Explicaciones matemáticas

El número de Euler (también conocido como la constante de Euler) es un número matemático importante y esencial en diversas áreas de las matemáticas, incluyendo la teoría de números, la topología, la teoría de grupos y la teoría de funciones. Se representa con la letra griega «e» y su valor aproximado es 2,71828.

El número e surge de la fórmula de la función exponencial y es un número fundamental en la teoría de los números complejos.

También es un número natural que aparece en la resolución de muchos problemas matemáticos, incluyendo el cálculo de probabilidades y la modelización de procesos de crecimiento y decay.

¿Cuál es el origen del número Euler?

El número de Euler fue nombrado en honor al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), quien fue uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos y es considerado el padre de la matemática moderna.

Euler hizo valiosas contribuciones en muchas áreas de las matemáticas, incluyendo la teoría de números, la geometría, el cálculo, la física y la astronomía.

Fue él quien primero definió y utilizó el número e (llamado el número de Euler) en su trabajo en cálculo y teoría de logaritmos. La fórmula de Euler para números complejos también es una de sus contribuciones más notables a la matemática.

¿Cómo se obtiene este valor?

A decir verdad, hay diversos métodos para calcular el número de Euler. Sin embargo, cabe mencionar que ningún método arroja un resultado exacto. Por lo tanto, su numeración es continúa e infinita, pero no se repite.

De hecho, en la actualidad, se conocen hasta más de 1 billón de números que forman la cifra del número e. La serie infinita que define el número de Euler es:

Donde «!» es factorial, que se define como el producto de todos los números naturales hasta ese número. Por ejemplo:

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Podemos ver gráficamente esta serie como la suma de una serie de rectángulos con altura 1 y anchura decreciente, donde la anchura de cada rectángulo es 1/n!, donde n es el número de factoriales.

Si aumentamos el número de rectángulos en la suma, la aproximación al área bajo la curva de la función exponencial se acerca cada vez más al número de Euler.

En resumen, el número de Euler es un número que surge de la suma de una serie infinita y es fundamental en muchas áreas de las matemáticas. Aunque es un número irracional, su valor aproximado es 2,71828.

Es importante tener presente que el mismo Euler implementó este método para realizar el cálculo de e con 18 decimales.

Otra forma de calcularlo:

Podemos calcular el valor aproximado del número de Euler en una recta utilizando una serie de términos finitos. Por ejemplo, si tomamos la primera serie infinita que se definió anteriormente:

Podemos calcular el valor aproximado sumando los primeros términos de la serie. Por ejemplo, si sumamos los primeros 6 términos:

Podemos representar esta serie en una recta para ver cómo se acerca al valor aproximado de 2,71828.

Gráficamente, la recta que representa el número de Euler se puede dibujar con una serie de rectángulos con altura 1 y anchura decreciente, donde la anchura de cada rectángulo es 1/n!, donde n es el número de factoriales.

Si aumentamos el número de rectángulos en la suma, la aproximación al área bajo la curva de la función exponencial se acerca cada vez más al número de Euler.

Ecuaciones exponenciales con el número Euler

Las ecuaciones exponenciales con el número de Euler pueden ser usadas para modelar una amplia variedad de fenómenos en ciencias como la física, la biología, la economía, entre otros. Algunos ejemplos incluyen:

Crecimiento y decadencia exponencial

Este modelo describe la tasa en la que una población crece o decrece, o la tasa de descomposición de una sustancia tóxica.

Por ejemplo, si una población está creciendo a una tasa del 5% por año, su tamaño puede ser descrito por la fórmula:

P(t) = P0 · e^0,05t, donde P0 es el tamaño inicial de la población.

Modelos de desintegración radioactiva

 Este modelo describe la tasa en la que los átomos radiactivos se desintegran con el tiempo.

La fórmula es la siguiente:

N(t) = N0 · e^-λt

Donde N0 es el número inicial de átomos, λ es una constante que depende del material radioactivo y t es el tiempo.

Estos son solo algunos ejemplos de cómo se pueden emplear las ecuaciones exponenciales con el número de Euler en la práctica. Hay muchos otros campos en los que las ecuaciones exponenciales son útiles y relevantes.

¿Cuáles son las aplicaciones del número Euler?

El número de Euler tiene una amplia gama de aplicaciones en diferentes campos de la matemática y las ciencias. Algunos de los campos en los que se utiliza el número e son los siguientes:

• Cálculo y análisis matemático: se utiliza en el estudio de las funciones exponenciales y logarítmicas, y en la solución de ecuaciones diferenciales.
• Teoría de números: se utiliza en el estudio de la distribución de los números primos y en la solución de problemas relacionados con la teoría de números.
• Probabilidad y estadística: se emplea en la solución de problemas relacionados con la distribución de probabilidad y en la estimación de valores esperados.
• Criptografía: se usa en el estudio de los algoritmos de cifrado y descifrado.
• Física: se utiliza en la solución de problemas relacionados con la termodinámica, la mecánica cuántica y la física estadística.
• Química: se emplea en la solución de problemas relacionados con la termodinámica química y la cinética química.

Fórmula de Euler para números complejos

La fórmula de Euler para números complejos establece una relación entre las funciones trigonométricas y exponenciales. La fórmula se escribe como:

Donde “e” es la base de los logaritmos naturales, “i” es la unidad imaginaria, ”x” es un número real y “cos” y “sen” son las funciones trigonométricas coseno y seno, respectivamente.

Esta fórmula es muy útil en muchas áreas de la matemática, incluyendo la teoría de números, la teoría de funciones y la teoría de la complejidad, y tiene una gran variedad de aplicaciones en la ingeniería, la física y la economía.

Un ejemplo práctico de su uso es en la representación de señales y sistemas en el análisis de Fourier, en el cual las señales periódicas se representan como una suma de señales sinusoidales complejas.

La fórmula de Euler se utiliza para describir la forma en que estas señales complejas se relacionan con las funciones trigonométricas reales que describen las señales sinusoidales individuales.

El número Euler y el interés compuesto

El interés compuesto es un concepto financiero que describe el proceso por el cual una cantidad de dinero, llamada capital, genera intereses sobre el interés acumulado a lo largo del tiempo.

En otras palabras, los intereses generados por una inversión no solo provienen del capital inicial, sino también de los intereses generados en períodos previos.

El número de Euler y el interés compuesto están relacionados porque la fórmula para calcular el interés compuesto utiliza el número de Euler. La fórmula para el interés compuesto es:

A = P · e^rt

Donde A es el monto final, P es el principal, r es la tasa de interés, t es el tiempo y e es el número de Euler. De esta manera, el número de Euler es un factor importante en la formulación matemática para el cálculo del interés compuesto.

Un ejemplo de cálculo de interés compuesto con números concretos sería el siguiente:

Supongamos que tenemos una inversión de 1000 € a una tasa de interés del 5% anual durante 2 años. La fórmula para calcular el interés compuesto sería:

A = P · e^rt = 1000 · e^{0,05 · 2} = 1000 · 1,1025 = 1102,5 €.

Esto significa que después de 2 años, nuestro capital inicial de 1000 € habrá crecido a 1102,5 € debido al interés compuesto generado.

Ejemplos de ejercicios matemáticos con el número Euler

Aquí están dos ejemplos de ejercicios resueltos de matemáticas que involucran el número de Euler:

1. Encuentra el valor de «e^ix» donde x es un número real:

La identidad de Euler nos dice que e^ix = cos(x) + i · sen(x). Por lo tanto, si conocemos el valor de x, podemos calcular el valor de e^ix utilizando las funciones trigonométricas.

2. Calcula e^(x²) para un valor dado de x:

Podemos utilizar la serie de Taylor para calcular el valor de e^(x²). La serie de Taylor de e^x es una expansión infinita que permite calcular aproximaciones sucesivas del valor de e^x, dependiendo del término que se use.

Si sustituimos x² en lugar de x en esta serie, obtenemos la serie de Taylor para e^(x²).

Si quieres practicar restas sin llevar, te recomendamos que le eches un vistazo a las fichas que te proporcionamos en este artículo, seguro que te serán de ayuda. Aunque, si lo que quieres es aprender a restar, te recomendamos que accedas a este último enlace. Allí te explicaremos cómo hacerlo de una forma fácil y rápida.

Ejercicios de restas de una cifra sin llevar

Las restas de una cifra sin llevar es el nivel más fácil de este tipo de operaciones. Puesto que solamente operamos con unidades, de momento no hay decenas ni centenas. Así que, únicamente debemos pensar en un dígito.

A continuación, te dejamos una serie de ejemplos, para que trates de resolverlos. Y recuerda que si quieres descargarte esta ficha de restas de una sola cifra, puedes hacerlo por medio de este botón:

Ejercicios de restas de dos cifras sin llevar

Las restas de dos cifras sin llevar son algo más complicadas que las anteriores, porque además de tratar con las unidades, debemos fijarnos en las decenas. Lo bueno es que el procedimiento es el mismo: solo hay que restar el número de arriba (el minuendo) al valor de abajo (sustraendo) en las unidades y después, en las decenas.

En las siguientes imágenes puedes encontrar varios ejemplos de este tipo de restas, para que trates de resolverlos. Te recomendamos que empieces por resolver la primera página y si te gusta cómo vas, puedes seguir con las dos páginas siguientes. O incluso, puedes bajar hasta el siguiente nivel: las restas de tres cifras sin llevar.

Ejercicios de restas de tres cifras sin llevar

En tercer lugar, encontramos las restas de tres cifras sin llevar, las cuales son un poco más complicadas de resolver. Eso sí, el procedimiento a seguir, para resolverlas, es idéntico que el anterior, pero hay que tener en mente las centenas. Que son la tercera cifra del sistema de numeración decimal.

A continuación, te mostramos unas cuantas restas de este tipo para que practiques. Si te va mejor, puedes pulsar en el botón «Descarga la ficha» y podrás descargarla para posteriormente imprimirla. Recuerda que lo importante es practicar, puesto que cuantos más ejercicios resuelvas, mejor sabrás restar sin llevar.

Ejercicios de restas de cuatro cifras sin llevar

Por último, llegamos a las restas de cuatro cifras sin llevar, las cuales son el tipo de restas más complicado que veremos hoy. Aunque, tal como llevamos diciendo todo el rato, hay que aplicar el mismo procedimiento para todas estas restas. Desde las de una cifra sin llevar hasta las de cuatro cifras sin llevar.

Para que puedas practicar un poco, te dejamos una serie de ejemplos en las siguientes imágenes. Y recuerda que si quieres descargar la ficha, solamente tienes que pulsar el siguiente botón.

Resolver potencias de números complejos es algo bastante sencillo de hacer, si conoces el método adecuado. Es por eso, que en este artículo, te explicaremos cómo resolver potencias complejas de tres formas: para números complejos en forma binómica, en forma polar y en forma trigonométrica.

¿Cómo se resuelve la potencia de un número complejo?

