Polinomio

Un monomio es una expresión algebraica formada por un coeficiente (valor numérico) que multiplica a una variable con un exponente, por ejemplo la expresión 4x² es un monomio. Entonces partiendo de este concepto matemático, llegamos al polinomio el cual es un conjunto de sumas y restas de múltiples monomios. En la imagen de arriba puedes ver un ejemplo de la estructura de un polinomio formado por varios monomios.

Tipos de polinomios

Gracias al exponente que tiene un determinado monomio podemos clasificar los polinomios en diferentes tipos. Podemos clasificar estas expresiones en categorías como: polinomio de primer grado, polinomio de segundo grado, polinomio de tercer grado, etc. Básicamente, debes identificar el monomio que tiene un mayor exponente y ese será el grado del polinomio. Y una vez lo sepas ya podrás clasificarlo en alguno de los tipos que acabamos de comentar.

Polinomio de varias variables

Además también existe otra manera de organizar los polinomios, que es según el número de monomios que los forman. Por ejemplo si tenemos un binomio, equivaldrá a tener un polinomio de dos términos, si tenemos un trinomio, equivaldrá a tener un polinomio de tres términos, etc. Todas estas maneras de catalogar los polinomios tienen infinitas subcategorías. Ya que estas expresiones pueden estar compuestas por todos los monomios que queramos y también pueden tener cualquier grado.

Características y propiedades de los polinomios

• Grado absoluto de un polinomio: en el anterior apartado hemos comentado la definición de grado relativo. Pero en el caso de los polinomios que están formados por más de una variable, tenemos el grado absoluto que equivale a la suma máxima de los exponentes de todas las variables de ese monomio. Por ejemplo, en el monomio 5x²y³, el grado absoluto es igual a 2 + 3 = 5.
• Polinomio ordenado: definimos un polinomio ordenado respecto a una variable cuando los exponentes de esa variable están organizados de manera ascendente o descendente. Por ejemplo, si nos encontramos este polinomio P(x) = 3x + 4x³ – x², en este caso no estará ordenado. Entonces, deberíamos arreglarlo y obtendríamos este resultado: P(x) = 4x³ – x² + 3x.
• Polinomio completo: cuando nos encontramos con un polinomio que tiene monomios con todos los exponentes posibles (desde el mayor grado hasta el término independiente), decimos que es un polinomio completo. Por ejemplo, la siguiente expresión: P(x) = 3 x² + 2x – 4 es de este tipo porque no le falta ningún exponente entre el 2 y el 0.
• Polinomio homogéneo: es aquel polinomio que tiene un grado absoluto igual en cada uno de sus monomios. Las variables pueden tener diferentes valores en el exponente, pero obligatoriamente la suma de los exponentes de las variables en todos los monomios debe ser igual. Por ejemplo: P(x) = x²y³z + 3 x⁴yz, ambas sumas dan seis 2 + 3 + 1 = 4 + 1 + 1 = 6.
• Polinomios idénticos: al encontrarnos con dos o más polinomios que comparten los coeficientes de los términos semejantes, entonces diremos que son polinomios idénticos. A continuación puedes ver un ejemplo entre dos polinomios: P(x) = 2x + 27 y Q(x) = 5 (x + 3) – 3 (x – 4), serán idénticos porque comparten los coeficientes de cada exponente: 2x = 5x – 3x y 27 = 15 + 12.
• Polinomio nulo: este polinomio solo tiene coeficientes nulos (iguales a cero), por lo tanto el valor total del polinomio también será cero. El polinomio P(x) = 0x³ + 0x² – 0x – 0 es un claro ejemplo de este tipo de polinomios, pero no debemos confundirlos con Q(x) = 0, ya que en este caso estás formando una ecuación y no quiere decir que todos los coeficientes de Q(x) sean 0.

Valor numérico de un polinomio

El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtendremos al sustituir la variable de esa expresión por un número. Simplemente deberemos resolver ese polinomio como si fuera una operación combinada. A continuación te explicaremos los tres métodos que podrás usar para obtener el valor numérico de una expresión de este estilo.

• Reemplazo directo: cuando nos dan directamente los valores correspondientes a cada una de las variables del polinomio, simplemente deberemos sustituir esas variables por esos números. De esta manera, si tenemos el polinomio P(x) = 2x² – x + 4 y nos dicen que x = 3, entonces el valor numérico del polinomio será igual a 2 · 3² – 3 + 4 = 19.
• Resolución de la variable: este caso lo aplicaremos cuando no nos den el valor de la variable directamente, pero nos den una equivalencia. Por ejemplo, P(2) si se cumple P(x – 1) = x³ – 2x + 1, entonces resolveremos primero la ecuación de 2 = x – 1 y obtendremos x = 3. Finalmente, deberemos sustituir la x por 3, tal que así 3³ – 2 · 3 + 1 = 22.
• Cambio de variable: cuando tenemos un polinomio P(x) = 4x – 2 y queremos conocer ese valor para P(x + 2). Entonces deberemos cambiar todas las x de la expresión por un (x + 2). Dicho esto vamos a ver cómo quedaría este último ejemplo resuelto: P (x + 2) = 4 (x + 2) – 2.

