¿Qué son las identidades trigonométricas?

Las identidades trigonométricas son igualdades entre las diferentes funciones trigonométricas. Gracias a estas equivalencias trigonométricas, podemos deducir una determinada razón trigonométrica en función de cualquier otra. Por lo tanto, es necesario conocer las fórmulas de estas razones para poder comprender las fórmulas de las identidades trigonométricas. Si en tu caso no las conoces, te recomendamos que visites el último enlace.

Tabla de identidades trigonométricas

Identidades trigonométricas fundamentales

Existen una serie de identidades trigonométricas básicas que son consideradas las más importantes, esto se debe a que conforman la base teórica de las demás. Estas son las más comunes de encontrar y posiblemente, las más fáciles de recordar, ya que son bastante intuitivas. Recuerda que todas las fórmulas las basaremos en la siguiente imagen:

Identidad trigonométrica fundamental

La primera identidad de todas es la que se conoce como identidad trigonométrica fundamental, también conocida como relación entre seno y coseno. A continuación puedes encontrar su demostración matemática: sin² (α) + cos² (α) = 1.

En el último paso, básicamente aplicamos el teorema de Pitágoras, porque c² = a² + b², entonces nos queda c² / c² lo cual es igual a 1. En conclusión, podemos afirmar que: sin² (α) + cos² (α) = 1.

Relación entre secante y tangente (secante al cuadrado)

En segunda instancia, tenemos una identidad trigonométrica que relaciona la secante con la tangente, su expresión es la siguiente: sec² (α) = 1 + tan² (α). En la siguiente imagen puedes ver algunas fórmulas de recordatorio que conforman esta identidad y después, el procedimiento para llegar a la fórmula final:

En este caso, estamos usando las fórmulas de las razones trigonométricas para hallar otras razones. En conclusión, podemos afirmar que: sec² (α) = 1 + tan² (α).

Relación entre cosecante y cotangente (cosecante al cuadrado)

A partir de la definición de cosecante y cotangente podemos encontrar una conexión en la fórmula de la tangente, es gracias a esta que podemos deducir otra identidad trigonométrica: cosec² (α) = 1 + cotg² (α).

Con esta demostración podemos verificar que: cosec² (α) = 1 + cotg² (α). Además, podemos ver que esta relación guarda una cierta similitud con la anterior, lo cual se debe a la similitud entre tangente y cotangente.

Razones trigonométricas del ángulo suma y del ángulo resta

Las razones del ángulo suma o del ángulo resta son un tipo de identidades que se obtienen al calcular las razones trigonométricas de la suma o resta de dos ángulos. Por ejemplo, si queremos calcular el seno de 90 + 60, hay una serie de fórmulas que nos facilitan este cálculo. A continuación puedes encontrar una lista con todas las fórmulas de las identidades trigonométricas de este estilo:

Seno del ángulo suma: sen (α + β) = sen (α) · cos (β) + cos (α) · sen (β)

Seno del ángulo resta: sen (α – β) = sen (α) · cos (β) – cos (α) · sen (β)

Coseno del ángulo suma: cos (α + β) = cos (α) · cos (β) – sen (α) · sen (β)

Coseno del ángulo resta: cos (α – β) = cos (α) · cos (β) + sen (α) · sen (β)

Tangente del ángulo suma: tan (α + β) = (tan (α) + tan (β)) ÷ (1 – tan (α) · tan (β))

Tangente del ángulo resta: tan (α – β) = (tan (α) + tan (β)) ÷ (1 + tan (α) · tan (β))

Es evidente que calcular el seno de 150º es más fácil que usar las fórmulas que acabamos de explicar para calcular el seno de (90º + 60º). Por lo tanto, ¿Por qué son importantes estas fórmulas? Pues bien, la respuesta es que estas identidades nos permiten calcular las razones trigonométricas de ángulos complejos a partir de ángulos más simples. En consecuencia, si nos memorizamos las razones de los ángulos notables (los más relevantes), no nos hará falta utilizar la calculadora para calcular las razones de los ángulos más complejos como puede ser 150º.

Razones trigonométricas del ángulo doble

Cuando queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo doble (2α), podemos hacerlo por medio de una serie de identidades. Concretamente, lo podemos hacer a través de unas fórmulas muy similares a las que acabamos de comentar en el apartado previo. Ya que, si cambiamos β por α, en las anteriores expresiones, nos queda (α + α), lo cual es equivalente a (2α). Teniendo en mente esto, podemos deducir las siguientes identidades:

A continuación, puedes ver las demostraciones:

Seno del ángulo doble: sen (2α) = sen (α) · cos (α) + cos (α) · sen (α) = 2 · sen (α) · cos (α)

Coseno del ángulo doble: cos (α + α) = cos (α) · cos (α) – sen (α) · sen (α) = cos² (α) – sen² (α)

Tangente del ángulo doble: tan (2α) = 2 tan (α) ÷ (1 – tan² (α))

Razones trigonométricas del ángulo mitad

También, existen identidades que nos permiten calcular las razones trigonométricas del ángulo mitad (α/2):

