrados según la estructura de estos. La primera es según el grado del cuadrado, el cual equivale al número de casillas que hay en una línea o en una columna. Y la segunda es según el tipo de grado de la tabla (números pares o números impares). A partir de estas distinciones, podemos organizar todos los cuadrados en diferentes categorías, aunque esto lo detallaremos más adelante.

Ejemplo de cuadrado mágico
Ejemplo de un cuadrado mágico

¿Cómo resolver cuadrados mágicos?

Para resolver este juego matemático podemos usar dos métodos distintos: usar la geometría o calcular la constante mágica. Ambos procedimientos son igual de válidos, aunque uno te permite llegar de una manera más rápida al resultado, mientras que el otro requiere de más tiempo y razonamiento. A continuación, te explicaremos ambos métodos, así podrás elegir el que más te guste y podrás adaptarte mejor a cada situación.

¿Cuál es la fórmula de los cuadros mágicos?

El primer método consiste en calcular la constante mágica, para lo cual tenemos que usar la siguiente fórmula: n(n2+1)/2, siendo n el grado del cuadrado. Y una vez tenemos este valor, solamente nos queda ir probando las diferentes combinaciones de números, que nos permiten igualar las sumas mágicas de todo el cuadrado a la constante. Dicho de otra manera, tenemos que formar combinaciones de números que sumen el valor de la constante, de tal forma que nos cuadre toda la tabla.

¿Cómo resolver cuadrados mágicos usando la geometría?

En segunda instancia, podemos resolver los cuadrados mágicos por medio de la geometría. Aunque cabe destacar que este método es muy sencillo y no te hace ejercitar tu capacidad de cálculo, ya que es puramente metódico. Dicho esto, te explicaremos el procedimiento tanto para resolver cuadrados de orden par como cuadrados de orden impar.

¿Cómo resolver cuadrados mágicos con números impares?

Para resolver este primer caso, tenemos que añadir casillas a la tabla inicial de tal manera que nos quede una especie de rombo. Seguidamente, tenemos que escribir todos los números consecutivos empezando por la primera cifra de la serie (en nuestro caso el 1) y seguiremos las diagonales del rombo. Finalmente, tenemos que «doblar» la figura, por lo tanto, los valores de las casillas externas pasan al lado contrario. Entonces, las celdas externas del eje vertical se cruzan y después pasa lo mismo con las celdas del eje horizontal, a continuación puedes ver un ejemplo:

Resolver cuadrados mágicos con números impares

¿Cómo resolver cuadrados mágicos de orden par?

Para resolver un cuadrado mágico de orden par (cuadrados mágicos que tienen un número par de filas y columnas) podemos recurrir a un método algo distinto al anterior, pero que también se basa en la geometría. Empezaremos escribiendo la primera cifra de la serie (en nuestro caso el 1) en la esquina superior izquierda. Después, nos desplazaremos por las dos diagonales principales e iremos escribiendo los valores correspondientes a la posición de cada casilla.

Una vez tengamos escritas las dos diagonales principales tendremos que situarnos en la primera casilla en blanco empezando desde la esquina inferior derecha (la casilla 15 en nuestro caso). Ahí escribiremos el segundo valor de la serie e iremos apuntando los valores restantes por orden (de más pequeños a más grandes), completando las celdas de derecha a izquierda y de abajo a arriba. Para que quede más claro, puedes orientarte con la imagen que te mostramos a continuación:

Resolver cuadrados mágicos con números pares

¿Cómo construir cuadrados mágicos?

Para construir cuadrados mágicos nosotros mismos podemos seguir varios procedimientos, de entre los cuales destacaremos dos. Cabe mencionar que cada uno se usará para crear cuadrados de diferentes tipos, por lo tanto, deberás elegir el método cuidadosamente según el cuadrado que quieras generar:

Método siamés

Este primer método es bastante sencillo, y concretamente nos sirve para construir cuadrados mágicos impares de cualquier tamaño. El procedimiento a seguir es muy simple, básicamente escribiremos el primer número de la serie en la casilla central de la primera fila. A partir de ahí, iremos subiendo por orden en la progresión aritmética que hayamos escogido, escribiendo el siguiente número hacia arriba y hacia la derecha. Aunque, si esa posición queda fuera de la casilla dibujada, entonces tendremos que movernos a la última fila o última columna. Y si nos encontramos con una casilla llena, tendremos que bajar un cuadrado respecto a la casilla del último número que hayamos puesto y después seguiremos igual.

A continuación puedes ver un ejemplo de 3×3:

Construir cuadrado mágico método siamés

Método de Strachey para cuadrados mágicos

Para generar cuadrados mágicos de orden 4k + 2 pares, usaremos este otro método, el cual está basado en el anterior (el método siamés) y también es muy sencillo. A continuación, puedes ver los pasos a seguir y un ejemplo resuelto de un cuadrado mágico 6×6:

  • Dividir en cuadrantes más pequeños: lo primero que tenemos que hacer es subdividir la tabla en cuadrados más pequeños, por ejemplo si tenemos una tabla 6×6, tendremos que hacer cuatro cuadrantes iguales de 3×3 casillas.
  • Usar el método siamés: después asignaremos un rango de números a cada cuadrante pequeño, por ejemplo si empezamos la secuencia por el 1, los rangos quedarían: 1-9 (primero), 10-18 (cuarto), 19-27 (segundo) y 28-36 (tercero).
Generar cuadrados mágicos 6x6

Método LUX de Conway para cuadrados mágicos

Usaremos este último sistema cuando queramos generar cuadrados mágicos de orden 4n + 2, siendo n un número natural. Entonces, el procedimiento que seguiremos para crear cuadrados de este estilo es el siguiente:

  • Creación de la tabla o matriz: empezaremos creando una matriz de grado 2n + 1, siendo n un número natural. Con esto, podremos diseñar la tabla y tendremos en mente el grado de esta, para después empezar con el diseño.
  • Posicionamiento de las letras: una vez tengamos la tabla construida, tendremos que escribir de arriba a abajo: n + 1 filas de L, 1 fila de U y n – 1 filas de X. Y después, tendremos que intercambiar la U del medio con la L de arriba.
  • Intercambio de las letras por los valores numéricos: ahora tendremos que reemplazar las letras por grupos de cuatro números consecutivos. Dependiendo de la letra daremos un orden u otro a los números. Explicado a continuación:
Método LUX de Conway para cuadrados mágicos

Empezaremos construyendo una matriz de 5×5, por lo tanto, n = 2, ya que: 2n + 1 = 2 · 2 + 1 = 5. Esto quiere decir que la matriz acabará siendo de un tamaño 10×10, porque como ya hemos dicho, cada casilla que contenga una letra equivale a un grupo de cuatro números, es decir, una matriz de 2×2. A continuación, puedes ver el ejemplo terminado, en el cual hemos ido sustituyendo cada letra por un grupo de cuatro números en el orden que se ve en la imagen:

Construir cuadrado mágico método LUX

Ejercicios de cuadrados mágicos

A continuación, te planteamos algunos cuadrados mágicos que están incompletos y tendrás que llenarlos tú, gracias a los conceptos que hemos explicado en este artículo. Recuerda que puedes usar cualquiera de los métodos enseñados. También, deberás tener en cuenta que quizás el 1 no sea el primer número de la serie, aunque, en el enunciado lo pondrá. Y cuando hayas completado alguno de los ejercicios, podrás visualizar la solución situada debajo del enunciado.

Cuadrado mágico 3×3

Construye un cuadrado mágico 3×3 solamente con números impares:

Cuadrado mágico 3x3

Cuadrado mágico 4×4

Completa el siguiente cuadrado mágico 4×4:

Cuadrado mágico 4x4

Cuadrado mágico 5×5

Completa el siguiente cuadrado mágico 5×5:

Cuadrado mágico 5x5

Cuadrado mágico 6×6

Completa el siguiente cuadrado mágico 6×6:

Cuadrado mágico 6x6

Funciones polinómicas

Funciones polinómicas

En este artículo encontrarás una explicación muy detallada sobre las funciones polinómicas, la cual está complementada con ejemplos. Además, podrás ver cómo se utilizan las funciones polinomiales en la vida cotidiana gracias a los ejercicios que te plantearemos al final.

¿Qué es una función polinómica?

Las funciones polinómicas o funciones polinomiales son unas funciones las cuales vienen dadas por una expresión algebraica equivalente a un polinomio. Esto quiere decir que la expresión deberá seguir la estructura de un polinomio: f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn, según la estructural del cual se determinará el tipo de función polinómica que trataremos. Otra característica muy relevante de estas funciones es que todos sus exponentes de las incógnitas son positivos y enteros.