Operaciones con polinomios

A continuación te explicaremos cómo resolver las cuatro operaciones aritméticas básicas con polinomios, siguiendo siempre la jerarquía de operaciones. En cada apartado encontrarás un poco de teoría que te permitirá saber cómo proceder en cada caso y algunos ejemplos prácticos.

Suma de polinomios

Para poder sumar polinomios deberemos tener en cuenta que solo se pueden agrupar por términos semejantes, por lo tanto si tenemos los polinomios P(x) = 3x³ – x² + 2x – 4 y Q(x) = 2x² + 3x – 2. Entonces para poder hacer P(x) + Q(x), sumaremos los coeficientes de ambos polinomios acompañados por el mismo exponente: P(x) + Q(x) = 3x³ + (-x² + 2x²) + (2x + 3x) + (-4 -2) = 3x³ + x² + 5x – 6. A modo de resumen podemos decir que hemos agrupado y sumado los coeficientes de cada término semejante y al final hemos expresado todos los términos en un solo polinomio.

Resta de polinomios

La resta de polinomios se resuelve igual que la suma, la única diferencia es evidentemente el símbolo. Entonces agrupamos los términos semejantes, restamos y lo convertimos todo en una misma expresión. A continuación te lo mostraremos a partir de un ejemplo: P(x) = 5x³ – 2x² + x – 3 y Q(x) = 3x² + 5x + 4, entonces quedaría P(x) – Q(x) = 5x³ + (-2x² + 3x²) + (x + 5x) + (-3 + 4) = 5x³ + x² + 6x + 1.

Multiplicación de polinomios

A la hora de resolver este tipo de multiplicaciones se nos puede complicar un poco el asunto, pero si haces todos los pasos que te comentaremos, entonces todo irá bien. En esta operación matemática todos los monomios operarán con todos los demás, esto quiere decir que no multiplicaremos solamente los términos semejantes. Además, no solo cambiarán los coeficientes, sino que también cambiarán los exponentes. Con este ejemplo lo entenderás todo mucho mejor: P(x) = 2x² + 3x – 1 y Q(x) = 2x + 3:

P(x) · Q(x) = (2x² + 3x – 1) · (2x + 3) = 2x² · 2x + 2x² · 3 + 3x · 2x + 3x · 3 + (-1) · 2x + (-1) · 3 = 4x³ + 6x² + 6x² + 9x – 2x – 3 = 4x³ + 12x² + 7x – 3

Básicamente, multiplicamos los coeficientes de cada término de un polinomio con todos los del segundo y después aplicamos la propiedad de la potenciación de aⁿ · a^m = a^n+m.

División de polinomios

Por último solo nos queda explicar cómo resolver la división de polinomios, básicamente deberemos aplicar la propiedad distributiva de la división: (a + b + c) ÷ d = (a ÷ d) + (b ÷ d) + (c ÷ d). Y también aplicaremos la propiedad de la potenciación siguiente aⁿ ÷ a^m = a^n-m. Ahora lo veremos con un ejemplo sencillo: P(x) = 3x³ – 6x² + 9x y Q(x) = 3x.

P(x) ÷ Q(x) = (3x³ – 6x² + 9x) ÷ 3x = (3x³ ÷ 3x) + (6x² ÷ 3x) + (9x ÷ 3x) = x² – 2x + 3

Ahora que ya has terminado de ver cómo resolver todas estas operaciones con polinomios esperamos que ya sepas aplicarlo a la práctica. Pero si crees que este no es el caso y quieres seguir practicando un poco, entonces te recomendamos mirarte algunos ejercicios resueltos de esta página. Estos te servirán para acabar de interiorizar todos estos conceptos matemáticos.

Factorización de polinomios

Para factorizar polinomios puedes hacerlo manualmente tal como se explica en el artículo de este último enlace o puedes hacerlo con la ayuda de una calculadora de Ruffini. Te recomendamos hacerlo con esta segunda opción si quieres hacerlo rápidamente, pero si estás aprendiendo a factorizar, entonces mejor practica manualmente. La manera de hacerlo deberás elegirla dependiendo de tu situación.

Resolver polinomios con la calculadora científica

Actualmente hay muchas calculadoras científicas distintas en el mercado. Pero si estás buscando una calculadora económica y que sea capaz de resolver polinomios, te recomendamos la Casio FX-991SPX II. Es fácil de usar, muy potente y funcional, por lo cual es perfecta para cualquier estudiante de matemáticas de la secundaria y bachillerato. A continuación explicaremos de forma resumida cómo se resuelven expresiones matemáticas de este estilo con la ayuda de este modelo o alguna Casio similar.

Primero de todo deberemos introducir el valor numérico de las variables, escribiéndolo y seguidamente pulsando «STO» + letra de la variable, por ejemplo la x. Entonces cuando tengas todas las variables puestas, simplemente deberás escribir la expresión polinómica tal cual con todas las variables y números. Y finalmente deberás pulsar en la tecla igual, de esta manera obtendrás el resultado equivalente al valor numérico del polinomio.