¿Qué es la media aritmética y cómo se calcula? La media es un valor numérico que se obtiene al sumar un conjunto de números establecido y dividir el resultado entre el número de valores. Por ejemplo, si queremos calcular la media aritmética de los datos 2, 4, 1 y 6, entonces deberemos hacer el siguiente cálculo: (2 + 4 + 1 + 5) / 4 = 3. A continuación en este artículo te explicaremos en mayor profundidad cómo averiguar el promedio de un conjunto de números. Además, tendrás a tu disposición la siguiente calculadora de media aritmética, para que puedas comprobar si tus resultados son correctos.
Contenido
Calculadora de promedio online
Si quieres calcular el promedio de una serie de números puedes usar esta calculadora de media aritmética online, gracias a la cual podrás comprobar los resultados de tus ejercicios y saber si los has resuelto correctamente. Su uso es muy simple, ya que solamente deberás introducir los números que componen el conjunto (separados por comas) y seguidamente deberás pulsar en el botón de calcular. Recuerda introducir los números decimales con un punto (no una coma).
¿Cómo calcular la media aritmética?
Existe una fórmula de la media aritmética que nos permite calcularla basándose en cualquier serie o conjunto de números:
Por ejemplo, si quieres calcular el promedio de un conjunto de números [1, 4, 7, 2, 5, 10], solamente deberás sumarlos y dividir ese resultado entre el número de valores que hayas sumado previamente: (1 + 4 + 7 + 3 + 5 + 10) / 6 = 5. Aunque a veces tendremos que calcular la media aritmética de los valores de una tabla de frecuencias. En estos casos deberemos aplicar la misma fórmula, pero multiplicando cada número por las veces que salga (su frecuencia absoluta) e igualando N a la suma de frecuencias absolutas. Por ejemplo, (1 x 4 + 3 x 2 + 5 x 4) / (4 + 2 + 4) = 3.
También podemos expresar esta fórmula como el sumatorio de N con base i (ΣiN) y luego dividido entre N. Esta última expresión es otra forma de decir lo mismo que en la imagen de arriba. Aunque esta se suele encontrar más en los libros de texto de matemáticas, por eso es importante conocerla.
Propiedades de la media aritmética
- Suma de desviaciones: la suma de las desviaciones de todos los datos respecto a la media del conjunto es igual a cero, a partir de esta propiedad podemos deducir la siguiente fórmula Σ(Xi - x̄) = 0.
- Suma de cuadrados de las desviaciones: cuando sumas los cuadrados de las desviaciones de todos los datos respecto a la media aritmética, obtenemos un valor numérico mínimo. Entonces Σ(Xi - x̄)2 ≤ Σ(Xi - a)2, a ∈ ℝ.
- Media aritmética equivalente: si sumamos un valor x a todos los valores que conforman el conjunto numérico, entonces el promedio de esos números equivaldrá a la suma de la anterior media aritmética y el número que se haya añadido: x̄ = x̄0+a. Esto también pasa en el caso del producto.
Aplicaciones del promedio
Por lo general, usamos este recurso matemático para calcular un valor representativo de nuestro conjunto, con el cual podamos entender de manera simplificada el comportamiento del grupo numérico. Un ejemplo sería para calcular la nota media de la clase, de esta manera podremos conocer una puntuación orientativa del total de alumnos. También solemos usar la media en los experimentos científicos, ya que muchas veces deberemos recoger varios resultados y hacer la media para tener uno más preciso.
Ejercicios resueltos de la media aritmética
A continuación te plantearemos unos ejercicios sobre los tres principales tipos de media aritmética, recuerda que todos se resuelven con los métodos explicados en este artículo. Y si quieres puedes realizar la parte numérica (cálculos) con la calculadora que hay más arriba y con nuestra calculadora online. Dicho esto, te dejamos practicar:
Media aritmética básica
Calcula la media aritmética del conjunto de datos siguiente [2, 5, 3, 7, 6, 1]. Una vez lo hayas hecho, deberás calcular el promedio del mismo grupo de números, pero multiplicados todos por 2:
Para resolver el primer apartado simplemente deberemos utilizar la fórmula que hemos comentado un poco más arriba: x̄ = (2 + 5 + 3 + 7 + 6 + 1) / 6 = 4. Y para calcular la media en el segundo apartado, deberemos hacer el mismo cálculo pero multiplicando cada número por 2: (2 x 2 + 5 x 2 + 3 x 2 + 7 x 2 + 6 x 2 + 1 x 2) / 6 = 8. Como podemos ver, el resultado de la media es el doble en el segundo caso, lo cual era predecible porque se cumple la propiedad del producto equivalente.
Media aritmética para datos agrupados
Las notas de matemáticas de quince estudiantes son: 5, 8, 7, 4, 9, 3, 6, 8, 7, 8, 9, 7, 5, 8, 8. Calcula la media de la clase:
En este caso deberemos contar cuántas veces aparece cada número en la lista y luego resolveremos el cálculo con la fórmula de la media aritmética aplicada a datos agrupados (fórmula en la que interviene la frecuencia absoluta): x̄ = (3 x 1 + 4 x 1 + 5 x 2 + 6 x 1 + 7 x 3 + 8 x 5 + 9 x 2) / 15 = 6,8. A modo de conclusión podemos ver que pese a haber bastantes notas altas, los valores bajos afectan muy negativamente a la media global.
Cálculo a partir de una media conocida
Si sabemos que la media de dos números es igual a 9,25 y uno de los dos números es 6, ¿cuál será el segundo número?
Para calcular el segundo valor deberemos montar una ecuación a partir de la fórmula que hemos estado usando todo el rato en los ejercicios: (6 + x) / 2 = 9,25. Finalmente aislaremos x y obtendremos su valor numérico, el cual equivale al del segundo número. En este caso x = 12,5.