Partes de una función polinómica

Podemos destacar tres elementos importantes respecto a estas funciones:

  • Coeficientes del polinomio: son los números que acompañan a las incógnitas, por ejemplo el 3 del siguiente término es un coeficiente: 3x2. Cabe destacar que hay tantos coeficientes como términos tiene el polinomio.
  • Exponentes o índices del polinomio: son las potencias de las incógnitas, por ejemplo el 2 del siguiente término es un exponente: 3x2. Y como ya hemos explicado, en el caso de una función polinómica siempre serán positivos y enteros.
  • Grado del polinomio: este valor es equivalente al exponente de mayor grado de entre todos los términos que componen el polinomio. En el caso del polinomio f(x) = 3x2 – 4x + 2, el grado es igual a dos.

¿Cómo saber si una función es polinomial o no?

Para identificar una función polinómica deberemos fijarnos en si cumple las características que acabamos de comentar. Empezaremos comprobando si la expresión que define a la función tiene una estructura polinómica: f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn. Y después, verificaremos que los índices sean positivos y enteros, con estos sencillos pasos podremos determinar si una función es polinomial o no.

Tipos de funciones polinómicas con ejemplos

A continuación, te mostraremos los diferentes tipos de funciones polinómicas que existen, los cuales están clasificados según el grado del polinomio. Además, encontrarás una representación gráfica de ejemplo para cada tipo. Gracias a estos ejemplos de funciones polinomiales podrás ver mejor las diferencias entre las distintas categorías.

Funciones constantes

Las funciones constantes equivalen a un polinomio de grado 0, esto quiere decir que el coeficiente de x es 0. Es por eso, que las funciones de este tipo no dependen del valor de la variable independiente x. Por lo tanto, su representación gráfica es una recta horizontal, la cual es infinita. A continuación puedes encontrar representado el ejemplo f(x) = 3:

Funciones constantes

Funciones polinómicas de primer grado

En segundo lugar, encontramos las funciones polinómicas de primer grado, las cuales vienen dadas por un polinomio de grado 1 con la siguiente estructura: f(x) = mx + n. Esta expresión está compuesta por un número llamado pendiente (m) el cual multiplica a la variable x y por una constante (n) que se suma a ese producto. Entonces, según los valores de m y n, podemos identificar tres tipos diferentes de funciones:

  • Funciones afines: este subtipo se caracteriza por tener un valor de n diferente a 0, o dicho de otro modo, el valor de la ordenada es diferente a 0. Por lo tanto, este tipo de funciones no pasa por el punto (0, 0), también conocido como el origen. También comentar que si la m < 0, la función será decreciente, mientras que si la m > 0, la función será creciente.
  • Funciones lineales: la única distinción que tienen estas funciones respecto a las funciones afines es que la n = 0, por lo tanto, no tienen ordenada. Como resultado, la expresión de las funciones lineales es equivalente a f(x) = mx. Este tipo es bastante fácil de representar, ya que, siempre pasa por el punto (0, 0) y a partir del pendiente ya obtienes la gráfica.
  • Funciones identidad: este último tipo es un subgrupo de las funciones lineales, el cual tiene n = 0 y m = 1. Esto quiere decir que la expresión se queda f(x) = x, con lo cual la representación gráfica es una diagonal que forma un ángulo de 45º con cualquiera de los ejes. Este tipo de funciones también pasa por el punto de origen (0, 0).

A continuación, puedes encontrar un ejemplo de función polinómica de primer grado, concretamente de una función afín f(x) = 3x + 2:

Funciones polinómicas de primer grado

Funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas o funciones de segundo grado se expresan por medio de polinomios de segundo grado, los cuales siguen la estructura: f(x) = ax2 + bx + c, siendo a diferente de 0. En este caso, la representación gráfica es bastante más compleja, puesto que ya no es una línea recta, sino una parábola vertical. A continuación, puedes encontrar la representación de la función cuadrática f(x) = 2x2 + 4x – 1:

Funciones cuadráticas

Funciones cúbicas

Las funciones cúbicas o funciones de tercer grado vienen dadas por un polinomio de grado tres: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, siendo a diferente a 0. La representación de una función de este estilo es aún más compleja que la de segundo grado, ya que, puede tener varias formas diferentes. Aunque la forma básica, o al menos la más común, es la que te mostraremos en el ejemplo siguiente, f(x) = 2x3 – 4x2 + 2x – 2:

Funciones cúbicas

Propiedades de las funciones polinómicas

Las funciones polinómicas tienen una serie de propiedades o características que las distinguen del resto de funciones, a continuación te las detallaremos de la manera más clara posible. De esta manera, cuando veas alguna función de este tipo te será muy fácil identificarlas:

  • El dominio de una función polinómica es igual a todos los números reales: Dom f = R o Dom f = (-∞, ∞), por lo tanto, son continuas en todo el conjunto de reales.
  • Su punto de corte del eje Y es equivalente (0, a0), siendo a0 el término independiente.
  • Corta por el eje X un número de veces igual o inferior al grado del polinomio.
  • Las funciones polinómicas no tienen asíntotas.
  • Si el exponente de todos los términos es impar, entonces la representación de la gráfica es simétrica respecto al origen de coordenada, mientras que si el exponente de todos los términos es par, esta es simétrica respecto al eje OY.
  • El número de puntos de inflexión que tiene una función de este estilo es igual o menor a n – 2, siendo n el grado.
  • El número de máximos y mínimos relativos que tiene una función de este estilo es igual o menor a n – 1, siendo n el grado.

¿Cómo se analiza una función polinómica?

Para analizar una función polinómica deberemos seguir el mismo procedimiento que usaríamos para analizar cualquier otra función. En la siguiente lista hemos resumido los diferentes elementos que hay que estudiar o tratar:

  • Dominio y recorrido
  • Puntos de corte con los ejes horizontal y vertical
  • Monotonía (crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos)
  • Curvatura (en las funciones de grado mayor a uno)

Evidentemente, podemos llevar el análisis a otro nivel y estudiar muchos más elementos, aunque con estos debería bastar. Ya que, conociendo estos elementos tendrás una idea clara de cómo es la función y podrás representarla gráficamente.

Ejercicios de funciones polinómicas

A continuación, te planteamos una serie de ejercicios para que practiques la representación de funciones, concretamente de funciones polinómicas. De esta manera, consolidarás todos los conceptos explicados en este artículo:

Ejercicio 1

Representa gráficamente la siguiente función polinómica de primer grado f(x) = x + 2 y di de qué tipo es:

Funciones polinómicas ejercicios resueltos

Es una función polinómica de primer grado afín, puesto que tiene una n diferente a 0 y una m diferente a 0.

Ejercicio 2

Representa gráficamente la siguiente función polinómica de segundo grado f(x) = x2 + x – 2:

Representación de una función polinómica cuadrática

Ejercicio 3

Representa gráficamente la siguiente función polinómica de tercer grado f(x) = x2 + x – 2:

Representación gráfica de una función polinómica de tercer grado

Identidades notables

Identidades notables

¿Qué son los productos notables o identidades notables?

Las identidades notables, también llamadas productos notables o igualdades notables, son unos recursos matemáticos que nos permiten resolver productos y cocientes de polinomios con más rapidez. Tal como indica la palabra identidad, se trata de igualdades que nos permiten calcular estas operaciones sin tener que resolverlas de verdad. Ya que sabemos que esa expresión sigue unas reglas fijas (que siempre se cumplen) y, por lo tanto, podemos obtener el resultado sin necesidad de verificarlo.

¿Cuándo usar una identidad notable?

Estas identidades se utilizan mayormente en el ámbito del álgebra y su función principal es agilizar la resolución de un determinado polinomio, sin tener que resolver la propia operación completa. A partir de aquí, obtenemos las fórmulas de los productos notables, las cuales las iremos comentando a lo largo del artículo. Y finalmente, podemos aplicar las fórmulas para hacer la completación de cuadrados, la factorización de polinomios o cualquier otro tipo de cálculo.

¿Cómo resolver un producto notable paso a paso?

