Operaciones con números complejos | Teoría y ejercicios

En este artículo, vamos a explicar cómo resolver operaciones con números complejos. Detallaremos los métodos que pueden usarse para cada operación. De este modo, sabrás cómo actuar en cada situación.

Contenido

1 Suma y resta de números complejos
2 Multiplicación de números complejos
3 División de números complejos
4 Más sobre operaciones de números complejos

Suma y resta de números complejos

Vamos a empezar explicando cómo sumar y restar números complejos en forma binómica. Sencillamente, debemos operar como cuando lo hacemos con expresiones algebraicas. Debemos sumar o restar las partes reales y las partes imaginarias por separado. A continuación, te explicamos cómo resolver ambas operaciones.

Para sumar en forma binómica debemos seguir esta fórmula que es muy intuitiva (tal como hemos dicho antes, esta fórmula parte de la premisa de que debemos separar las partes reales de las imaginarias):

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Trata de resolver la siguiente suma: (2 + 5i) + (-3 + 2i)

Primero separamos las partes reales y las partes imaginarias.

(2 + 5i) + (-3 + 2i)

2 + (-3) + 5i + 2i

Seguidamente, sumamos las partes reales y las partes imaginarias por separado.

-1 + 7i

Y ya tenemos la suma hecha.

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Para restar en forma binómica debemos hacer lo mismo, pero con el signo negativo:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Ahora, trata de resolver la siguiente resta: (3 – 4i) – (5 + 2i)

Primero separamos las partes reales y las partes imaginarias.

(3 – 4i) – (5 + 2i)

3 – 5 – 4i – 2i

Después, restamos las partes reales y las partes imaginarias por separado.

-2 – 6i

Y ya hemos terminado con la resta.

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Multiplicación de números complejos

Ahora pasamos a la multiplicación de números complejos. Aunque, cabe destacar que se nos pueden plantear dos casos. El primero es una multiplicación de números complejos en forma binómica. Y el segundo es una multiplicación de números complejos en forma polar. Vamos a ver un ejemplo resuelto de ambos casos.

Para multiplicar en forma binómica, podemos usar la siguiente fórmula:

(a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

Aunque, en realidad, sencillamente debemos aplicar el sentido común, pues se resuelve igual que una multiplicación algebraica.

Intenta resolver la multiplicación en forma binómica: (2 + 4i) · (3 – 2i)

Para empezar, debemos aplicar la fórmula de arriba.

(2 + 4i) · (3 – 2i) = (2 · 3 – 4 · (-2)) + (2 · (-2) + 4 · 3)i

Después, solo hace ir resolviendo.

(6 – (-8)) + (-4 + 12)i

14 + 8i

Aunque, como hemos dicho antes, también puede resolverse como si fuera una multiplicación algebraica (multiplicando cada elemento entre sí).

(2 + 4i) · (3 – 2i)

2 · 3 + 2 · (-2i) + 4i · 3 + 4i · (-2i)

6 – 4i + 12i – 8 · i²

Después, simplificamos.

6 + 8 – 4i + 12i

14 + 8i

Puedes usar el método que te parezca más fácil, el primero es cuestión de saberse la fórmula y el segundo es saber operar.

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En cambio, para resolver una multiplicación en forma polar, debemos multiplicar los módulos y sumar los argumentos (o ángulos). La siguiente expresión describe muy bien el procedimiento a seguir:

|z|_a · |w|_b = (|z| · |w|)_a+b

Ahora, prueba de resolver esta multiplicación en forma polar: √2₄₅ · 2₆₀

Aplicamos la fórmula que acabamos de comentar:

|z|_a · |w|_b = (|z| · |w|)_a+b

√2₄₅ · 2₆₀ = (√2 · 2)₄₅₊₆₀

Resolvemos las operaciones y obtenemos el valor.

2√2₁₀₅

Y ya tenemos la multiplicación resuelta.

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División de números complejos

La cuarta operación aritmética con números complejos es la división, la cual es relativamente sencilla. Igual que con la multiplicación, se nos pueden plantear dos casos. El primero es una división de números complejos en forma binómica y el segundo es una división de números complejos en forma polar. Vamos a ver ambas:

Para resolver una división en forma binómica, podemos aplicar la siguiente fórmula: