El binomio de Newton es una fórmula matemática que se utiliza para expresar la suma de dos términos elevados a una potencia determinada. Esta fórmula, que lleva el nombre del matemático británico Isaac Newton, se emplea en muchos campos de las matemáticas.
Por ejemplo, tiene utilidad en la estadística, la teoría de la probabilidad y el cálculo diferencial e integral. El teorema de binomio permite obtener el cálculo de la potencia de un binomio de forma sencilla.
En palabras simples, el binomio de Newton se basa en una fórmula con la cual se resuelve cualquier expresión algebraica de la forma (a+b)n. A pesar de que esta fórmula lleva su nombre por Isaac Newton, cabe mencionar que existe cierta controversia sobre su origen.
Es decir, algunas investigaciones apuntan a hallazgo del uso del teorema de binomio en el Oriente Medio.
Contenido
- 1 ¿Cuándo se desarrolló el binomio de Newton?
- 2 ¿Por qué se llama binomio de Newton?
- 3 ¿Cuál es la fórmula del binomio de Newton?
- 4 ¿Cómo hallar un término en el binomio de Newton?
- 5 ¿Qué es un binomio de Newton de grado 5?
- 6 ¿Cuáles son las aplicaciones del binomio de Newton?
- 7 ¿Por qué es importante el binomio de Newton?
- 8 ¿Existen otras formas de expresar el binomio de Newton?
- 9 Ejemplos de binomio de Newton
¿Cuándo se desarrolló el binomio de Newton?
El teorema del Binomio de Newton, también conocido como Binomio de Newton, fue desarrollado en 1665 y comunicado por primera vez en dos cartas del funcionario de la Royal Society en 1676.
Estas cartas fueron una respuesta al matemático alemán Gottfried Wilhelm von Leibniz, quien buscaba conocimientos sobre investigaciones matemáticas en series infinitas. Newton compartió los resultados de su teorema, y Leibniz reconoció que era una técnica útil para obtener resultados en cuadraturas o series.
Este hallazgo permitió a Newton concluir que era posible operar con series infinitas de la misma manera que con expresiones polinómicas finitas. Aunque Newton nunca llegó a publicar su teorema, el matemático británico John Wallis lo publicó en su álgebra en 1685 y atribuyó su creación a Newton.
¿Por qué se llama binomio de Newton?
El binomio de Newton lleva el nombre del matemático y físico inglés, Isaac Newton, quien lo desarrolló en el siglo XVII. Newton no fue el primero en descubrir este teorema, pero sí fue el primero en demostrar su validez para cualquier número entero positivo n.
El binomio de Newton es una herramienta matemática muy útil en álgebra y cálculo, y se utiliza ampliamente en campos como la física, la estadística, la ingeniería y la informática.
¿Cuál es la fórmula del binomio de Newton?
Como bien mencionamos antes, el binomio de newton es la fórmula a través de la cual se pueden encontrar las potencias de un binomio. Para poder encontrar dicha potencia binomial se usan los “coeficientes binomiales”. El término anterior se refiere a las sucesiones de combinaciones.
Teniendo esto en cuenta, podemos desglosar las fórmulas del binomio de Newton de la siguiente forma:
- (a + b)2 = a2+ 2ab + b2
- (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
- (a + b)3= a3 + 3a2b + 3 ab2 + b3
Las expresiones matemáticas que se refieren al desarrollo de (a+b)n se conocen como entidades notables, y permiten obtener una fórmula general que representa esta operación para cualquier número entero natural “n”.
Al examinar los coeficientes de cada polinomio resultante, se puede notar una secuencia que sigue el llamado Triángulo de Pascal.
La secuencia del Triángulo de Pascal se inicia con el número 1, y en cada siguiente fila, los números de los extremos son siempre 1. Los valores intermedios se obtienen sumando los dos números de la fila anterior que se encuentran directamente encima del valor que se desea calcular.
¿Cómo hallar un término en el binomio de Newton?
Para hallar un término específico en el binomio de Newton se utiliza la fórmula general:
Donde:
a y b son los coeficientes del binomio.
n es el exponente del binomio.
k es el término específico que deseamos encontrar.
Σ representa la suma desde k=0 hasta n.
[n k] es el coeficiente binomial que se calcula mediante la siguiente fórmula:
Por lo tanto, la fórmula completamente desarrollada queda tal que así:
Ejemplo de un binomio de Newton resuelto
Una vez que se tienen estos valores, se sustituyen en la fórmula y se resuelve la expresión para obtener el término específico. Por ejemplo, si deseamos encontrar el quinto término del binomio (2x + 3)6, se tendría:
a = 2x
b = 3
n = 6
k = 5
Entonces, utilizando la fórmula:
El quinto término corresponde a k=5, por lo que se tiene:
Por lo tanto, el quinto término del binomio (2x + 3)6 es 2916x.