Para poder resolver identidades notables tienes que seguir un procedimiento muy sencillo, el cual es también muy lógico:

  • Identificar el tipo de identidad notable: el primer paso es identificar el tipo de operación: un producto notable o un cociente notable. También tienes que concretar qué tipo de fórmula tendrás que aplicar, aunque esto lo entenderás más adelante, una vez hayamos explicado los diferentes tipos de identidades notables.
  • Aplicar la fórmula: una vez sabes qué fórmula tienes que aplicar, entonces es el momento de hacer los cálculos. Según el tipo de identidad, tendrás que resolver operaciones más o menos complejas y en la gran mayoría de las veces, esos cálculos estarán formados por términos que contengan como mínimo una incógnita.
  • Simplificar la expresión: por último, cuando obtienes el resultado, tienes que simplificarlo. En este paso, tienes que agrupar los términos semejantes y ordenarlos para formar un polinomio resultante que esté bien estructurado. Cabe destacar que este paso es igual de importante que los demás, ya que de lo contrario, el ejercicio queda inacabado.

Fórmulas de las identidades notables o productos notables principales

A continuación, puedes encontrar todas las fórmulas correspondientes a las identidades notables. Además de la explicación teórica de cada caso, también hay algunos ejemplos de productos notables resueltos, gracias a los cuales entenderás mejor todos los conceptos. Cabe mencionar que en este primer apartado solamente encontrarás las identidades más importantes. Pero, según vayas leyendo este artículo aprenderás a desarrollar productos notables más complejos, como por ejemplo los que están compuestos por trinomios.

Cuadrado de una suma

El primer caso se trata del cuadrado de la suma, el cual es una expresión polinómica muy habitual en el mundo del álgebra. Este se puede encontrar escrito de la siguiente manera: (a + b)², que equivale a: (a + b) · (a + b). Por lo tanto, sabemos que se puede resolver por medio de una multiplicación de polinomios. Pero, gracias a las identidades notables, podemos ahorrar tiempo usando la siguiente fórmula: (a+b)² = a² + 2ab +b². A continuación, te mostramos la demostración de la fórmula que acabamos de ver, de esta manera, podrás entender de dónde sale y cómo se usa:

Cuadrado de la suma

Como se puede apreciar, hemos hecho la comprobación a partir de la multiplicación de polinomios que hemos comentado previamente. Y podemos afirmar con total seguridad, que si te sabes la fórmula resultante de memoria, entonces haciendo una simple sustitución de valores puedes obtener el resultado con mayor velocidad. Por lo tanto, es un concepto matemático bastante útil. Ahora que ya sabes cómo funciona el cuadrado de una suma, te mostraremos un ejemplo resuelto:

Ejemplo del cuadrado de una suma

Calcula la identidad notable (2x + 4)²:

Ejemplo del cuadrado de una suma resuelto

Básicamente, hemos asociado los valores del binomio a las letras de la fórmula y hemos resuelto: a = 2x y b = 4. Finalmente, después de resolver todos los cálculos obtenemos el polinomio 4x² + 16x + 16, el cual es equivalente al original. En este ejemplo, hemos obtenido un polinomio desarrollado (en forma estándar) a partir de un polinomio reducido.

Cuadrado de una resta

Otra expresión muy común es el cuadrado de la resta, la cual es muy similar al cuadrado de una suma, sencillamente cambia por un signo. Entonces, la estructura del binomio equivale a: (a – b)², y si lo desplegamos obtenemos: (a – b) · (a – b). Igual que en el anterior caso, este se puede calcular a partir de una multiplicación de polinomios, aunque también tiene una fórmula que facilita la resolución: a² – 2ab +b². A continuación, puedes encontrar la demostración empírica de esta:

Cuadrado de una resta

Para simplificar la resolución del cuadrado de una diferencia, podemos usar la misma fórmula que usamos para la suma de un cuadrado, pero con el primer signo en negativo. Este mínimo cambio nos permite adaptar la expresión a binomios compuestos por un término positivo y otro negativo, con lo cual nos sirve para restas. Ahora te mostraremos un ejemplo resuelto:

Ejemplo del cuadrado de una resta

Calcula la identidad notable (x – 3)²:

Ejemplo del cuadrado de una resta resuelto

Como puedes ver en la resolución del ejemplo, hemos sustituido los valores de nuestro binomio en la fórmula, a = x y b = 3. Por lo tanto, usando la fórmula que hemos explicado previamente, solamente hemos tenido que hacer la sustitución y algún cálculo muy básico. Esto nos permite ver la facilidad con la que se puede calcular el cuadrado de una diferencia con esta expresión.

Diferencia de cuadrados o suma por diferencia

El tercer caso de productos notables se llama diferencia de cuadrados, este está formado por el producto de un binomio positivo y un binomio negativo. Una expresión de este estilo tiene la siguiente estructura: (a + b) · (a – b), con lo cual si desarrollamos este producto obtenemos la fórmula que nos facilita el cálculo: a² – b². Como se puede ver, es una fórmula muy sencilla, aunque para entenderla bien hay que desarrollar todos los cálculos:

Suma por diferencia

Ejemplo de la suma por diferencia

Calcula la identidad notable (x + 1) · (x – 4):

Ejemplo de suma por diferencia

En esta ocasión, el cálculo numérico es muy fácil, de hecho solamente hemos tenido que resolver una potencia. Aunque es cierto, que esta fórmula solo es aplicable cuando los binomios tienen el mismo término principal y el mismo término independiente, pero con signo cambiado. Por lo tanto, esta identidad es importante, pero no es la que más vas a utilizar.

Producto de dos binomios con término común

En este cuarto caso, se nos plantea una situación muy similar a la anterior, aunque con una leve modificación en la estructura. Observa la diferencia que te mostramos: (x + a) · (x + b) y (a + b) · (a – b). Por si aún no la ves muy clara, toma en cuenta el siguiente ejemplo: (x + 4) · (x + 5) y (x + 4) · (x – 4). En el primer caso (el producto de dos binomios con término común) solo hay un único término compartido, mientras que en el segundo caso (la suma por diferencia) los dos términos son comunes, pero el término independiente está cambiado de signo. Dicho esto, vamos a ver con qué fórmula podemos actuar:

Producto de binomios con término común

Ejemplo del producto de dos binomios con término común

Resuelve el producto notable (x + 2) · (x + 3):

Ejemplo del producto de binomios con un término común

Usando la fórmula de x² + (a + b)x + ab llegamos a calcular el polinomio de segundo grado resultante de la multiplicación de los dos binomios. Esperamos que gracias a este ejemplo hayas entendido la diferencia entre los dos últimos casos que hemos explicado, ya que, a veces puede ser complicado distinguirlos.

Cuadrado de un trinomio

Cuando tratamos de calcular el cuadrado de un trinomio también tenemos un producto notable que nos facilita la vida. Esta expresión se representa así: (a + b + c)² y el producto equivalente es: a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc. Cabe destacar que esto es válido en el caso de tener un trinomio positivo, pero si alguno de los coeficientes son negativos, entonces simplemente hay que escribir el valor en negativo dentro de la fórmula. A continuación puedes encontrar la demostración de la fórmula:

Cuadrado de un trinomio

Ejemplo del cuadrado de un trinomio

Calcula la identidad notable (2x + 1 + x²)²:

Ejemplo del cuadrado de un trinomio

Fórmulas de las identidades notables o productos notables al cubo

Ahora que ya hemos explicado las identidades notables principales, vamos a ver sus derivadas, empezando por los binomios al cubo. Para poder calcular productos notables de este estilo, tendremos que recurrir a unas fórmulas un poco más complejas, pero que siguen una estructura similar a las de los que ya hemos comentado.

Binomio al cubo

El cubo de un binomio se escribe de la siguiente manera: (a + b)³ y (a – b)³, esta expresión es equivalente a la siguiente fórmula: (a³ + 3a²b + 3ab² + b³), y (a³ – 3a²b + 3ab² – b³). Estos dos casos se llaman cubo de una suma y cubo de una resta, ya que son binomios elevados al cubo. A continuación, puedes encontrar una demostración de cada caso muy detalladas:

Cubo de una suma de binomio
Cubo de una resta de binomio

La clave para entender esta primera demostración es entender que (a + b)³ es equivalente a: (a + b)² · (a + b). De esta manera, usamos la fórmula del cuadrado de una suma, que hemos explicado previamente para multiplicar al otro factor. Después, sencillamente simplificamos la expresión, y obtenemos la identidad notable correspondiente: a³ + 3a²b + 3ab² + b³. En el caso del segundo ejemplo pasa lo mismo, pero, con algún cambio de signo.

Ejemplo del cubo de un binomio

Resuelve la identidad notable (x + 3)³:

Ejemplo del cubo de una suma

Empleando la fórmula que acabamos de comentar podemos calcular el polinomio, teniendo en cuenta que: a = x y b = 3. Como puedes ver, el procedimiento es muy fácil y no tiene muchas complicaciones en el cálculo, esto se debe a que tenemos la fórmula. De lo contrario, tener que hacer una multiplicación tan larga como esta sería bastante cansino.