Tal como hemos dicho en la introducción, se nos pueden plantear tres situaciones, a la hora de operar con potencias complejas. La primera y más fácil es cuando nos dan el número en forma polar. La segunda es cuando nos dan el número en forma binómica y la tercera es cuando nos dan el número en forma trigonométrica.

Dicho de otro modo, cuando operamos con complejos en forma polar, el ejercicio se puede resolver más rápido. Por eso, se recomienda pasar el número en cuestión a forma polar. Pero, en realidad, todos los métodos son sencillos de resolver. Dicho esto, vamos a explicar cómo se resuelven todos los casos y te plantearemos algún ejercicio.

Potencias de números complejos en forma polar

Cuando queremos resolver potencias complejas en forma polar, sencillamente, debemos elevar el módulo a n y multiplicar el argumento por n. Expresado matemáticamente, obtenemos la siguiente fórmula:

A continuación, te planteamos algunos ejemplos, para que trates de resolverlos por tu cuenta:

Potencias de números complejos en forma binómica

Por otro lado, cuando queremos resolver potencias complejas en forma binómica, podemos recurrir a dos métodos diferentes. El primero se trata de resolver la potencia de manera «algebraica» (resolviendo como si la i fuera una variable). Y el segundo sistema se trata en convertir la forma binómica a polar y después, seguir el procedimiento de antes.

Si no sabes cómo pasar de la forma binómica a la polar, te lo explicamos de forma muy clara en nuestro artículo sobre los números complejos. Aunque, ahora lo veremos rápidamente con un ejemplo.

Trata de resolver la siguiente potencia compleja: (2 + 3i)².

Potencias de números complejos en forma trigonométrica

Por último, cuando queremos resolver potencias complejas en forma trigonométrica, debemos utilizar la conocida fórmula de Moivre. La cual se escribe tal que así:

Conociendo esta fórmula, trata de resolver los siguientes ejercicios:

Más sobre las potencias complejas

• Números complejos
• Propiedades de los complejos
• Operaciones de números complejos
• Raíces complejas

Calcular raíces de números complejos es algo bastante sencillo. Pues, una vez entiendes el procedimiento, este es bastante repetitivo. A continuación, vamos a explicarlo y te plantearemos algún ejemplo, para que aprendas a aplicarlo en ejercicios reales.

Raíces enésimas de números complejos

El concepto de raíz enésima equivale a decir raíz de orden n, por lo tanto, el mismo método sirve para calcular la raíz cuadrada y la raíz quinta de un número complejo. Eso sí, el número de soluciones cambiará en función de ese orden.

Por ejemplo, si calculamos la raíz cuarta de un complejo, obtenemos 4 soluciones diferentes. Y si lo expresamos en el plano complejo, podemos ver que se forma un polígono regular de 4 lados, centrado en el origen del plano. Esta es una propiedad muy interesante, que veremos en detalle más adelante (en el apartado de los ejemplos).

Ahora que ya hemos clarificado este concepto, vamos a ver cómo se calcula la raíz de un número complejo en forma polar (usar esta notación es la más cómoda para resolver una raíz.). Sencillamente, hay que calcular la raíz del módulo y expresar el argumento en función de n. Dicho de otra manera, la raíz del siguiente número complejo (z):

Equivale a calcular:

• Módulo: La raíz enésima del módulo inicial.
• Argumento: Sumarle al argumento 2πk en radianes o 360k en grados, y dividirlo todo entre n.

Matemáticamente, para calcular el módulo y el argumento usamos las siguientes dos fórmulas:

Donde, k = 0, 1, 2, …, n-1.

Y, por lo tanto, el resultado lo expresamos tal que así:

Para que quede claro, las n soluciones que obtendremos de resolver esta raíz estarán formadas por el mismo módulo y n argumentos diferentes.

Ejemplos del cálculo de raíces enésimas de complejos

Ahora vamos a ver un par de ejemplos sobre el cálculo de raíces enésimas de números complejos. Te recomendamos que trates de resolverlos por tu cuenta y cuando acabes, mires la corrección. Recuerda que el método está explicado justo arriba.

Calcula la raíz tercera del número complejo: 1 + i√3.

Calcula la raíz cuarta del número complejo: 3+i√3.

Más sobre raíces de números complejos

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• Operaciones de números complejos
• Potencias complejas
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Los números romanos son un sistema numérico que se utilizó en la antigua Roma y en la Edad Media. Este sistema se caracteriza por usar letras mayúsculas para representar valores numéricos.

Es decir, cada una de las cifras se representa por medio de una letra o la combinación de varias. La cantidad obtenida tiene que ver con el posicionamiento de las letras. Además, a diferencia de otros sistemas numéricos, los números romanos no tienen un símbolo para el cero.

Este sistema de numeración se compone de siete letras mayúsculas: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) y M (1000). Los valores de estas letras pueden combinarse para representar números más grandes. Por ejemplo, el número 11 se puede representar como XI (10 + 1), mientras que el número 123 se puede representar como CXXIII (100 + 20 + 3).

Un dato interesante sobre los números romanos es la forma en que se solía expresar el número 4. Es decir, en la antigüedad, el número 4 se representaba como “IIII”. Sin embargo, ahora mismo, se representa como “IV” debido a que no se debe repetir un mismo signo más de tres veces consecutivamente.

¿Cuál es el origen de los números romanos?

El origen exacto de los números romanos es incierto y ha sido objeto de debates entre historiadores y arqueólogos. Sin embargo, se cree que se desarrollaron a partir de los sistemas numéricos utilizados por los antiguos etruscos y griegos que habitaban en la región italiana en la época prerromana.

