Todo sobre el conjunto de los números enteros

El conjunto de los números enteros es una colección de todos los números positivos y negativos. En este artículo, te hablaremos sobre las propiedades de estos números, su representación en la recta numérica, las operaciones que puedes hacer con ellos y mucho más.

¿Qué son los números enteros?

Los números enteros son todos los números naturales y negativos, no decimales. Por lo tanto, en matemáticas, el conjunto de los números enteros es el conjunto de todos los números naturales más el conjunto de los números negativos y el número cero. Este conjunto es, a su vez, es una subcategoría del conjunto de los números racionales.

Los números enteros son los números naturales más los negativos. Por lo tanto, los números enteros comprenden el intervalo siguiente: {-∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, ∞}. En consecuencia, es de vital importancia entender bien el conjunto de los naturales y sus inversos (los negativos), para poder comprender los enteros.

Subconjuntos de los números Z

A partir de lo que hemos explicado hasta ahora, podemos deducir que existen dos tipos de números enteros: los números enteros positivos (naturales) y los números enteros negativos (negativos). A estos dos conjuntos numéricos se les llama subconjuntos de los números enteros.

Aunque, también podemos plantear otros subconjuntos, como los números impares y pares, y los números primos y compuestos. Pues la teoría de conjuntos aplicada a la aritmética nos permite agrupar los números por medio de cualquier propiedad matemática que los describa.

Ejemplos de números enteros

Para dejar un poco más claro qué es un número entero, a continuación te mostramos unos cuantos ejemplos ordenados: 

-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Como ves son los primeros ocho números positivos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), el cero y los inversos de los anteriores números naturales. Evidentemente, estos diecisiete ejemplos son solo una parte de todo el conjunto. Pero, a partir de este pequeño grupo de valores, puedes conceptualizar cualquier número entero.

Características del conjunto de números enteros

Este conjunto numérico tiene una serie de características:

  • Es infinito, pues está compuesto por dos conjuntos numéricos infinitos (el de los números naturales y el de los negativos).
  • Todos los valores de este conjunto tienen signo: positivo (+) o negativo (-), excepto el cero.
  • Tienen un orden determinado: los números negativos son menores que cero y, los positivos son mayores que cero: Negativos < 0 < Positivos.
  • Todos los números enteros son racionales, pero no son fraccionarios.
  • Para cualquier entero positivo existe un entero negativo igual, pero con signo contrario.

Representación de los números enteros

En el anterior apartado hemos comentado por encima del orden de los números enteros. Pero, para verlo aún más claro, te lo vamos a mostrar representado en la recta numérica.

Representación de los números enteros
Recta numérica de los enteros

Como se puede ver, esta recta numérica es la combinación de las rectas numéricas de los números naturales y de los negativos. En resumen, los números negativos de mayor valor absoluto son los que van más a la izquierda (más pequeños). Mientras que los números positivos con mayor valor absoluto son los que van más hacia la derecha (más grandes).

Propiedades de los números enteros

Antes de aprender a hacer operaciones con los enteros, es muy importante conocer una serie de propiedades. De esta manera, podremos operar fácilmente y sin equivocarnos.

Te mostramos estas propiedades en esta lista:

  • Conmutativa: en las sumas y las multiplicaciones de dos valores enteros, no importa el orden de los factores. Por lo tanto, para todos los números enteros a y b:

a + b  = b + a

a · b = b · a

  • Asociativa: en las sumas y las multiplicaciones de tres valores enteros o más, no importa el orden de los factores. Como resultado, para todos los números enteros a, b y c.

a + (b + c) = (a + b) + c

a · (b · c) = (a · b) · c

  • Distributiva: la multiplicación de un número por una suma es equivalente a sacar factor común:

a · (b + c) = a · b + a · c

  • Elemento neutro: existen dos números que cuando participan en una operación con enteros no modifican el valor inicial. Para la multiplicación es el 1 y para la suma es el 0.

a · 1 = a

a + 0 = a

  • Valor absoluto: todo entero negativo tiene un entero positivo idéntico, pero sin el signo. Esto también se aplica a los enteros positivos, pero el valor absoluto de un positivo es el mismo positivo.

|-a| = a

|a| = a

Si quieres aprender en mayor detalle estas propiedades, te recomendamos que te mires nuestro artículo sobre las propiedades matemáticas de las operaciones.

Operaciones con los números enteros

Ahora ya conoces, las características del conjunto Z (entero), cuál es su orden y las propiedades de este conjunto para resolver operaciones. Por lo tanto, ya podemos hablar sobre las operaciones en sí.

  • La suma de enteros: si estamos sumando dos enteros del mismo signo, sencillamente sumamos sus valores absolutos y añadimos el signo delante. Mientras que, si estamos sumando un positivo y un negativo, tenemos que restar sus valores absolutos y escribir el signo del entero con mayor valor absoluto:

4 + 5 = 9

(-4) + (-5) = -9

4 + (-5) = -1

  • La resta de enteros: cuando restamos dos enteros, debemos aplicar la ley de los signos. Puesto que nos permite simplificar las sustracciones que tienen más de un signo seguido. Y así las convertimos en sumas, que ya sabemos resolver (explicado en el apartado anterior). En la siguiente tabla queda explicada la ley de los signos:

(+) · (+) = (+)

(+) · (-) = (-)

(-) · (+) = (-)

(-) · (-) = (+)

A continuación, te planteamos todos los casos que podemos encontrarnos:

4 – 5 = 4 + (-5) = -1

5 – 4 = 5 + (-4) = 1

(-4) – 5 = (-4) + (-5) = -9

4 – (-5) = 4 + 5 = 9

(-4) – (-5) = (-4) + 5 = 1

(-5) – (-4) = (-5) + 4 = -1

  • La multiplicación de enteros: para resolver multiplicaciones de enteros, sencillamente tenemos que multiplicar los valores absolutos. Y después, añadir el signo correspondiente, mediante la ley de los signos, la cual está explicada más arriba. Ahora te mostramos los cuatro casos que existen de multiplicaciones:

4 · 5 = 20

(-4) · 5 = -20

4 · (-5) = -20

(-4) · (-5) = 20

  • La división de enteros: por último, tenemos las divisiones, para resolverlas tenemos que hacer el cociente de los valores absolutos y añadir el signo, en función de la ley de los signos. Seguidamente, te mostramos los cuatro casos que puedes encontrarte:

20 ÷ 5 = 4

(-20) ÷ 5 = -4

20 ÷ (-5)  = -4

(-20) ÷ (-5) = 4

¿Cómo se usa el conjunto de los números enteros en la vida diaria?

El conjunto de los números enteros se utiliza en la vida diaria de muchas maneras. Por ejemplo, cuando se trata de medir algo, generalmente se usan números enteros, concretamente enteros positivos.

También se emplean para hacer cálculos matemáticos básicos, como la suma, la resta, la multiplicación y la división. Lo cual se aplica a cualquier acción cotidiana que hacemos, como: comprar, calcular el cambio, medir la distancia de un trayecto, seguimiento del tiempo…

Otras formas en que se pueden utilizar los números enteros en la vida diaria incluyen el ordenamiento de objetos (por ejemplo, colocando libros en un estante por orden alfabético) y el rastreo de ubicaciones (por ejemplo, encontrando un edificio en un mapa). En conclusión, prácticamente cualquier cosa que haces, está rodeada de valores enteros.

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