Suma de cubos y diferencia de cubos

También tenemos este otro caso, el cual se puede confundir fácilmente con el anterior. Aunque, ambos casos se escriben de una manera diferente, y no son equivalentes. La expresión equivalente a la suma o diferencia de cubos es: a³ + b³, mientras que en el anterior caso estábamos hablando de: (a + b)³. Como se puede ver, hay una similitud innegable en la estructura de la expresión, pero en realidad, a la hora de desarrollar el cálculo son dos casos totalmente distintos:

Fórmula de la suma de cubos y de la diferencia de cubos

En la demostración de la fórmula obtenemos la factorización del primer polinomio, concretamente estamos pasando del binomio inicial al producto de un binomio por un trinomio. Parece que el resultado obtenido (a + b) · (a² – ab + b²), no nos simplifica el cálculo en nada, pero en realidad, al factorizar el polinomio obtenemos una expresión muy fácil de entender.

Ejemplo de la suma de cubos

Calcula el producto notable x³ + 27:

Ejemplo de la suma de cubos

En este caso, el resultado que obtenemos es bastante largo, ya que no se puede simplificar más. Pero, es normal llegar a esta expresión, de hecho, en estos casos solamente puedes obtener un resultado con la estructura equivalente al producto de un binomio por un trinomio, como en este ejemplo.

Trinomio al cubo

El cubo de un trinomio se escribe: (a + b + c)³, lo cual es equivalente a multiplicar tres trinomios idénticos, pero, sin exponente: (a + b + c) · (a + b + c) · (a + b + c). Este es el producto notable más complejo que hay, aunque la fórmula es bastante lógica y se obtiene igual que todas, cuando realizas las multiplicaciones de polinomios correspondientes. A continuación, puedes encontrar la demostración de la fórmula de esta identidad notable:

Cubo de un trinomio

Ejemplo del cubo de un trinomio

Resuelve el cubo de trinomio siguiente (x² + 3x – 4)³:

Ejemplo resuelto del cubo de un trinomio

Cocientes notables

Por último, explicaremos los cocientes notables, los cuales vienen a ser identidades notables que nos permiten resolver rápidamente determinados tipos de fracciones algebraicas. Concretamente, hay cuatro tipos diferentes, los cuales comparten una característica: su resultado está formado por polinomios exactos (con resto igual a cero). También cabe mencionar que las fórmulas de los cocientes notables guardan cierta relación con las fórmulas de los productos notables que ya hemos explicado.

Cocientes notables

Ejemplo de cocientes notables resueltos

Calcula los cocientes notables siguientes:

Ejemplos de cocientes notables

Ejercicios de productos notables resueltos

Ahora que ya sabes cómo se resuelven los diferentes productos notables, es hora de que practiques un poco. Es por eso que te proponemos 6 ejercicios para que apliques toda la teoría explicada. Y te mostramos una tabla de las principales identidades notables, para que la tengas a mano mientras resuelves todos los ejercicios:

Productos notables

Ejercicio 1

Resuelve los cuadrados de binomio (x – 4)², (x + 1)² y (x – 3)²:

Ejercicios de cuadrado de binomio

Ejercicio 2

Calcula las dos diferencias de cuadrados (x – 1) · (x + 1) y (x + 3) · (x – 3):

Ejercicios de suma por diferencia

Ejercicio 3

Desarrolla los productos notables al cubo (x – 5)³ y (x + 8)³:

Ejercicios de cubos de binomio

Ejercicio 4

Desarrolla las identidades notables formadas por términos con varios factores (4x² + 5y)², (5x³ + y²) · (5x³ – y²) y (5xy² – 2xy)²:

Identidades notables formadas por varios factores

Ejercicio 5

Calcula los productos notables al cubo formados por términos con varios factores (3x² + y)³ y (5y³ – 2x²)³:

Ejercicios de productos notables al cubo

Ejercicio 6

Resuelve los cuadrados de trinomios (2x² + 3x + 5)² y (3x² + 5x + 6):

Ejercicios de cuadrados de trinomios

Fracciones equivalentes

Fracciones iguales

En este artículo encontrarás una explicación sobre las fracciones equivalentes o fracciones iguales muy completa y fácil de entender. Concretamente, hablaremos sobre su definición, cómo calcularlas y cómo saber si dos fracciones son equivalentes. De esta manera, acabarás sabiendo todo lo necesario para resolver ejercicios de fracciones equivalentes como los que te plantearemos al final. Dicho esto, empezamos con el temario.

Calculadora de fracciones equivalentes

Con la ayuda de esta calculadora de fracciones equivalentes podrás comprobar si dos fracciones son iguales, sin la necesidad de hacer cálculos. Su funcionamiento es muy simple, básicamente tienes que introducir los valores correspondientes a los dos numeradores y a los dos denominadores y darle en el botón de «Calcular».

Calculadora de fracciones equivalentes
A / B= /  

C / D= /  



Resultado =

¿Qué son las fracciones equivalentes?

Las fracciones equivalentes son aquellas que expresan un mismo valor numérico, por lo tanto, son fracciones que equivalen a un mismo resultado, aunque tengan un numerador y un denominador distintos. Esto quiere decir que mantienen una relación de proporcionalidad, la cual puede ser de dos tipos: amplificada o simplificada. A continuación, te mostramos un ejemplo gráfico de fracciones equivalentes para que se entienda mejor el concepto.

Fracciones equivalentes

En la anterior imagen se pueden ver dos círculos divididos en dos y cuatro partes. Si tratamos de definir el primero a través de una fracción diremos que cada parte equivale a 1/2 del total, mientras que en la segunda figura usaremos la fracción 1/4. Evidentemente, estas dos fracciones no son equivalentes, ya que representan cantidades diferentes. Pero, si cogemos dos trozos del segundo círculo (2/4), esta expresión sí que equivale a 1/2.

Ejemplos de fracciones equivalentes

En esta segunda imagen se puede ver la equivalencia entre 1/2 y 2/4, además, se puede comprobar numéricamente. Ya que 1/2 = 0,5 y 2/4 = 0,5. Según la definición que hemos comentado previamente, si las dos fracciones expresan un mismo valor numérico, entonces son fracciones equivalentes.

Ejemplos de fracciones equivalentes

Ahora te mostraremos 5 ejemplos de fracciones equivalentes. Y si quieres entender cómo las hemos calculado, te recomendamos que sigas leyendo.

  • Fracciones equivalentes a un medio: 2/4, 3/6, 4/8, etc.
  • Fracciones equivalentes a un tercio: 2/6, 3/9, 4/12, etc.
  • Fracciones equivalentes a un cuarto: 2/8, 3/12, 4/16, etc.
  • Fracciones iguales a la unidad: 4/4, 7/7, 15/15, etc.
  • Fracciones equivalentes a un quinto: 2/10, 3/15, 4/20, etc.

¿Cómo calcular fracciones equivalentes?

Para obtener fracciones equivalentes tenemos que multiplicar o dividir tanto el numerador como el denominador, por un mismo número. Ya que, si modificamos de igual forma ambas partes de la fracción, mantenemos una relación de proporcionalidad. Por lo tanto, podremos usar dos métodos: amplificación y reducción.

Hallar una fracción equivalente por amplificación

En este primer caso, tenemos que multiplicar una fracción inicial por un determinado valor numérico. Esto quiere decir que tenemos que multiplicar el numerador y el denominador por ese número. Para que lo veas con un ejemplo, a continuación te mostramos dos fracciones equivalentes, que se obtienen después de hacer una multiplicación:

Amplificación de fracciones

Lo que hemos hecho ha sido multiplicar ambas partes de la fracción por tres: 5 x 3 = 15 y 4 x 3 = 12. Obteniendo así una fracción equivalente amplificada, ya que es más grande. En conclusión, hemos hallado una fracción compuesta por diferentes valores numéricos, la cual expresa una misma cantidad que la fracción original.

Hallar una fracción equivalente por simplificación

En segundo lugar, podemos optar por simplificar una fracción, dividiendo el numerador y el denominador de una determinada fracción. De esta manera, conseguiremos otra fracción equivalente, aún más sencilla que la inicial. Aunque, cabe mencionar que este método solo funciona si la expresión inicial no es una fracción irreducible, ya que, estas últimas no se pueden reducir más. A continuación puedes encontrar un ejemplo de cálculo de una fracción equivalente por reducción (simplificación).

Fracciones equivalentes por simplificación

Como se puede ver en la imagen, lo que hemos hecho ha sido dividir tanto el numerador como el denominador de la fracción entre un divisor común. En este ejemplo, hemos usado el cinco: 25 / 5 = 5 y 15 / 5 = 3. Finalmente, hemos obtenido la fracción equivalente irreducible de 25/15.

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

Para identificar fracciones equivalentes tenemos que seguir alguno de los tres procedimientos que explicaremos a continuación. Cabe destacar que el segundo está relacionado con la simplificación de fracciones que hemos comentado en el anterior apartado.

Multiplicación de numeradores por denominadores

Si quieres comprobar la equivalencia que hay entre dos fracciones puedes utilizar este primer procedimiento. Básicamente, tienes que multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda. Después, tienes que multiplicar el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera. Si los dos resultados te dan lo mismo, entonces esas fracciones serán equivalentes. Observa el ejemplo siguiente:

Buscar fracciones equivalentes

En este último ejemplo, hemos comprobado que las dos fracciones eran equivalentes. Este ejemplo era fácil de ver, ya que la segunda fracción es el doble de la primera, dicho de otro modo, guardan una relación de equivalencia amplificada. Cabe destacar que este procedimiento es bastante cómodo de usar, simplemente hace falta multiplicar en cruz. Pero igualmente te recomendamos que aprendas a utilizar los otros dos sistemas, porque así tendrás más recursos matemáticos a tu disposición.

Simplificación de fracciones

Cuando estamos tratando con fracciones no irreducibles podemos usar este otro método, el cual consiste en reducir al máximo la fracción que esté compuesta por los números más grandes. Si al hacer esta reducción, nos encontramos con que la fracción más pequeña es la irreducible de la otra, entonces podemos dar por sentado que son equivalentes.

Fracciones equivalentes por reducción

Resolver e igualar las divisiones

Por último, puedes recurrir a la solución del cociente que generan las fracciones, porque un número fraccionario no deja de ser una división. Básicamente, tienes que calcular el valor numérico equivalente a ambas fracciones, y si se trata del mismo número, entonces serán equivalentes. En la siguiente imagen puedes ver un ejemplo muy claro:

Divisiones de las fracciones

Ejercicios de fracciones equivalentes

Ahora que ya has leído toda la teoría puedes probar de resolver los siguientes ejercicios, los cuales te permitirán acabar de entender la explicación. Te recomendamos que trates de resolverlos por tu cuenta y una vez los tengas, compares tu resultado con el que te ofrecemos nosotros. Dicho esto, te dejamos practicar:

Ejercicio 1

Encuentra una fracción equivalente por simplificación para cada fracción que te proponemos:

Para resolver este ejercicio solamente hay que aplicar la simplificación de fracciones, de esta manera obtenemos la fracción irreducible equivalente. Los cuatro ejemplos son muy similares, por lo tanto, no hay mucha dificultad de resolución.

Ejercicios de fracciones equivalentes

Ejercicio 2

Encuentra una fracción equivalente por amplificación para cada fracción que te proponemos:

A continuación tendrás que amplificar las fracciones que te proponemos, de esta manera, obtendrás fracciones equivalentes más grandes. No importa el número que uses para hacer las multiplicaciones, nosotros por ejemplo lo haremos con 2 y 3.

Fracciones amplificadas

Ejercicio 3

Determina si las siguientes fracciones son equivalentes o no:

Para saber si dos fracciones son equivalentes tienes que usar alguno de los tres métodos que hemos explicado anteriormente. Las correcciones las encontrarás resueltas por medio del primer procedimiento, aunque eres libre de utilizar el sistema que quieras.

Equivalencia de fracciones

Ejercicio 4

Calcula las fracciones equivalentes de las siguientes expresiones:

En este último ejercicio tendrás que reescribir las expresiones que te proponemos (números enteros y números fraccionarios) en forma de fracción, procurando que mantenga una relación de equivalencia.

Fracciones equivalentes a números enteros

Fracción irreducible

Fracciones irreducibles

Una fracción irreducible es aquella que no se puede simplificar más, por lo tanto, no tiene fracciones equivalentes más pequeñas. Dicho de otra manera, el mcd del numerador y el denominador de una fracción irreducible es igual a 1, ya que no tienen otros divisores comunes. Por ejemplo, la expresión «5/8» no se puede reducir más, en consecuencia, decimos que está en su forma más simple o que es irreducible.

Calculadora de fracción irreducible

Antes de seguir con la teoría queremos mostrarte una calculadora, la cual te permitirá obtener la fracción irreducible de cualquier número fraccionario. Solamente tienes que introducir los valores del numerador y del denominador y pulsar en «Simplificar fracción», después obtendrás la forma reducida en la casilla del resultado. Te recomendamos usar esta herramienta para simplificar de manera inmediata cualquier fracción o incluso para corregir tus ejercicios de fracciones.





Fracción irreducible =

¿Qué es una fracción irreducible y cómo se calcula?

Como ya hemos explicado al principio, una fracción irreducible es aquella que no se puede simplificar más, de modo que, es una fracción inmediata. Si quieres hallar este tipo de fracciones tendrás que usar la simplificación de fracciones, de esta manera encontrarás una fracción equivalente irreducible respecto a la inicial. En este último enlace puedes encontrar una guía detallada sobre la simplificación de fracciones, aunque en la siguiente lista, te explicamos los pasos de manera resumida:

  • Encontrar divisores comunes: para empezar tienes que encontrar el máximo divisor común del numerador y del denominador. De esta manera, obtienes un número que te permitirá reducir ambos valores manteniendo la equivalencia.
  • Dividir la fracción reducible entre el mcd: una vez tienes el mcd, tendrás que dividir el numerador y el denominador entre ese divisor común. Haciendo esto obtendrás un numerador y un denominador equivalentes y más simples (o pequeños).

También puedes usar otros métodos para hallar fracciones irreducibles, los cuales están explicados en nuestro artículo sobre la simplificación de fracciones. Aunque con esta metodología que te hemos explicado podrás reducir cualquier fracción que quieras con mucha facilidad y rapidez.

Fracciones reducibles y fracciones irreducibles de ejemplo

En la siguiente imagen puedes encontrar cuatro ejemplos de fracciones reducibles y otros cuatro de fracciones irreducibles. Te recomendamos que pruebes de simplificar cada una de las fracciones, de esta manera entenderás claramente la diferencia entre ambos tipos de fracciones.

Fracciones reducibles y fracciones irreducibles

Ejemplo del cálculo de una fracción irreducible

A continuación, te mostramos paso a paso cómo se puede simplificar una fracción usando dos métodos. El primero muestra el procedimiento completo que hemos explicado en el anterior apartado. Y el segundo muestra un sistema algo diferente, el cual consiste en dividir el numerador y el denominador entre el mismo valor, empezando con los divisores más pequeños (sin contar el 1) e ir subiendo. Aunque, si crees que el segundo sistema es muy complicado, entonces puedes ignorarlo.

Simplificar fracciones con MCD

Fracción irreducible de un número decimal

La fracción irreducible que se obtiene de un número decimal se llama fracción generatriz. Es importante destacar que se calcula de diferentes maneras según el tipo de decimal que tratemos (exactos, periódicos puros o periódicos mixtos). El siguiente ejemplo muestra de manera clara este concepto matemático: 5/7 = 0,7142857... Como se puede ver, cinco séptimos es la fracción irreducible equivalente al número decimal 0,7142857...

¿Cómo saber si una fracción es irreducible?

Para saber si una fracción es reducible o irreducible puedes seguir dos métodos. El primero consiste en calcular el máximo común divisor del numerador y del denominador, si ese valor es diferente a uno, entonces querrá decir que es una fracción reducible. Y si obtienes un uno como resultado, sabrás que la fracción será irreducible. En segundo lugar, puedes usar la calculadora de fracciones irreducibles que te hemos mostrado al principio para hacer este tipo de comprobaciones.

Ejercicios de fracciones irreducibles resueltos

Ahora que ya has leído la teoría, te recomendamos que pruebes de resolver estos problemas, los cuales te permitirán practicar el cálculo de fracciones irreducibles. Además, si quieres mejorar tu concepción acerca de los números fraccionarios, te recomendamos que pruebes de resolver estos ejercicios de fracciones. Gracias a los cuales entenderás mejor el concepto en sí de fracción.