Se piensa que los primeros números romanos eran simples marcas en tablas de madera o en tela. Dichos símbolos eran utilizados para llevar un registro de transacciones comerciales y otros asuntos prácticos.

Con el tiempo, estas marcas evolucionaron en un sistema más sofisticado que empleaba letras mayúsculas para representar valores numéricos, y que se usó ampliamente en la antigua Roma y en la Edad Media.

¿Cómo funcionan los números romanos?

Los números romanos funcionan mediante la combinación de siete letras mayúsculas diferentes: I, V, X, L, C, D y M. Cada letra representa un valor numérico diferente:

I = 1

V = 5

X = 10

L = 50

C = 100

D = 500

M = 1000

Para formar números más grandes, se combinan estas letras de una manera específica. Aquí hay algunos ejemplos para ilustrar cómo funcionan los números romanos:

Para representar números compuestos por unidades, se escriben tantos símbolos “I” como unidades se requieran. Por ejemplo, para representar el número 3, se escriben tres símbolos “I”: III.

Para representar números que incluyen cinco unidades, se usa el símbolo “V”. Por ejemplo, para representar el número 5, se escribe “V”.

Para representar números compuestos por unidades y cinco unidades, se combinan los símbolos “I” y “V”. Por ejemplo, para representar el número 4, se escribe “IV” (un símbolo “I” antes de un símbolo “V”).

Para representar números mayores que 1000, se escriben tantos símbolos “M” como miles se requieran. Por ejemplo, para representar el número 2500, se escriben dos símbolos “M”: MM.

¿Cuáles son las 5 reglas de los números romanos?

Las cinco reglas principales de la numeración romana son las siguientes:

1. Los números se leen de izquierda a derecha.

• Ejemplo: Si escribimos el número XXV, debemos empezar a operar desde la izquierda: 10 + 10 + 5 = 25.

2.      Una letra no puede repetirse más de tres veces seguidas.

• Ejemplo: Para representar el número 30, en lugar de escribir “IIIIIIIIII…”, se escribe “XXX” (tres símbolos “X”).

3.      Para representar un número más grande, se coloca una letra con un valor numérico mayor a la derecha de letras con valores numéricos menores. De esta forma, se suman los valores. En el siguiente apartado, detallamos qué números pueden restarse, así que te recomendamos que mires ese apartado.

• Ejemplo: Para representar el número 39, se escribe “XXXIX” (tres símbolos “X” seguidos de un símbolo “I” y un símbolo “X”).

4.      Cuando se coloca una letra con un valor numérico menor a la izquierda de una letra con un valor numérico mayor, este valor se resta.

• Ejemplo: Para representar el número 4, en lugar de escribir “IIII”, se escribe “IV” (un símbolo “I” antes de un símbolo “V”).

5.      Los símbolos “V” y “L” no pueden colocarse a la izquierda de una letra con un valor numérico mayor, y los símbolos “I”, “X” y “C” solo pueden restarse.

• Ejemplo: Para representar el número 49, en lugar de escribir “VL”, se escribe “XLIX” (un símbolo “X” antes de un símbolo “L” y un símbolo “I”).

Estas reglas ayudan a asegurar que cada número romano sea único, fácil de leer y comprender. Al seguir estas reglas, se pueden representar todos los números enteros de una manera clara y concisa.

¿Cómo se clasifican los números romanos?

Una forma de comprender mejor cómo funcionan los números romanos es entender su clasificación. Puesto que los números de un mismo tipo, siguen las mismas normas a la hora de sumar y restar valores cuando están combinados con otras letras. Este sistema numérico se clasifica en los siguientes tres tipos:

1.     Aquellos que se pueden sumar o restar de acuerdo con la posición en la que se encuentren y que se pueden repetir hasta 3 veces. Asimismo, solo se escriben una única vez si es que están restándose:

I	Representa al número 1 y se resta solo de los símbolos V y X
X	Representa al número 10 y se resta solo de los símbolos L y C
C	Representa al número 100 y se resta solo de los símbolos D y M

2.     Los símbolos que no se repiten en ningún caso, pero cada uno representa el valor x5 de cada uno de los mencionados antes. Asimismo, siempre se suman:

V	5
L	50
D	500

3.     Este último símbolo de la clasificación, se puede escribir hasta tres veces continúas, pero solo suma. Por ello, nunca se usa para restar:

M

100

¿Cómo representar números del 4.000 en adelante en números romanos?

Para poder expresar una cantidad mayor a 3.999 en números romanos, no es necesario colocar letras hasta llegar a la cifra. En este caso, basta con colocar una raya encima del número, de esta manera lo estamos multiplicando por 1.000. Veamos algunos ejemplos a continuación:

Por otro lado, cabe destacar que, en el sistema de números decimales, cualquier combinación de cifras se lee como un número correcto. Sin embargo, esto no es igual en el caso de los números romanos.

Es decir, cuando aprendemos cómo leer la numeración romana no tiene sentido escribir “VV”, por ejemplo. Porque, sabemos que “VV“, en realidad se escribe con el símbolo “X“. Puesto que 5 + 5 = 10.

¿Cuál es la diferencia entre la numeración etrusca y la numeración decimal?

La numeración etrusca es un antiguo sistema numérico utilizado por la civilización etrusca de Italia.

La numeración decimal, por otro lado, es un sistema numérico basado en la posición, donde cada posición representa un factor de 10. Es el sistema numérico más comúnmente empleado en el mundo moderno, y se remonta a la antigua civilización hindú.

La principal diferencia entre ambos sistemas es la base. Mientras que la numeración decimal es un sistema basado en el número 10, la numeración etrusca era un sistema sexagesimal, basado en el número 60.

Esto significa que los etruscos empleaban una combinación de signos para representar números hasta 60, en lugar de solo los dígitos 0-9 que empleamos en el sistema decimal.

Además, la numeración etrusca no tenía un símbolo para el cero, lo que hacía más complicado llevar a cabo operaciones matemáticas complejas. Por otro lado, la numeración decimal, con su símbolo para el cero, es mucho más flexible y permite una amplia gama de operaciones matemáticas.

Para entender un poco mejor, veamos ejemplos de ambas formas de representación numérica a continuación:

Numeración decimal	Numeración romana
42	XLII
99	XCIX
2021	MMXXI

¿Cómo se pronuncian correctamente los números romanos?

No todas las personas saben cómo se deben pronunciar estos números. Mayormente, esto tiene que ver con la poca utilización que tienen los números romanos en la actualidad. No obstante, ahora mismo se leen y pronuncian como los números ordinarios del sistema decimal occidental.

Para ello, atienden a su valor real. Ahora bien, en el caso de su uso escrito, se aplica de la siguiente manera:

• Para identificar libros o capítulos se escribe Capítulo II y se lee como capítulo dos.
• Para señalar escenas en una obra teatral se escribe Acto IV y se lee como acto cuatro.
• Finalmente, para mencionar reyes, emperadores o papas se escribe Juan Pablo II y se lee Juan Pablo segundo.

¿Para qué se utilizan los números romanos en la actualidad?

Aunque los números romanos ya no se emplean como sistema de numeración en el día a día, aún tienen algunos usos importantes en la actualidad. Algunos de ellos son:

• Numeración de capítulos y páginas en libros: muchos libros, especialmente libros académicos y de texto, utilizan números romanos para numerar los capítulos y páginas iniciales.
• Nombres de monarquías y reinados: muchos países europeos, incluida la Reina Isabel II del Reino Unido, usan números romanos para identificar a los monarcas y reinados.
• Arquitectura y monumentos: algunos edificios y monumentos históricos, como iglesias, palacios y estatuas, utilizan números romanos para identificar los pisos o secciones.
• Designación de sistemas de medidas: diversos sistemas de medidas, como las dimensiones de las hojas de papel, emplean números romanos para identificar tamaños específicos.

En resumen, los números romanos aún se usan en la actualidad en una variedad de contextos, pero su utilización es principalmente ceremonial y decorativo.

Los números complejos son un conjunto formado por números reales y números imaginarios. Estos dos últimos conjuntos numéricos pueden representarse gráficamente por medio de la recta real y la recta imaginaria. Y cuando situamos ambas rectas en un mismo plano, se forma el conocido plano complejo.

¿Qué es el plano complejo?

El plano complejo está formado por el eje real (eje X), el cual es equivalente a la recta real y, por otro lado, el eje imaginario (eje Y), el cual conceptúa la recta imaginaria.

Cabe destacar, que este plano comprende todos los números complejos. Por lo tanto, da igual qué tan grande o tan pequeño, o en que forma esté escrito un número complejo, que este se puede graficar en el plano. Así que vamos a ver cómo se representan estos números en el plano complejo.

¿Cómo graficar números complejos en el plano complejo?

Como ya sabemos (o si no lo sabes, te recomendamos que leas nuestro artículo sobre los números complejos), existen tres formas de escribir un complejo: forma binómica, forma polar y forma trigonométrica. Cada una expresa el valor complejo siguiendo una estructura diferente, así que el método a seguir para hacer las representaciones gráficas es distinta.

A continuación, te explicamos el procedimiento a seguir en los tres casos:

Representación en forma binómica

Cuando tenemos un número complejo en notación binómica, que es la más habitual, debemos fijarnos en la estructura del número:

Donde, a es la parte real y b es la parte imaginaria.

Sabiendo esto, deducimos que el valor de a es el que utilizamos para la coordenada x (eje real) y el valor de b es el que usamos para la coordenada y (eje imaginario). Con el siguiente ejemplo, lo vas a entender mejor.

Vamos a tratar de representar el número: 3 + 2i.

Lo primero es dibujar el gráfico (señalizando que el eje horizontal es el real y el eje vertical es el imaginario):

Después, ubicamos el punto del gráfico en coordenadas cartesianas (x, y), que hemos deducido a partido del número complejo. En este ejemplo práctico, nuestro punto es el (3, 2).

Así quedaría representado el valor 3 + 2i en el plano complejo.

Representación en forma polar

Ahora vamos a ver, cómo se representa un número complejo en forma polar. Para entender bien este método, debes saber que la notación polar define un número complejo a partir del módulo y del argumento. Los cuales se emplean en la representación gráfica como coordenadas polares (¡no coordenadas cartesianas!).

Y la característica principal del sistema de coordenadas polares es que se describe la ubicación de un punto, por medio de un vector y un ángulo (no como el anterior método). Los cuales se corresponden con el módulo y argumento de los números complejos. A continuación, te mostramos la fórmula universal de la forma polar de un número complejo:

Donde |z| es el módulo y α es el argumento. Estas dos variables se traducen en el plano como:

• Módulo: es la longitud que define a un vector (entre el origen y el punto equivalente a nuestro número).
• Argumento: es el ángulo que forma el vector con el eje X.

Por lo tanto, el módulo de un número complejo se corresponde con la longitud del vector que utilizamos para hacer la representación gráfica. Mientras que el argumento o ángulo del número complejo, se corresponde con el ángulo que hay entre el vector y el eje X. A continuación, puedes ver un esquema que sitúa todas las variables:

Ahora, vamos a tratar de representar el número: 3₄₅.

Primero, debemos identificar el módulo y el argumento:

• Módulo: 3.
• Argumento: 45 grados.

Seguidamente, debemos encontrar los puntos de la gráfica que tienen un módulo igual a 3, en este caso nos sirve cualquier punto de una circunferencia de radio 3.

Y para acabar de determinar cuál es el punto exacto, debemos poner la condición de que el vector generado por el módulo y el origen deben hacer un ángulo de 45 grados con el eje X.

Y ya tenemos representado un número complejo en notación polar.

Representación en forma trigonométrica

Por último, nos queda explicar cómo se representa un número complejo en forma trigonométrica. Este caso y el anterior son prácticamente iguales, esto se debe a que tanto la forma polar como la forma trigonométrica, usan los mismos datos para expresar un número complejo: el módulo y el argumento. Solo cambia la estructura de la expresión:

Donde, |z| es el módulo y α es el argumento.

Así que debemos aprovechar el mismo método que en el anterior caso: emplear el módulo como «longitud» y el argumento como el ángulo. Viendo el siguiente ejemplo, lo entenderás mejor.

Vamos a representar z = 4 · (cos (45) + i · sen(45)).

Lo primero es identificar el módulo y el ángulo:

• Módulo: 4.
• Argumento: 45 grados.

Después, debemos encontrar los puntos de la gráfica que tienen un módulo igual a 4, en este caso nos sirve cualquier punto de una circunferencia de radio 4.

Y finalmente, ubicamos el punto exacto, exigiendo que el ángulo formado entre el vector del módulo y el eje X sea de 45 grados, tal como nos dice el argumento.

Y así representamos un número complejo en forma trigonométrica.

Ejercicio del plano complejo

Para acabar con esta publicación, te vamos a plantear un ejercicio final. Te recomendamos mucho que lo resuelvas, porque así consolidarás los conocimientos explicados a lo largo de este artículo.

Prueba de graficar los siguientes tres números complejos en el plano complejo:

z = 2 – i

w = √2₁₈₀

p = cos (60) + i · sen(60)

Más sobre el plano complejo

• Números complejos
• Números imaginarios

En este artículo vamos a tratar las propiedades de los números complejos, las cuales nos pueden venir bien a la hora de resolver cálculos y simplificar expresiones. Vamos directos a ver estas propiedades.

Módulo y argumento de un número complejo

La primera propiedad de un número complejo es el módulo y el argumento de un número complejo. Esto es muy fácil de calcular, pues sencillamente hay que aplicar un par de fórmulas.

La fórmula para calcular el módulo:

La fórmula para calcular el argumento:

Ahora bien, si el número está expresado en forma polar o trigonométrica, no hace falta hacer ningún cálculo. Porque, en la misma expresión, se detallan tanto el módulo como el argumento.

En la siguiente imagen, puedes ver la fórmula de un número en forma polar, donde |z| es el módulo y α es el argumento.

Y en esta otra imagen, puedes ver la estructura de un número expresado en forma trigonométrica, donde |z| es el módulo y α es el argumento.

Números complejos iguales

Los números complejos iguales son aquellos que comparten módulo y argumento. Por lo tanto, partiendo de estos dos valores:

Estos son iguales si se cumple la siguiente propiedad.

Por otro lado, si tenemos ambos números en forma binómica, podemos hacer una comprobación muy rápida y sencilla para saber si son dos números complejos iguales. Sencillamente, se debe cumplir la siguiente expresión:

a + bi = a + bi

Vamos a ver un ejemplo, determina si los dos números complejos siguientes son iguales:

Números complejos conjugados

Ahora pasamos a una de las propiedades más importantes de los números complejos, pues saber calcular el conjugado de un complejo nos ayuda mucho a resolver divisiones complejas y a hacer simplificaciones.

Entonces, partiendo de estos dos valores:

Decimos que son conjugados si comparten módulo y tienen argumentos opuestos. Por lo tanto, debe cumplirse:

Por otro lado, si tenemos ambos números en forma binómica, podemos hacer una verificación muy rápida y sencilla para saber si son dos números complejos conjugados. Sencillamente, se debe cumplir la siguiente expresión:

a + bi = a – bi

Vamos a ver un ejemplo, determina si los dos números complejos siguientes son conjugados:

Números complejos opuestos

A continuación, pasamos a ver la propiedad de los números complejos opuestos. Partiendo de estos dos valores:

Podemos decir que son opuestos si tienen mismo módulo y sus argumentos difieren 180 grados o π radianes:

Por otro lado, si tenemos ambos números en forma binómica, podemos otro método aún más rápido y sencillo para saber si son dos números complejos opuestos. Sencillamente, se debe cumplir la siguiente expresión:

a + bi = -a – bi

Vamos a ver un ejemplo, determina si los dos números complejos siguientes son opuestos:

Otras propiedades

Evidentemente, este conjunto numérico tiene otras propiedades, como por ejemplo, los números complejos inversos y algunas otras que están relacionadas directamente con las operaciones aritméticas básicas. Aunque, todas estas las comentamos en otros artículos, los cuales puedes ver en la lista de abajo.

Más sobre las propiedades de los números complejos

• Números complejos
• Operaciones con números complejos
• Raíces complejas
• Representación gráfica de los números complejos

En este artículo, vamos a explicar cómo resolver operaciones con números complejos. Detallaremos los métodos que pueden usarse para cada operación. De este modo, sabrás cómo actuar en cada situación.

Suma y resta de números complejos

Vamos a empezar explicando cómo sumar y restar números complejos en forma binómica. Sencillamente, debemos operar como cuando lo hacemos con expresiones algebraicas. Debemos sumar o restar las partes reales y las partes imaginarias por separado. A continuación, te explicamos cómo resolver ambas operaciones.

Para sumar en forma binómica debemos seguir esta fórmula que es muy intuitiva (tal como hemos dicho antes, esta fórmula parte de la premisa de que debemos separar las partes reales de las imaginarias):

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Trata de resolver la siguiente suma: (2 + 5i) + (-3 + 2i)

Para restar en forma binómica debemos hacer lo mismo, pero con el signo negativo:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Ahora, trata de resolver la siguiente resta: (3 – 4i) – (5 + 2i)

Multiplicación de números complejos

Ahora pasamos a la multiplicación de números complejos. Aunque, cabe destacar que se nos pueden plantear dos casos. El primero es una multiplicación de números complejos en forma binómica. Y el segundo es una multiplicación de números complejos en forma polar. Vamos a ver un ejemplo resuelto de ambos casos.

Para multiplicar en forma binómica, podemos usar la siguiente fórmula:

(a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

Aunque, en realidad, sencillamente debemos aplicar el sentido común, pues se resuelve igual que una multiplicación algebraica.

Intenta resolver la multiplicación en forma binómica: (2 + 4i) · (3 – 2i)

En cambio, para resolver una multiplicación en forma polar, debemos multiplicar los módulos y sumar los argumentos (o ángulos). La siguiente expresión describe muy bien el procedimiento a seguir:

|z|_a · |w|_b = (|z| · |w|)_a+b

Ahora, prueba de resolver esta multiplicación en forma polar: √2₄₅ · 2₆₀

División de números complejos

La cuarta operación aritmética con números complejos es la división, la cual es relativamente sencilla. Igual que con la multiplicación, se nos pueden plantear dos casos. El primero es una división de números complejos en forma binómica y el segundo es una división de números complejos en forma polar. Vamos a ver ambas:

Para resolver una división en forma binómica, podemos aplicar la siguiente fórmula:

Aunque, al igual que pasa con las multiplicaciones, también pueden resolverse como si fueran divisiones algebraicas.

Prueba de resolver la siguiente división en forma binómica: (2 – i) ÷ (3 + 2i)

Y para resolver divisiones con números complejos en forma polar, solamente hay que aplicar la siguiente fórmula:

A ver si puedes resolver la siguiente división en forma polar: √3₉₀ ÷ √6₃₀

Más sobre operaciones de números complejos

• Números complejos
• Propiedades de los números complejos
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• Potencias de números complejos

Seguro que has oído hablar de los números complejos. Son quizás el conjunto numérico más difícil de tratar, pues combinan los números reales y los imaginarios. Su unificación nos permite estudiar comportamientos numéricos que no se pueden tratar desde el conjunto de los reales.

¿Qué son los números complejos?

Los números complejos son la combinación de un número real y un número imaginario. Por ejemplo, 4 + 5i es un número complejo que tiene una parte real equivalente a 4 y una parte imaginaria igual a 5i. De forma general, podemos expresarlos a través de la siguiente fórmula:

Donde, Re(z) = a y Im(z) = b

Como bien hemos dicho, los complejos son el conjunto mayor o global, el cual comprende tanto los números reales como los números imaginarios. A continuación, te mostramos un pequeño esquema sobre la estructura jerárquica de todos los conjuntos:

Por lo tanto, cuando tenemos una combinación de un número real y uno imaginario, tenemos un número complejo. Pero, hay veces que una de las dos partes es igual a cero. ¿Qué pasa en estos casos? Pues bien, seguimos tratando con complejos, porque el conjunto complejo abarca todos los otros conjuntos numéricos. Pero, entramos en una subcategoría diferente:

Cuando tenemos un real puro, como el valor imaginario b es igual a cero, el número complejo que queda es equivalente a:

z = a + 0i = a

Por otro lado, cuando tenemos un imaginario puro, la a es igual a cero y, por lo tanto, el número complejo queda tal que así:

z = 0 + bi = bi

Representación gráfica de los números complejos

Para representar los números complejos, usamos el plano complejo. El cual está formado por dos rectas: la recta real y la recta imaginaria. Estas dos rectas numéricas se utilizan para situar gráficamente los números de cada conjunto y si las juntamos, obtenemos un plano, tal que así:

El eje X, se llama eje real porque es donde se sitúan los valores de la parte real. Mientras que el eje Y se llama eje imaginario, y es donde se escriben los valores imaginarios. Vamos a ver un ejemplo, situaremos en el plano complejo el número 3 + 2i.

Como has podido ver en la imagen, hemos situado el número utilizando como coordenadas los números 3 y 2, cada uno para un eje. Si quieres saber más sobre cómo representar números complejos, te recomendamos que te leas este artículo.

¿Cuáles son los tipos de los números complejos?

Ahora, vamos a ver las formas que tenemos de expresar un número complejo. Hasta el momento, solamente hemos visto la forma base (conocida como forma binómica), la cual se escribe como una suma: parte real más parte imaginaria.

Pero, en realidad, tenemos tres formas: la binómica, la polar y la trigonométrica. Cada tipo de expresión, tiene sus propiedades, y se usa en una situación u otra. Así que, vamos a explicarlas todas y a mostrar cómo se pasa de una a otra.