¿Qué es un binomio de Newton de grado 5?
Un binomio de Newton de grado 5 es una expresión algebraica de la forma (a + b)5, donde “a” y “b” son variables y el exponente 5 indica el grado del binomio. Al expandir esta expresión, se obtiene un polinomio de quinto grado que tiene seis términos:
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Cada término de este polinomio se obtiene combinando los coeficientes binomiales con las potencias de “a” y “b”. Por ejemplo, el segundo término (5a4b) se obtiene multiplicando el coeficiente binomial (5 elegir 1 = 5) por “a” elevado a la cuarta potencia y por b elevado a la primera potencia.
Los binomios de Newton de grado 5 son útiles en diferentes ramas de las matemáticas y la física, como la estadística, la teoría de la probabilidad y la mecánica cuántica.
¿Cuáles son las aplicaciones del binomio de Newton?
El binomio de Newton tiene una amplia variedad de aplicaciones en diversas áreas, entre ellas:
- Cálculo de probabilidades: el teorema del binomio es utilizado para calcular las probabilidades de eventos binomiales, como el lanzamiento de una moneda o el éxito o fracaso en una serie de pruebas.
- Teoría de números: el binomio de Newton se usa para expandir polinomios y simplificar ecuaciones en la teoría de números.
- Estadística: el binomio de Newton se emplea para calcular distribuciones binomiales y en la construcción de intervalos de confianza.
- Física: en física, el teorema del binomio se utiliza en la teoría de la relatividad y en la mecánica cuántica, entre otras áreas.
- Economía y finanzas: el binomio de Newton se usa para calcular el valor presente y futuro de flujos de efectivo en el tiempo y en la valoración de opciones financieras.
- Programación y ciencias de la computación: el binomio de Newton se emplea en el desarrollo de algoritmos y en la programación de computadoras.
¿Por qué es importante el binomio de Newton?
El binomio de Newton es relevante porque es una herramienta matemática fundamental para el desarrollo del álgebra y la teoría de números. Permite calcular el resultado de la elevación al cuadrado o a cualquier otra potencia de un binomio, lo que es de gran utilidad en la resolución de ecuaciones y la simplificación de expresiones algebraicas.
Además, tiene aplicaciones en áreas como la estadística, la probabilidad y la física, entre otras. En resumen, el binomio de Newton es un concepto esencial en las matemáticas y su comprensión es crucial para avanzar en muchos campos de estudio.
¿Existen otras formas de expresar el binomio de Newton?
Sí, existen otras formas de expresar el binomio de Newton. Por ejemplo, se puede expresar en términos de los coeficientes binomiales usando la notación combinatoria.
También, se puede expresar en términos de funciones exponenciales y funciones trigonométricas mediante la fórmula de Euler. Asimismo, en términos de la función gamma mediante la fórmula de Legendre. Estas expresiones alternativas pueden ser útiles en diferentes contextos y problemas matemáticos.
Ejemplos de binomio de Newton
A continuación, veamos algunos ejemplos sencillos de aplicación del binomio de Newton.
Ejemplo 1: Calcular el término de orden 3 en el desarrollo de (x + y)5.
Solución: En el desarrollo de (x + y)5, el coeficiente del primer término es 1, el coeficiente del segundo término es 5, el coeficiente del tercer término es 10, el coeficiente del cuarto término es 10, el coeficiente del quinto término es 5 y el coeficiente del sexto término es 1.
Por lo tanto, el término de orden 3 es:
10x2y3
Ejemplo 2: Hallar el término independiente en el desarrollo de (2x – 1)4.
Solución: En el desarrollo de (2x – 1)4, el término independiente se encuentra en la combinación (2x)p(-1)(4-p), donde p es el valor que hace que el exponente de (2x)p y (-1)(4-p) sumen 4.
Por lo tanto, el término independiente es:
(2x)2(-1)2 = 4
Ejemplo 3: Encontrar el término de mayor grado en el desarrollo de (3x – 2y)6.
Solución: El término de mayor grado en el desarrollo de (3x – 2y)6 se encuentra en la combinación (3x)p(-2y)(6-p), donde p es el valor que hace que el exponente de (3x)p y (-2y)(6-p) sea igual al grado del binomio, que es 6.
Por lo tanto, el término de mayor grado es:
(3x)3(-2y)3 = -216x3y3