A partir de las fórmulas ya conocidas siguientes:

1 = sen² (β) + cos² (β)

cos (2β) = cos² (β) – sen² (β)

Si hacemos que β = α/2, entonces podemos demostrar estas identidades, restando ambas expresiones en el caso del seno, sumándolas en el caso del coseno y dividiendo las dos fórmulas obtenidas (la del seno y la del coseno) en el caso de la tangente. Solamente, falta aislar la razón que queramos calcular en las fórmulas que obtenemos a continuación:

Seno del ángulo mitad: 1 – cos (α) = 2 sen² (α/2); sen² (α/2) = (1 – cos (α)) ÷ 2

Coseno del ángulo mitad: 1 + cos (α) = 2 cos² (α/2); cos² (α/2) = (1 + cos (α)) ÷ 2

Razones trigonométricas del ángulo triple

En el caso de tener un ángulo triple (3α), también podemos usar unas identidades para calcular sus razones trigonométricas. Estas identidades provienen de las siguientes fórmulas ya explicadas: las identidades del ángulo doble, las identidades del ángulo suma y la identidad fundamental de la trigonometría.

Para demostrar estas identidades, tenemos que recurrir a las fórmulas del ángulo suma:

Seno del ángulo suma: sen (3α) = sen (α + 2α) = sen (α) · cos (2α) + sen (2α) · cos (α)

Coseno del ángulo suma: cos (3α) = cos (α + 2α) = cos (α) · cos (2α) – sen (α) · sen (2α)

Entonces, si aplicamos las fórmulas del ángulo doble en las expresiones que acabamos de comentar y aplicamos la identidad fundamental de la trigonometría, podemos demostrar las identidades. Cabe mencionar que, el uso de la identidad trigonométrica fundamental nos permite convertir todas las razones de la expresión en una misma. Es por eso que la fórmula del seno del ángulo triple solo está compuesta por senos y la del coseno solamente contiene cosenos. A continuación, puedes ver el procedimiento completo:

Seno del ángulo triple: sen (3α) = sen (α + 2α) = sen (α) · cos (2α) + sen (2α) · cos (α) =

= sen (α) · (cos² (α) – sen² (α)) + 2 sen (α) · cos (α) · cos (α) =

= sen (α) · cos² (α) – sen³ (α) + 2 sen (α) · cos² (α) =

= sen (α) · (1 – sen² (α)) – sen³ (α) + 2 sen (α) · (1 – sen² (α)) =

= sen (α) – sen³ (α) – sen³ (α) + 2 sen (α) – 2 sen³ (α) =

= 3 sen (α) – 4 sen³ (α)

Coseno del ángulo triple: cos (3α) = cos (α + 2α) = cos (α) · cos (2α) – sen (α) · sen (2α) =

= cos (α) · (cos² (α) – sen² (α)) – sen (α) · 2 sen (α) · cos (α) =

= cos³ (α) – cos (α) · sen² (α) – 2 cos (α) · sen² (α) =

= cos³ (α) – 3 cos (α) · sen² (α) =

= cos³ (α) – 3 cos (α) · (1 – cos² (α)) =

= cos³ (α) – 3 cos (α) + 3 cos³ (α) =

= 4 cos³ (α) – 3 cos (α)

Por último, la tangente del ángulo triple se puede calcular de dos maneras: la primera es dividiendo la fórmula del seno entre la del coseno y la segunda es sustituyendo la expresión de la tangente del ángulo doble, en la fórmula de la tangente del ángulo suma siguiente: tan (α + 2α) = (tan (α) + tan (2α)) ÷ (1 – tan (α) · tan (2α)).

Identidades trigonométricas según el tipo de ángulo

Es importante comentar una serie de fórmulas que son una especie de reglas para calcular razones trigonométricas de manera directa y rápida. De hecho, también se pueden considerar identidades trigonométricas, ya que, cumplen las mismas características que todas las expresiones que acabamos de comentar. Concretamente, estas fórmulas nos permiten determinar las razones trigonométricas de un ángulo a partir de la relación que mantiene con otro ángulo.

Ángulos complementarios

Los ángulos complementarios (α y β) son aquellos que tienen una suma igual a 90º, por lo tanto, cuando los sumamos obtenemos un ángulo recto. Para determinar que α es el ángulo complementario de β, tenemos que resolver una ecuación muy sencilla: α = 90 – β, si el resultado de esta equivalencia concuerda, entonces podemos afirmar que son complementarios. Gracias a estas identidades podemos deducir las razones trigonométricas de un ángulo a partir de las del otro.

Seno del ángulo complementario: sen (90º – α) = cos (α)

Coseno del ángulo complementario: cos (90º – α) = sen (α)

Tangente del ángulo complementario: tan (90º – α) = cotan (α)

Cosecante del ángulo complementario: cosec (90º – α) = sec (α)

Secante del ángulo complementario: sec (90º – α) = cosec (α)

Cotangente del ángulo complementario: cotan (90º – α) = tan (α)

Ángulos suplementarios

Los ángulos suplementarios (α y β) son aquellos que tienen una suma igual a 180º o π radianes, por lo tanto, podemos deducir la fórmula α + β = 180º. O dicho de otro modo, si el ángulo suplementario de α es β, entonces se tiene que cumplir la siguiente expresión β = 180 – α. A continuación, puedes ver el listado de identidades que podemos deducir sobre estos ángulos:

Seno del ángulo suplementario: sen (180º – α) = sen (α)

Coseno del ángulo suplementario: cos (180º – α) = -cos (α)

Tangente del ángulo suplementario: tan (180º – α) = -tan (α)

Cosecante del ángulo suplementario: cosec (180º – α) = cosec (α)

Secante del ángulo suplementario: sec (180º – α) = -sec (α)

Cotangente del ángulo suplementario: cotan (180º – α) = -cotan (α)

Ángulos conjugados

Los ángulos conjugados (α y β) son aquellos que tienen una suma igual a 360º o 2π radianes, es por ello que podemos deducir la fórmula α + β = 360º. Y a partir de esta primera fórmula, podemos expresar uno de los ángulos en función del otro de la siguiente manera: α = 360º – β o β = 360º – α. Ahora te mostraremos las igualdades de los ángulos conjugados:

Seno del ángulo conjugado: sen (360º – α) = – sen (α)

Coseno del ángulo conjugado: cos (360º – α) = cos (α)

Tangente del ángulo conjugado: tan (360º – α) = – tan (α)

Cosecante del ángulo conjugado: cosec (360º – α) = – cosec (α)

Secante del ángulo conjugado: sec (360º – α) = sec (α)

Cotangente del ángulo conjugado: cotan (360º – α) = – cotan (α)

Ángulos opuestos

Los ángulos opuestos o ángulos negativos (α y β) son aquellos que tienen un mismo valor numérico, pero tienen diferente signo, un ejemplo de este tipo de ángulos son 30º y -30º. Algo que hay que tener en mente es que el signo negativo indica que el giro es en sentido horario, mientras que un ángulo positivo gira en sentido antihorario.

Seno del ángulo opuesto: sen (-α) = – sen (α)

Coseno del ángulo opuesto: cos (-α) = cos (α)

Tangente del ángulo opuesto: tan (-α) = – tan (α)

Cosecante del ángulo opuesto: cosec (-α) = – cosec (α)

Secante del ángulo opuesto: sec (-α) = sec (α)

Cotangente del ángulo opuesto: cotan (-α) = – cotan (α)

Ángulos que difieren en 90º o ángulos más/menos π/2

Los ángulos que difieren en 90º o ángulos más/menos π/2 (α y β) son aquellos que tienen una diferencia de 90º. Por lo tanto, se pueden expresar como β – α = 90º, siendo β 90º más grande que α. Estos ángulos también tienen una serie de fórmulas que relacionan las razones trigonométricas de ambos ángulos.

Seno del ángulo que difiere en 90º: sen (90º + α) = cos (α)

Coseno del ángulo que difiere en 90º: cos (90º + α) = -sen (α)

Tangente del ángulo que difiere en 90º: tan (90º + α) = – cotan (α)

Cosecante del ángulo que difiere en 90º: cosec (90º + α) = sec (α)

Secante del ángulo que difiere en 90º: sec (90º + α) = -cosec (α)

Cotangente del ángulo que difiere en 90º: cotan (90º + α) = -cotan (α)

Ángulos que difieren en 180º o ángulos más/menos π

Los ángulos más/menos π (α y β) equivalen a ángulos que difieren en 180º. Por lo tanto, se pueden expresar por medio de la fórmula siguiente: β – α = 180º, siendo β 180º más grande que α. A continuación, te mostramos las identidades trigonométricas que relacionan las razones trigonométricas de estos ángulos:

Seno del ángulo que difiere en 180º: sen (180º + α) = -sen (α)

Coseno del ángulo que difiere en 180º: cos (180º + α) = -cos (α)

Tangente del ángulo que difiere en 180º: tan (180º + α) = tan (α)

Cosecante del ángulo que difiere en 180º: cosec (180º + α) = -cosec (α)

Secante del ángulo que difiere en 180º: sec (180º + α) = -sec (α)

Cotangente del ángulo que difiere en 180º: cotan (180º + α) = cotan (α)

Transformaciones de razones trigonométricas

Por último, hay algunas identidades trigonométricas que nos permiten expresar una determinada razón trigonométrica por medio de otras operaciones. Entonces, si tenemos una suma de razones y queremos expresarlo en forma de producto, podemos recurrir a estas fórmulas. Aunque, por desgracia no hay una expresión para cada operación aritmética, solamente se puede pasar de suma o resta a producto y viceversa.

Transformar suma o resta en producto

Las siguientes cuatro fórmulas nos ayudan a calcular las sumas y las restas de las funciones trigonométricas:

Transformar producto en suma o resta

Las siguientes cuatro fórmulas nos ayudan a calcular los productos de las funciones trigonométricas: