¿Qué es la varianza?

La varianza es una medida estadística que nos dice cuánto se dispersan los datos alrededor de la media. Es como medir qué tan “esparcidos” están los datos en relación con el valor promedio.

Imagina que tienes una lista de números, como las calificaciones de un examen. La varianza te ayuda a entender qué tan diferentes son estas calificaciones entre sí. Si las calificaciones están muy cerca unas de otras, la varianza será baja. Pero si hay muchas diferencias entre las calificaciones, la varianza será alta.

En líneas generales, la varianza es una herramienta útil para entender la dispersión de datos en un conjunto de valores. Si la varianza es alta, significa que los datos están más dispersos, mientras que, si es baja, significa que los datos están más cercanos entre sí.

¿Cómo se calcula la varianza?

Para calcular la varianza, necesitas hacer algunos pasos matemáticos, pero no te preocupes, es más sencillo de lo que parece. Primero, necesitas calcular la media o promedio de los datos. Luego, resta cada dato de la media y eleva al cuadrado cada diferencia. Luego, sumas todos estos cuadrados y los divides por la cantidad de datos. Esa es la varianza.

Para entender un poco mejor esto, veamos un ejemplo sobre el cálculo de la varianza, a continuación:

Paso 1: Obtén los datos

Supongamos que tienes los siguientes datos: 5, 7, 9, 11, 13. Estos son los valores de una muestra de datos que deseas calcular su varianza.

Paso 2: Calcula la media

Suma todos los valores y divide entre la cantidad total de datos para obtener la media:

Media = (5 + 7 + 9 + 11 + 13) ÷ 5 = 45 ÷ 5 = 9

La media de los datos es 9.

Paso 3: Resta la media a cada dato

Resta la media obtenida en el paso anterior a cada dato en la lista:

5 – 9 = -4

7 – 9 = -2

9 – 9 = 0

11 – 9 = 2

13 – 9 = 4

Paso 4: Eleva al cuadrado cada diferencia

Eleva al cuadrado cada una de las diferencias obtenidas en el paso anterior:

(-4)² = 16

(-2)² = 4

0² = 0

2² = 4

4² = 16

Paso 5: Suma los cuadrados de las diferencias

Suma todos los resultados obtenidos en el paso anterior:

16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40

Paso 6: Divide por la cantidad de datos

Divide la suma de los cuadrados de las diferencias entre la cantidad total de datos (en este caso, 5):

Varianza = 40 ÷ 5 = 8

La varianza de los datos es 8.

¿Cuál es la fórmula de la varianza?

Antes de analizar este punto, es importante mencionar que la varianza tiene gran importancia para la estadística. A pesar de que se trate de una medida bastante simple, aporta información de interés en función de una variable específica.

La unidad de medida siempre será la que corresponde a los datos, pero al cuadrado. Asimismo, hay que señalar que la varianza es siempre igual a cero o mayor que este. Lo anterior se debe a que los residuos siempre se elevan al cuadrado, por lo que, en términos matemáticos, es imposible que exista varianza negativa.

Teniendo esto en cuenta, a continuación, te mostramos la fórmula de la varianza:

S² = varianza

x _i = término de conjunto de datos

X̄ = medida de la muestra

∑ = sumatoria

n = tamaño de la muestra

¿Qué es la varianza alta y baja?

La varianza se considera alta cuando los datos en una muestra estadística o población están dispersos y se alejan mucho de la media. Esto significa que los valores individuales en los datos están ampliamente distribuidos y hay una gran variabilidad en los mismos.

Por otro lado, la varianza se considera baja cuando los datos en una muestra o población están más cercanos a la media y hay poca dispersión entre los valores individuales. Esto implica que los datos son más consistentes y tienen una menor variabilidad.

¿Cuáles son los principales usos de la varianza?

La varianza es una medida estadística ampliamente utilizada en diversos campos debido a su capacidad para evaluar la dispersión o variabilidad de los datos en una muestra. Algunos de los principales usos de la varianza son:

En estadística descriptiva: para describir la dispersión de los datos en una muestra, lo que permite entender cómo los valores individuales se alejan de la media y cómo se distribuyen en la muestra.

En estadística inferencial: para estimar la variabilidad de los datos en una población a partir de una muestra, lo que permite hacer inferencias sobre la población en general.

En finanzas: en el análisis de riesgo y rendimiento de inversiones, donde una mayor varianza indica mayor riesgo y una menor varianza indica menor riesgo en una cartera de inversiones.

En investigación científica: analizar la variabilidad de datos en estudios científicos, como en la investigación médica, la biología, la psicología y otras disciplinas, para comprender la variabilidad de los resultados y la consistencia de los datos.

En la calidad del control de procesos: en el control de calidad de procesos industriales para medir la variabilidad de los productos o servicios producidos, lo que permite identificar problemas en la consistencia y calidad del proceso.

En la econometría: en la modelización y análisis de datos económicos para entender la variabilidad de las variables económicas y evaluar la confiabilidad de los modelos econométricos.

¿Cuál es la importancia de la varianza?

La varianza es importante porque te permite comprender la variabilidad de los datos en una muestra. Si la varianza es alta, significa que los datos están dispersos y hay mucha variabilidad. Esto es relevante para tomar decisiones informadas en áreas como inversiones, gestión de riesgos y análisis de datos.

Además, la varianza te ayuda a entender la consistencia de los datos en una muestra o población. Una varianza baja indica que los datos son consistentes y tienen poca variabilidad, mientras que una varianza alta indica que los datos son menos consistentes y tienen más variabilidad.

¿Es lo mismo la desviación estándar y la varianza?

La desviación estándar y la varianza son dos medidas estadísticas relacionadas que describen la dispersión o variabilidad de los datos en una muestra o población. La principal diferencia entre ellas es la unidad de medida y la interpretación de los resultados.

La varianza es una medida que representa la dispersión de los datos respecto a su media, calculada como la suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores individuales respecto a la media, dividida por el número total de datos.

Se calcula elevando al cuadrado las diferencias entre cada valor y la media, sumándolas y dividiéndolas por el tamaño de la muestra o población. La varianza se expresa en unidades al cuadrado y puede ser difícil de interpretar directamente debido a que está en una escala diferente a los datos originales.

Por otro lado, la desviación estándar no es otra cosa que la raíz cuadrada de la varianza. Se calcula como la raíz cuadrada positiva de la varianza. La desviación estándar se expresa en las mismas unidades que los datos originales y es una medida más intuitiva de la dispersión de los datos.

Una desviación estándar más alta indica mayor dispersión o variabilidad de los datos, mientras que una desviación estándar más baja indica menor dispersión o variabilidad.

Varianza para datos agrupados

La varianza para datos agrupados se refiere al cálculo de la variabilidad o dispersión de datos que se encuentran agrupados en intervalos o clases. En lugar de tener datos individuales, como en el caso de la varianza para datos no agrupados, se tienen rangos o intervalos en los cuales se encuentran los datos.

El cálculo de la varianza para datos agrupados se realiza utilizando una fórmula ligeramente diferente. Primero, se calcula el punto medio de cada intervalo, que es el promedio del límite inferior y superior de cada intervalo. Luego, se calcula la media ponderada de los puntos medios, empleando las frecuencias relativas o absolutas de los intervalos como pesos.

A partir de esta media ponderada, se calcula la varianza utilizando la misma fórmula que para datos no agrupados, es decir, como la media de los cuadrados de las diferencias entre los valores individuales y la media ponderada.

La varianza para datos agrupados es útil cuando se trabaja con conjuntos de datos que se presentan en forma de intervalos o clases, como en el caso de datos demográficos, económicos o cualquier otro tipo de datos que se encuentren agrupados en categorías o rangos.

Propiedades de la varianza

La varianza es una medida estadística que tiene varias propiedades importantes. Algunas de las principales propiedades de la varianza son:

• Siempre es un valor no negativo, ya que está definida como el promedio de los cuadrados de las diferencias entre los datos individuales y la media.
• Es sensible a los valores extremos o atípicos en los datos, ya que implica el cuadrado de las diferencias.
• Tiene unidades cuadráticas, lo que implica que está en la misma unidad al cuadrado que los datos originales.
• Puede ser afectada por valores atípicos o datos extremos, lo que puede hacer que sea una medida no robusta de la variabilidad de los datos.
• Si los datos son independientes y no están correlacionados entre sí, la varianza de la suma de dos conjuntos de datos es igual a la suma de las varianzas de los dos conjuntos de datos.

Ejemplos de varianza

Ahora que tenemos claro el concepto de varianza y su importancia, veamos un ejemplo práctico para entender mejor cómo funciona.

Supongamos que tenemos los siguientes datos del resultado económico de una empresa en millones de dólares para los últimos cinco años: 8, 12, 6, -4, 10. Queremos calcular la varianza de este conjunto de datos utilizando la fórmula que mencionamos anteriormente.

Paso 1: Calcular la media aritmética

Primero, calculamos la media aritmética de los datos sumándolos y dividiendo entre el número total de datos (en este caso, 5):

Media aritmética (X̄) = (8 + 12 + 6 – 4 + 10) ÷ 5 = 6,4 millones de dólares

Paso 2: Utilizar la fórmula de la varianza

A continuación, utilizamos la fórmula de la varianza para calcular el cuadrado de las diferencias entre cada dato y la media aritmética, y luego sumarlos:

Donde x_i es cada dato, X̄ es la media aritmética y n es el número total de datos.

Sustituimos los datos y la media aritmética en la fórmula de la varianza:

Varianza (Var(X)) = [(8 – 6,4)² + (12 – 6,4)² + (6 – 6,4)² + (-4 – 6,4)² + (10 – 6,4)²] ÷ (5 – 1)

Paso 3: Resolver las operaciones

Ahora resolvemos las operaciones para obtener el valor de la varianza:

Varianza (Var(X)) = [1,6² + 5,6² + 0,16² + (-10,4)² + 3,6²] ÷ 4

Varianza (Var(X)) = [2,56 + 31,36 + 0,0256 + 108,16 + 12,96] ÷ 4

Varianza (Var(X)) = 155,072 ÷ 4

Varianza (Var(X)) = 38,768 millones de dólares al cuadrado

La varianza de este conjunto de datos es de 38,768 millones de dólares al cuadrado, lo cual nos da una medida de la dispersión o variabilidad de los datos en relación con la media aritmética.