En este artículo trataremos los números primos y los números compuestos, los cuales son dos conjuntos numéricos contrarios.
Contenido
¿Cuál es la definición de un número primo?
Los números primos son un conjunto numérico que describe los valores numéricos que solo tienen dos divisores: el número 1 y ellos mismos. Por ejemplo, el 2 es un número primo, ya que solo tiene divisores el 1 y el 2. Sin embargo, el 4 no es un número primo, porque además del 1 y del 4, también tiene como divisor al 2. Entonces, el cuatro es un número compuesto.
Por lo tanto, si intentamos dividir un número primo entre cualquier otro número que no sean el uno y él mismo, no nos saldrá un número natural. Un ejemplo es el número 7, el cual solo se puede dividir en partes iguales entre 1 y 7. Para acabar de entender este concepto, es muy recomendable que pruebes de identificar los números primos comprendidos entre 1 y 10.
Existen ciertos patrones entre los números primos. Por ejemplo, los números primos pares, los números primos impares, los números primos. Y también hay otros tipos de números primos, los cuales los veremos más adelante cuando tratemos algunos teoremas que están relacionados con el conjunto numérico de los primos.
¿Cuáles son los números primos del 1 al 100?
A continuación, te mostramos una lista con los números primos comprendidos entre el 1 y el 100. De esta manera, viendo algunos ejemplos de números primos, acabarás de entender bien el concepto. En especial, te recomendamos que trates de identificar estos números por tu cuenta y después, compruebes si lo has hecho bien con el resultado que te proponemos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
¿Qué son los números no primos?
Los números no primos, también conocidos como números compuestos, son aquellos números que no pertenecen al conjunto de los números primos. Si ya sabemos que, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores naturales, a saber, el 1 y él mismo. Entonces, un valor compuesto tiene más de dos divisores.
Por ejemplo, el número 15 es un número no primo, ya que está formado por la multiplicación de números primos (3 x 5). Dicho de otra manera, el número 15 puede dividirse entre 1, 3, 5 y 15, con lo cual no cumple la condición de los números primos.
Los números no primos son importantes en matemáticas y en diversas aplicaciones, como la criptografía. Además, los números no primos juegan un papel crucial en la teoría de números, puesto que se utilizan para demostrar diversos teoremas.
Por ejemplo, el teorema de Fermat se puede demostrar empleando números no primos. Este teorema establece que si un número es divisible por un número primo, entonces ese número también es divisible por todos los números primos que están por debajo de él. Aunque, ya entraremos en mayor detalle sobre este teorema más adelante.
¿Cómo se sabe que un número es primo?
Existen varios métodos para saber si un número pertenece al conjunto de los números primos o no. El más evidente es intentar dividir el valor en cuestión entre todos los valores más pequeños que él. Por ejemplo, si queremos saber si el 5 es un número primo, deberemos dividirlo entre 5, 4, 3, 2 y 1. El resultado nos da que solo se puede dividir entre 5 y 1, así que es un valor primo.
Otro método que podemos emplear es la factorización de números enteros, este es un método para encontrar los factores primos de un número. Así como, el número 21 puede factorizarse como 3 x 7, lo que significa que 3 y 7 son los factores primos del número 15. Y, por lo tanto, el 21 no es un número primo, porque tiene más de dos divisores: 1, 3, 7, 21.
Aunque, también tenemos otro método, algo más elaborado, el cual nos facilita mucho la tarea de identificar un número primo. Seguidamente, lo explicamos:
¿Qué es la criba de eratóstenes?
La criba de Eratóstenes es un método de obtención de números primos. Se llama así en honor a Eratóstenes, quien fue el primero en describirlo. Esta criba es un algoritmo de cribado muy eficiente y sigue siendo el método más utilizado para encontrar números primos.
La criba de Eratóstenes se basa en la idea de que si un número no es primo, entonces es divisible por algún número primo. Por ejemplo, si queremos saber si el número 6 es primo o no, podemos dividirlo por 2 (es un número primo) y 3 (también es un número primo) y vemos que 6 es divisible por ambos.
En general, si un número no es primo, entonces es divisible por algún número primo que esté entre 1 y él mismo. Eratóstenes se basa en esta idea para encontrar números primos.
- Comienza por marcar todos los números como «no primos».
- Luego, marca el número 2 como «primo» y elimina todos los números que sean divisibles por 2 (esto se conoce como «cribar por 2»).
- Luego, marca el número 3 como «primo» y elimina todos los números que sean divisibles por 3.
- Continúa de esta forma hasta que haya marcado todos los números primos hasta el número que se está buscando.
- Al final, todos los números que no hayan sido marcados como «primos» son, de hecho, números primos.
Resulta ser un algoritmo de cribado muy eficiente. Por ejemplo, para encontrar todos los números primos hasta el número 100, solo se necesitan 9 pasos. La criba sigue siendo el método más utilizado para encontrar números primos.
¿Cómo se suman los números primos?
Aunque a primera vista pueda parecer que los números primos no tienen ninguna relación entre sí, de hecho se pueden sumar de forma muy sencilla. Para hacerlo, basta con seguir estos pasos:
- Escribe los números primos que quieras sumar en una fila.
- Encuentra el número primo más grande y anótalo en la parte superior de la fila.
- Encuentra el número primo más pequeño y anótalo en la parte inferior de la fila.
- Suma los dos números primos y anota el resultado en la parte superior de la fila.
- Repite los pasos 3 y 4 hasta que solamente te queden dos números primos en la fila.
- Finalmente, suma los dos últimos números primos y este será el resultado de la suma.
Así de sencillo. ¿Quieres ver un ejemplo? Sumaremos los números primos 5, 7 y 11. Según los pasos que acabamos de ver, el resultado será:
5 + 7 = 12
12 + 11 = 23
Como podemos ver, la suma de los números primos 5, 7 y 11 es 23. ¿Y qué pasa si queremos sumar números primos más grandes? Pues lo mismo, solo que tendremos que seguir los pasos un poco más de cerca. Por ejemplo, sumaremos los números primos 97, 101 y 103. El resultado será:
97 + 101 = 198
198 + 103 = 301
Así pues, la suma de los números primos 97, 101 y 103 es 301. En resumen, sumar números primos es muy sencillo si se siguen los pasos correctamente. ¿Por qué no intentas sumar algunos números primos tú mismo?
¿Cuál es el mayor número primo de dos dígitos?
Este es un buen problema para los matemáticos y para aquellos interesados en los números primos.
Los números primos también son interesantes desde el punto de vista de la teoría de los números. Hay una conjetura, todavía sin resolver, conocida como la conjetura de Goldbach, que dice que todo número par mayor que 2 puede ser escrito como la suma de dos números primos. Así que, ¿cuál es el mayor número primo de dos dígitos?
Aunque no hay una regla fija para determinar el mayor número primo de dos dígitos, se puede utilizar un enfoque similar al utilizado para encontrar el mayor número primo de un dígito. Como sabemos, los números primos de un dígito son 2, 3, 5, 7 y 9. Si utilizamos el mismo enfoque para los números de dos dígitos, podemos determinar los números primos de dos dígitos:
11,13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
¿Quién descubrió los números primos?
Los primeros números primos conocidos fueron descubiertos por los antiguos matemáticos griegos. A Euclides se le atribuye el mérito de ser el primero en demostrar que existen infinitos números primos. Su demostración se sigue enseñando hoy en día en las aulas de matemáticas. Aunque, no fue el único matemático que contribuyó a este descubrimiento.
El gran matemático indio Ramanujan también hizo importantes contribuciones al estudio de los números primos. A principios del siglo XX, desarrolló una nueva forma de encontrar números primos que era mucho más rápida que los métodos que se habían utilizado hasta entonces.
El trabajo de Ramanujan fue fundamental para el desarrollo del ordenador moderno. Sin sus aportaciones, los ordenadores no serían capaces de realizar las tareas que hacen hoy en día. Entonces, ¿quién descubrió exactamente los números primos? Se puede decir que fue un trabajo en equipo de algunas de las mentes más brillantes de la historia.
A continuación, te explicaremos dos teoremas que aportaron muchísimo al estudio de los números primos.
Teorema de Hadamard
Este problema parecía insoluble, pero en 1896, el matemático francés Jacques Hadamard demostró que, en realidad, es posible determinar si un número es primo o no con cierta probabilidad.
El teorema de Hadamard se basa en el análisis de la función matemática que determina si un número es primo o no. Esta función, llamada función primalidad, se puede representar gráficamente como una serie de puntos en una línea. La función o test de primalidad tiene la siguiente forma: P(x) = x/ln(x). Donde x es el número a analizar y ln(x) es el logaritmo natural de x.
La función se puede interpretar como la probabilidad de que un número dado, x, sea primo. Esto quiere decir que, cuando x es muy pequeño, la probabilidad de que sea primo es muy alta, ya que hay muy pocos números en total.
Sin embargo, cuando x es muy grande, la probabilidad de que sea primo es mucho menor. Porque, hay muchos más números y, por lo tanto, es más probable que uno de ellos no sea primo.
La función primalidad también se puede interpretar como la densidad de los números primos en función del tamaño de los números. Esto quiere decir que, cuando x es muy pequeño, la densidad de los números primos es muy alta, ya que hay muy pocos números en total.
Sin embargo, cuando x es muy grande, la densidad de los números primos es mucho menor, ya que hay muchos más números y, por tanto, es más probable que uno de ellos no sea primo.
El teorema de Hadamard establece que, para cualquier valor de x, la función primalidad tiene un valor mínimo en x = 2. Esto quiere decir que, si x es un número primo, entonces la probabilidad de que x sea primo es mayor que la probabilidad de que x + 2 sea primo.
De esta forma, el teorema de Hadamard permite determinar si un número dado es primo o no con cierta probabilidad. Si se analiza un número y se determina que su función primalidad es igual o mayor que la del número siguiente, entonces es más probable que el número analizado sea primo.
¿Qué expresa la teoría de fermat?
El teorema de Fermat afirma que no hay soluciones de números enteros para la ecuación an + bn = cn para n > 2.
Por lo tanto, si se sabe que un número es divisible por un número no primo, se puede deducir que ese número también es divisible por todos los números primos que están por debajo de él. El teorema de Fermat se utiliza en diversas aplicaciones, como la criptografía y la factorización de números enteros.
El teorema lleva el nombre de Pierre de Fermat, que propuso la idea por primera vez en 1637. Afirmó tener una prueba que era demasiado grande para caber en el margen del libro en el que estaba trabajando. La primera prueba completa no fue publicada hasta 1995, por Andrew Wiles.
En 1993, Wiles anunció que había demostrado por fin el último teorema de Fermat, que había desconcertado a los matemáticos durante más de 350 años. La prueba se publicó en 1995 en la revista Annals of Mathematics. Por su logro, Wiles recibió el Premio nobel 2016.
El teorema tiene importantes implicaciones para el estudio de los números enteros. Es un peldaño hacia el concepto más general del último teorema de Fermat, que afirma que no hay soluciones de números enteros distintos de cero para la ecuación an + bn = cn para n > 2.
Conclusión
Esperamos haberte ayudado a entender mejor los números primos. Si tienes cualquier duda respecto a este artículo, no dudes en dejárnosla en los comentarios y trataremos de ayudarte. Y si quieres seguir leyendo sobre las matemáticas y los números, te recomendamos nuestro artículo sobre los conjuntos numéricos.