Ejercicio 1

Calcula la fracción irreducible de las siguientes fracciones reducibles. Recuerda que puedes usar cualquier método para hacer la simplificación de fracciones. Y cuando termines con el ejercicio podrás comparar tus resultados con los que te mostramos nosotros en la imagen de abajo.

Ejercicio fracciones irreducibles

Ejercicio 2

Identifica las fracciones que son equivalentes a las fracciones irreducibles 2/3 y 4/5. Para hacer esta tarea, te recomendamos que observes los números del numerador y del denominador, y pienses en la relación de divisibilidad que tienen. Quizás puedas usar el máximo común divisor o mínimo común múltiplo para encontrar lo que buscas...

Fracciones irreducibles equivalentes

Ejercicio 3

En este último ejercicio, solamente tienes que indicar si las tres fracciones siguientes tienen la misma fracción irreducible. Por lo tanto, tienes que reducir al máximo las tres fracciones y analizar el resultado. Una vez lo hayas resuelto podrás comparar tus soluciones con las nuestras.

Ejemplos de fracciones irreducibles

Más información acerca de las fracciones

Esperamos que este artículo te haya ayudado a entender las fracciones irreducibles. Aunque si te ha quedado cualquier duda, no dudes en leerte nuestra explicación sobre las fracciones. Allí encontrarás toda la información acerca de las fracciones: definición, categorías, operaciones y ejercicio, todo explicado por medio de teoría y ejemplos. Te aseguramos que si lees ese artículo eliminarás muchas dudas básicas relacionadas con este tema.

Simplificar fracciones

Fracción equivalente

Simplificar fracciones o reducir fracciones es un procedimiento matemático que pretende convertir una fracción compleja en otra fracción equivalente más simple. Por lo tanto, nos permite hallar la fracción irreducible de la expresión original, y esto se puede hacer por medio de varios métodos. Aunque, antes de explicarlos, te recomendamos que pruebes la calculadora para simplificar fracciones que puedes encontrar justo debajo de este texto.

Simplificador de fracciones online

Con la siguiente calculadora para simplificar fracciones online puedes reducir números fraccionarios de cualquier tipo. Sencillamente, tienes que introducir los valores del numerador y del denominador y seguidamente, pulsar en el botón de simplificar. Una vez lo hayas hecho, obtendrás la expresión simplificada al máximo.





Fracción simplificada =

¿Cómo simplificar una fracción?

Como ya hemos dicho, la simplificación de fracciones consiste en encontrar la fracción irreducible de una más compleja. Actualmente, tenemos dos métodos para simplificar fracciones, el primero es por medio de divisiones normales y el segundo consiste en extraer factor común.

Simplificación de fracciones por división

Este sistema consiste en dividir tanto el numerador como el denominador entre divisores comunes (exceptuando el 1) hasta que no nos quede ningún divisor en común, de esta manera nos quedará una fracción irreducible. Aunque para elegir el divisor que usaremos en cada división, podemos hacerlo de dos maneras distintas: la primera es utilizando divisores comunes hasta conseguir la forma más simple de esa fracción, y la segunda es calculando el máximo común divisor del numerador y del denominador.

Por ejemplo, si queremos simplificar la fracción 12/64 podemos hacerlo dividiendo el numerador y el denominador entre el mcd de ambos, o dividiendo ambas partes de la fracción entre el mismo número hasta obtener una fracción irreducible, empezando con los divisores más pequeños (sin contar el 1) e ir subiendo. Abajo puedes ver los dos métodos resueltos paso a paso:

Simplificar fracciones con MCD

Simplificación de fracciones por extracción de factor común

Para efectuar este otro método tendremos que descomponer en números primos el numerador y el denominador. Y sustituiremos los valores numéricos originales por el producto de potencias equivalente. Seguidamente, procederemos a reducir la expresión simplificando las potencias con base común, con la ayuda de las propiedades de las potencias. Ahora simplificaremos una fracción de ejemplo por medio de este método:

Simplificar fracciones con extracción de factor común

Fracciones difíciles de reducir

A continuación te resolveremos algunas dudas respecto a los casos más complejos de la simplificación, de esta manera serás capaz de reducir cualquier fracción que se te proponga. Aunque este apartado es más bien opcional, si quieres empezar a practicar puedes pasar directamente al último apartado:

Simplificar fracciones con exponentes

Para poder simplificar este tipo de fracciones, debemos escribir la expresión con exponente como un único valor numérico. Primeramente, podemos intentarlo con la descomposición de factores primos, simplificando el numerador y el denominador. Y después, si aún no hemos obtenido una fracción irreducible, entonces procederemos a dividir ambas partes de la fracción hasta obtener una expresión que no se pueda reducir más. Como se puede ver, simplificar fracciones con potencias consiste en combinar todos los métodos que hemos comentado en el anterior apartado.

Simplificar fracciones con exponentes

Simplificar fracciones negativas

Cuando queremos simplificar fracciones negativas podemos hacerlo con cualquiera de los tres métodos previamente explicados, porque el signo no afecta directamente al procedimiento de cálculo. Solamente se tiene que hacer una modificación al resultado, que es añadir el signo negativo. Pero, todo lo demás es exactamente igual. Para que lo veas, a continuación te mostramos resuelto el primer ejemplo que hemos explicado, pero con signo negativo.

Simplificar fracciones negativas

Simplificar fracciones con números grandes

Para este caso, te recomendamos usar el método de extracción de factor común, ya que los números grandes se vuelven más sencillos si los expresas en factores primos. Por lo tanto, te ahorras el tener que resolver muchas divisiones hasta llegar a obtener una fracción irreducible. Aunque en realidad, puedes utilizar el método que prefieras.

Simplificar fracciones grandes

¿Cómo simplificar fracciones con la calculadora científica?

En muchas calculadoras científicas podemos expresar de una forma más simple cualquier fracción que queramos, siempre y cuando esta no sea irreducible. En el caso de las calculadoras científicas Casio (la marca más común entre estudiantes) tenemos que pulsar el botón que está señalizado con la siguiente expresión "S⇔D". Gracias a este podremos simplificar expresiones de todos tipos incluidas las fracciones. En otras marcas también hay maneras de hacerlo, pero tendrás que consultarlo en el manual de tu modelo, porque puede variar un poco el procedimiento a seguir.

Simplificar fracciones en la calculadora

Ejercicios de simplificación de fracciones resueltos

A continuación te dejamos algunos ejercicios de simplificación de fracciones, con los cuales podrás practicar los diferentes métodos que hemos explicado. Te recomendamos que te tomes la parte teórica con la misma importancia que la práctica, ya que es gracias a esta que entenderás del todo los conceptos matemáticos que intervienen en este tipo de ejercicios.

Ejercicio 1

Simplifica las fracciones siguientes hasta encontrar la fracción irreducible:

En la siguiente imagen encontrarás cuatro fracciones simplificadas por medio de alguno de los tres métodos. Aunque, cuando trates de reducirlas por tu cuenta podrás hacerlo con el método que prefieras, lo importante es que aciertes con el resultado, el cual deberás comparar con el que te mostramos en la corrección:

Ejercicio simplificar fracciones

Ejercicio 2

Calcula el valor de x en las siguientes ecuaciones de fracciones:

Ahora te proponemos dos ecuaciones con fracciones, las cuales se pueden resolver por medio de la simplificación. Este es un ejercicio algo más complicado, pero aplicando algunos conceptos matemáticos básicos junto con los que hemos explicado en este artículo lo podrás resolver fácilmente.

Simplificar ecuaciones con fracciones

Ejercicio 3

Calcula las fracciones irreducibles equivalentes de cada una de las fracciones que te mostramos a continuación:

Ahora te retamos a que simplifiques al máximo estas fracciones, mientras las resuelvas verás que son algo más difíciles que las anteriores. Ya que, una incluye un signo negativo, otra incluye valores numéricos altos y otra incluye potencias.

Simplificar fracciones difíciles

Si quieres más ejercicios de fracciones te recomendamos que entres en este último enlace, allí encontraras muchísimos problemas y operaciones con fracciones. Con los cuales podrás practicar todos los conceptos relacionados con las fracciones.

Ejercicios de fracciones

Ejercicios de fracciones

Las fracciones o números fraccionarios son un concepto matemático muy importante en el ámbito del cálculo. Por lo tanto, es fundamental saber cómo funcionan y saber resolver ejercicios de fracciones. Este es el objetivo de este artículo, que aprendas a resolver las operaciones con fracciones y cualquier otro tipo de ejercicio o problema que incluya números de este estilo. Dicho esto, vamos a empezar con los primeros ejercicios.