1. Forma binómica

Los números complejos en forma binómica se escriben como la suma de la parte real más la parte imaginaria: a + bi. Por ejemplo, el número 6 + i, es un complejo expresado en notación binómica. En este, la fórmula siempre es la misma:

En consecuencia, para expresar un número complejo en forma binómica, solamente nos hace falta conocer su valor real y su valor imaginario.

Por ejemplo, el valor 3 + 2i está en forma binómica y como hemos visto antes, queda representado tal que así:

La forma binómica se emplea mayormente para resolver sumas y restas de números complejos.

2. Forma polar

Para expresar los números complejos en forma polar, debemos calcular su módulo |z| y su argumento. La forma polar se utiliza mayormente cuando debemos resolver multiplicaciones y divisiones de números complejos.

Para calcular el módulo del número complejo, solamente tenemos que hacer el módulo de a y b, tal como se explica en la siguiente fórmula:

Y para calcular el argumento o ángulo de z, tenemos que calcular el arcotangente de b entre a:

Es importante destacar, que para determinar exactamente el valor del ángulo α, es necesario ubicar en qué cuadrante se encuentra. Lo cual se debe a que la función arcotangente solamente calcula ángulos entre π/2 y -π/2. Para concretar en qué cuadrante está situado el número complejo, debemos fijarnos en los valores a y b (si son positivos o negativos):

Una vez sabemos en qué cuadrante está situado nuestro número, debemos seguir unas normas:

• Si el número complejo está en el primer cuadrante (a > 0 y b > 0), dejaremos el argumento tal como está.
• Si el número complejo está en el segundo cuadrante (a < 0 y b > 0), sumaremos π al argumento.
• Si el número complejo está en el tercer cuadrante (a < 0 y b < 0), restaremos π al argumento.
• Si el número complejo está en el cuarto cuadrante (a > 0 y b < 0), sumaremos 2π al argumento.

En el caso de que no sepas a lo que nos referimos cuando decimos cuadrante, te recomendamos que visites nuestro artículo sobre las razones trigonométricas.

Una vez conocemos el módulo y el argumento de z, podemos expresar el número complejo en forma polar. Aunque, esta forma acepta varias nomenclaturas, las dos principales son:

Por ejemplo, si queremos pasar el número 3 + 5i a polar, sencillamente debemos seguir el siguiente procedimiento.

Primero, calculamos el módulo:

Después, calculamos el argumento, el cual está en el primer cuadrante, así que se queda tal cual lo hemos calculado.

Y expresamos el número en forma polar:

Su representación gráfica queda tal que así:

3. Forma trigonométrica

Por último, tenemos la notación trigonométrica, la cual se calcula a partir de la fórmula de Euler:

Por ejemplo, para expresar el número 4 – 3i en forma trigonométrica, seguimos el siguiente procedimiento:

Empezamos por calcular el módulo y el argumento con las fórmulas que hemos empleado en el apartado de la forma polar.

ATENCIÓN: El argumento está en el cuarto cuadrante, porque (a > 0 y b < 0).

Añadimos los datos en la ecuación de la forma trigonométrica.

Y ya tenemos expresado el número en forma trigonométrica. Su representación gráfica es la siguiente.

¿Cómo pasar de un tipo a otro?

Ahora ya conoces todas las formas de expresar un número complejo. Y a lo largo del último apartado has podido ver cómo se llega hasta cada una de ellas, pero antes de acabar, queremos hacer un pequeño resumen sobre cómo se pasa de una forma a otra. Solamente, hay que usar las fórmulas que hemos visto en el anterior apartado.

De forma binómica a forma polar y viceversa

Para pasar de binómica a polar, te planteamos el siguiente esquema:

Antes hemos visto un ejemplo en el que pasamos de binómica a polar, así que ahora vamos a pasar de polar a binómica utilizando el esquema de arriba. Tenemos que convertir √41_38,66 a binómica.

Primero calculamos la a.

Seguidamente calculamos la b.

Y lo expresamos en forma binómica.

La representación gráfica de este número queda así:

De forma binómica a forma trigonométrica y viceversa

Para pasar de binómica a trigonométrica, también debemos aplicar las fórmulas que hemos comentado en el anterior apartado. De esta forma, primero calculamos el módulo y el argumento, y después ponemos esos datos en la ecuación de la forma trigonométrica. Por poner un ejemplo, vamos a pasar el número z = 3 + 2i a trigonométrica.

Primero calculamos el módulo y el argumento.

ATENCIÓN: El argumento está en el primer cuadrante, porque (a > 0 y b > 0).

Después, completamos la ecuación de la forma trigonométrica con estos datos.

Y si queremos pasar de trigonométrica a binómica, sencillamente debemos resolver la expresión anterior.

De forma polar a forma trigonométrica y viceversa

Por último, vamos a pasar de forma polar a trigonométrica. Lo cual es algo muy sencillo, porque estas dos formas se expresan mediante los mismos dos valores: módulo y argumento. Así que solamente hay que rellenar las fórmulas y ya está.

Pongamos un ejemplo, vamos a convertir el número z = √85_12,53 a forma trigonométrica.

Replanteamos las dos variables (módulo y argumento) en la ecuación de la forma trigonométrica:

Así que ahora ya sabes cómo pasar de una forma a otra, te recomendamos que practiques un poco con algunos ejercicios. De esta manera, consolidarás los conocimientos aprendidos en este artículo. Si tienes alguna pregunta referente a este tema, no dudes en dejarla en los comentarios. Y si quieres leer más sobre números complejos, mírate los enlaces de abajo.

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