Ejercicio de operaciones con fracciones

Para empezar, te planteamos algunas operaciones básicas que tienen fracciones incluidas, sencillamente tienes que resolverlas y expresar el resultado simplificado. Entonces, una vez hayas acabado de resolver los cálculos, te recomendamos que compares los resultados y te fijes en la corrección que te ofrecemos nosotros. Aunque también puedes comprobar tus resultados con nuestra calculadora de fracciones online.

Sumas y restas de fracciones con denominador común

A continuación tienes dos sumas y dos restas de fracciones resueltas, prueba de solucionarlas por tu cuenta y compara el resultado. De esta manera, repasarás la mecánica de resolución de este tipo de operaciones:

Sumas y restas de fracciones con denominador común

Sumas y restas de fracciones con distinto denominador

Ahora subimos un poco el nivel, ya que para poder resolver sumas y restas de fracciones con diferente denominador, antes tenemos que encontrar el mcm de los denominadores. Así que el cálculo se complica un poco.

Sumas y restas de fracciones con distinto denominador

Multiplicaciones y divisiones de fracciones

En este apartado, tendrás que resolver multiplicaciones y divisiones de fracciones, estas operaciones son muy fáciles de hacer, pero hay que practicarlas igualmente. Igual que en los anteriores dos apartados tienes dos de cada tipo.

Multiplicaciones y divisiones de fracciones

Fracciones combinadas

Por último, vas a tener que resolver algunas fracciones combinadas, lo que vienen a ser operaciones combinadas con fracciones. El elemento más complicado de estas es el cálculo, ya que tienes que juntar todos tus conocimientos sobre las operaciones con números fraccionarios para poder resolver correctamente un cálculo de este tipo.

Fracciones combinadas

Ejercicio de conversiones entre decimales y fracciones

Ahora deberás tratar de convertir los siguientes números decimales a fracción generatriz y al contrario. Aunque para hacerlo correctamente, deberás tener en cuenta el tipo de decimal (exacto, periódico puro o periódico mixto), ya que los métodos de conversión varían. Si no te acuerdas de estos métodos, te recomendamos que te leas nuestro artículo sobre fracciones, porque en este explicamos todos los procedimientos de conversión entre decimales y fracciones y viceversa. A continuación, puedes encontrar algunas conversiones resueltas, te recomendamos que pruebes de hacerlas por tu cuenta:

Pasar de decimales a fracciones

Ejercicio de fracciones equivalentes

Después de haber practicado un poco las operaciones aritméticas básicas y las conversiones, es hora de empezar con las fracciones equivalentes. En este apartado te mostraremos varias fracciones y tendrás que hallar las parejas de fracciones equivalentes. De esta manera, practicarás el concepto de equivalencia y también repasarás la simplificación de fracciones.

Halla las fracciones equivalentes

Ejercicio de comparar fracciones

A continuación, te mostraremos varias fracciones y tendrás que compararlas con los símbolos «<«, «=» y «>». Para poder resolver este ejercicio tendrás que encontrar un denominador común y convertir ambas fracciones a ese denominador. De esta manera, podrás ver cuál de los dos numeradores es mayor y, deberás actuar en consecuencia:

Comparación de fracciones

Ejercicio de fracciones en la recta numérica

En este ejercicio deberás ordenar en una recta numérica las distintas fracciones que te daremos, entonces el procedimiento de resolución puede ser bastante variado. Por ejemplo, puedes dividir la distancia que hay entre dos enteros entre tantas partes como indique el valor del denominador y posteriormente, situar la fracción en el segmento que indique el numerador.

También, puedes hacer la división del numerador entre el denominador y obtener un número decimal, el cual situarás más tarde en la recta. Aunque este segundo procedimiento es bastante más básico, por eso nosotros hemos optado por escoger el primer método que hemos explicado. Dicho esto, las fracciones que tendrás que situar en la recta son las siguientes:

Fracciones en la recta numérica

Problemas con fracciones

Finalmente, llegamos a la última parte de este artículo, en la cual trataremos algunos problemas de fracciones. Aunque antes que nada, queremos describir el procedimiento correcto que debes usar a la hora de resolver problemas de matemáticas:

  • Comprender el problema: el primer paso es hacer una buena lectura, gracias a la cual entiendas todo el problema. De esta manera, te familiarizarás con toda la información explicada en el enunciado. Si haces esta parte correctamente, entonces ya tienes mucho hecho, ya que sabrás cómo encaminar la resolución y todo el tema de los cálculos.
  • Planteamiento del problema: una vez sepas de qué va el problema, tendrás que hacer el planteamiento del mismo. Esto lo puedes hacer por medio de un esquema, un dibujo o una pequeña representación gráfica de los datos. En este paso empezarás a pensar maneras de relacionar los datos y de resolver el problema.
  • Resolver el problema en sí: después ya podrás pasar a resolver el problema numéricamente, en esta fase deberás probar las teorías que hayas planteado en el anterior apartado. Es en este paso cuando realmente ejecutas un plan de acción y obtienes los resultados, por lo tanto, debes estar muy concentrado.
  • Interpretar las soluciones: finalmente, cuando ya tienes las soluciones, tendrás que interpretar esos resultados y darles un sentido dentro del contexto del problema. Este último paso es muy importante y mucha gente lo ignora, porque cree que con un resultado numérico ya es suficiente, pero en realidad hay que resumir la solución en una frase.

Problema 1

Si queremos llenar una piscina con un grifo, tardamos 6 horas, pero si lo hacemos con otro grifo, entonces tardamos 8 horas. ¿Qué cantidad de la piscina se habrá llenado en 2 horas si usamos los dos grifos a la vez? Expresa el resultado en una fracción.

Para resolver este problema, deberemos recurrir a las fracciones. Básicamente, lo que haremos es calcular por separado cuánto llenará cada grifo en esas dos horas. Por lo tanto, el primer grifo llenará 1/6 del depósito en una hora y si lo multiplicamos por dos horas, llenará 2/6. Mientras que el segundo grifo llenará 1/8 en una hora y también lo tendremos que multiplicar por 2, con lo cual nos quedará 2/8.

Finalmente, sumaremos ambas fracciones, para obtener la cantidad total de la piscina que se habrá llenado. Entonces, nos quedará 2/6 + 2/8 = 7/12 de la piscina.

Problema 2

Tenemos 64 caramelos, pero regalamos 1/4 de esa cantidad a nuestro amigo Marcos. Después nos comemos 3 caramelos y le damos 2/5 de la cantidad restante a nuestra amiga María. ¿Cuántos caramelos nos quedan? Exprésalo en un número entero.

Primero, tenemos que restar a 64 un cuarto de la cantidad total, después restaremos 3 al resultado obtenido y finalmente restaremos dos quintos a esa suma de caramelos. Con lo cual, esto lo podemos calcular con fracciones combinadas:

Problema de fracciones

Por lo tanto, al final nos quedan 27 caramelos.

Problema 3

Tenemos un terreno de 10 000 m², el cual está dividido en tres partes no iguales. La primera sección conforma los 3/6 de la superficie total y la segunda sección es igual a la mitad de la anterior. ¿Qué fracción describe la superficie de la tercera sección? ¿Cuántos metros cuadrados tiene cada sector?

Lo primero que haremos será calcular la fracción de la tercera parcela, esto lo haremos por medio de una resta de fracciones muy sencilla. Seguidamente, calcularemos la superficie de cada sección calculando la fracción de un número, en nuestro caso este valor numérico será 10 000. A continuación puedes ver el procedimiento entero:

Fracción de un número

Explicación de las fracciones con ejemplos

Explicación sobre las fracciones

Las fracciones o números fraccionarios son expresiones numéricas que indican una cantidad dividida entre otra. Por lo tanto, es un valor representado por el cociente de dos números. Con este tipo de números podemos expresar cantidades decimales y enteras e incluso podemos indicar proporciones. A continuación, definiremos las fracciones de una manera más matemática y te mostraremos algunos ejemplos, para que entiendas gráficamente este concepto.

¿Qué son las fracciones?

Una fracción equivale a la cantidad de partes que cogemos de una unidad que está dividida en partes iguales. Entonces, gráficamente se representa con dos términos separados por una línea horizontal en medio. Concretamente, en la parte superior de la línea encontramos el numerador y debajo el denominador.

Términos de la fracción
Representación de una fracción

Como se puede ver, las fracciones son un concepto matemático muy fácil de representar gráficamente, ya que van de la mano con las proporciones. Es por eso que en el ejemplo anterior hemos expresado el número de cuadrados coloreados con un número fraccionario.

Términos de la fracción

Las dos partes de la fracción son:

  • Numerador: este término está situado por encima de la línea horizontal y es donde escribimos el número de partes que tomamos. Podemos encontrar numeradores positivos, negativos y nulos (iguales a cero).
  • Denominador: este otro término está situado debajo de la línea y es donde escribimos el número total de partes en que está dividida la unidad. Podemos encontrar denominadores positivos y negativos, pero estos no pueden ser nulos.

Tipos de fracciones

Existen muchas clases de fracciones diferentes, según los números que la conforman y según la equivalencia que presentan con otras fracciones. A continuación, definiremos todas las categorías que existen y comentaremos las características que nos permiten diferenciarlas de las demás:

  • Fracciones propias: son aquellas que están formadas por un numerador que es menor que el denominador. Si conviertes estas fracciones a un número decimal, obtendrás una cifra entre el cero y el uno. No podrá ser mayor que uno, ya que el valor del numerador será siempre más pequeño que el del denominador y, por lo tanto, no se superará la unidad.
  • Fracciones impropias: son aquellas que tienen un numerador mayor que el denominador, en este caso expresan valores numéricos mayores a la unidad. Como por ejemplo, 8/5 equivale a 1,6 lo cual es más grande que 1. Estas son otra manera de expresar números mixtos, los cuales son el siguiente tipo.
  • Fracciones mixtas: también conocidas como números mixtos son aquellas que están compuestas por un número entero y otro fraccionario. Básicamente, se representan con el valor entero delante de la fracción, entonces para convertirlas en fracciones impropias debes multiplicar la parte entera por el denominador, sumarla al numerador y dejar el mismo denominador.
  • Fracciones decimales: son aquellas que tienen un denominador que expresa una cantidad equivalente a una potencia de diez, por ejemplo: 6/10, 34/1000 o 5/100. Estas se utilizan en la notación decimal y son las más comunes a la hora de convertir números decimales exactos en números fraccionarios, esto lo comentaremos en mayor profundidad en el siguiente apartado.
  • Fracciones compuestas: son aquellas que están compuestas por otra fracción, ya sea en el numerador, en el denominador o en ambos. Entonces, para simplificar estas expresiones y mostrarlas en una sola fracción, tenemos que dividir el numerador entre el denominador. Esto quedará más claro una vez expliquemos la división entre fracciones.
  • Fracciones equivalentes: son aquellas que equivalen a un mismo número, aunque no estén formadas por los mismos numeradores ni denominadores. Por ejemplo, 8/4 = 4/2 = 2, ambas fracciones son equivalentes a dos. En este caso en concreto se debe a que la primera fracción es igual al doble de la segunda, por lo tanto, mantiene una relación proporcional.
  • Fracciones irreducibles: son aquellas que no se pueden simplificar más, esto se debe a que el numerador y el denominador no comparten factores en común y, como resultado no se pueden dividir entre ningún número. Algunos ejemplos de este tipo son: 9/5, 5/6, 7/8, entre otros. Para saber detectarlas es importante saber calcular el máximo común divisor.

Operaciones con fracciones

Ahora que ya sabemos las diferentes categorías de fracciones que existen, vamos a ver cómo resolver las diferentes operaciones aritméticas con los números fraccionarios. Cabe destacar que es algo más complicado que las operaciones con números enteros, aunque una vez entiendes la metodología todo es bastante fácil. Además, no solo explicaremos la teoría, sino que también te mostraremos algunos ejemplos. Dicho esto, empezamos.

Suma de fracciones

La suma de fracciones con denominador común es bastante sencilla, ya que solamente hace falta sumar los dos numeradores y dejar el mismo denominador. Por otro lado, la suma de fracciones con distinto denominador se complica un poco, porque tienes que encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores. Y después, tienes que sumar el producto de cada numerador por la división del mcm (el nuevo denominador) entre el antiguo denominador. Para que se entienda mejor puedes mirar el siguiente esquema:

Suma de fracciones

Resta de fracciones

La resta de fracciones con denominador común es muy similar a la suma, de hecho se hace todo igual excepto en la suma de los numeradores, porque en vez de sumar tienes que restar. Y en la resta de fracciones con distinto denominador pasa lo mismo, es prácticamente igual excepto que en vez de sumar el producto de los numeradores por la división del mcm entre el antiguo denominador, tienes que restar. A continuación te mostramos otro esquema:

Resta de fracciones

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de fracciones se puede resolver de la misma manera independientemente de si los denominadores son iguales o no. Básicamente, tienes que multiplicar los numeradores por una parte y los denominadores por otra. Esta es posiblemente la operación más sencilla, ya que solo tienes que efectuar dos multiplicaciones.

Multiplicación de fracciones

División de fracciones

La división de fracciones es también bastante sencilla de resolver, solamente tienes que multiplicar en cruz. Dicho de otro modo, el numerador es el resultado de multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda. Mientras que el denominador es el producto del denominador de la primera fracción y del numerador de la segunda.

División de fracciones

Simplificación de fracciones

Simplificar fracciones o reducir fracciones no es como tal una operación aritmética, pero es muy importante saber hacerlo y además, es un tema que ya hemos tocado un poco con los tipos de fracciones. Entonces, para simplificar un número fraccionario tenemos que dividir tanto el numerador como el denominador entre un mismo número. Generalmente, elegiremos el máximo común divisor para hacer esta simplificación. En la siguiente imagen puedes encontrar un ejemplo.

Fracción simplificada

Como se puede ver, tenemos dos fracciones equivalentes, con lo cual ambas representan el mismo valor numérico, pero la segunda es más simple que la primera. Por lo tanto, hemos conseguido el objetivo de la simplificación con éxito.

¿Cómo pasar de decimal a fracción y viceversa?

La fracción generatriz es la fracción irreducible que se obtiene a partir de un número decimal, ya sea un decimal exacto o un decimal periódico. Claro está que deberemos usar diferentes métodos según el tipo de decimal, es exactamente lo que vamos a comentar a continuación.

Pasar de decimal exacto a fracción generatriz

En este caso, podemos recurrir a las fracciones decimales que hemos comentado al principio. Sencillamente, tenemos que escribir en el numerador el valor numérico, pero sin la coma. Mientras que en el denominador escribimos la potencia de diez que tenga tantos ceros como cifras tenga el numerador.

Aunque, si tenemos un número decimal mayor que la unidad, como puede ser el 4,25, entonces tendremos que multiplicar el número de unidades completas que tenemos por el valor del denominador y sumarlo al numerador original. A continuación, puedes encontrar un ejemplo de cada tipo:

De decimal a fracción
Decimales a fracción

Pasar de decimal periódico puro a fracción generatriz

Cuando tenemos un número decimal periódico puro, si queremos obtener la fracción generatriz tendremos que poner en el numerador el mismo valor, pero sin coma decimal y restarle la parte entera. Mientras que el denominador será igual a un número formado únicamente por nueves, concretamente deberemos escribir tantos nueves como la cantidad de cifras que tenga la parte decimal del número original. Este sistema es algo confuso, pero con un par de ejemplos se entenderá:

De decimal periódico puro a fracción

Pasar de decimal periódico mixto a fracción generatriz

En caso de tener un número decimal periódico mixto, tendremos que aplicar una norma bastante compleja. Primeramente, escribiremos en el numerador el número sin la coma decimal y le restaremos la parte entera seguida de los decimales no periódicos, también sin coma decimal. En cuanto al denominador, tendremos que escribir tantos nueves como cifras tenga la parte decimal periódica, seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.

De decimal periódico mixto a fracción

Pasar de fracción a decimal

Para pasar de una fracción a un decimal solamente hay que dividir el numerador entre el denominador, ya que un número fraccionario no es más que el cociente entre dos valores. Así que, resolviendo la división obtienes el número decimal correspondiente. En la siguiente imagen puedes encontrar algunos ejemplos bastante sencillos:

De fracción a decimal

Ejercicios de fracciones

Ahora que ya sabes toda la teoría acerca de las fracciones, te recomendamos que hagas algunos ejercicios. De esta manera, aprenderás todos los conceptos explicados con mayor profundidad y el día del examen irás más rápido resolviendo los cálculos. Además, habrás visto todos los tipos de ejercicios de fracciones que hay y sabrás cómo resolverlos en consecuencia. Por último, comentarte que también tenemos a tu disposición una calculadora de fracciones online, con la cual podrás resolver todas las operaciones de fracciones.

Micalculadoracientifica.com