Es muy común representar funciones para poder analizar gráficamente la relación entre las distintas variables que forman esa función. O a veces, incluso se usan este tipo de representaciones para comprar múltiples funciones. Esto se usa especialmente a la hora de realizar estudios estadísticos. Dicho esto, hoy explicaremos un método muy sencillo que consiste en tan solo 3 pasos para poder graficar cualquier función. Además, también comentaremos cómo analizar el resultado gráfico para poder sacar algunas conclusiones.
Contenido
Tipos de funciones
Antes que nada, deberemos entender las características de los distintos tipos de funciones y cuáles son las diferencias que se deben tener en cuenta a la hora de representarlas. De esta manera, nos será más fácil llevar a cabo la graficación, es por eso que ahora comentaremos muy brevemente cada tipo. Cabe destacar que hay muchos tipos de funciones, por lo cual nos centraremos en los dos tipos de funciones polinómicas más importantes y en las funciones definidas a trozos.
Funciones lineales
La función lineal o función polinómica de primer grado es aquella función cuya expresión es un polinomio de grado 1. Entonces, su expresión sigue el modelo f(x) = mx + n, siendo m el pendiente y n la ordenada. Básicamente, estas funciones tienen una forma gráfica equivalente a una recta. A continuación, puedes ver un ejemplo:
Funciones cuadráticas
La función cuadrática o función parabólica se expresa por medio de un polinomio de segundo grado y es por eso, que tiene una forma de parábola. Como modelo a seguir tendremos en cuenta la siguiente expresión: f(x) = ax² + bx + c, siendo a ≠ 0. También, hay dos otras características destacables de estas funciones, la amplitud y el crecimiento. A continuación, puedes ver un ejemplo:
Funciones definidas a trozos
Una función definida a trozos es aquella que tiene diferentes definiciones según el valor de x. Entonces, cuando la x ocupa un cierto rango de valores, deberemos tratar una expresión. Mientras que cuando la x ocupa otros valores, deberemos tratar una expresión distinta. Es aquí donde nos encontramos con discontinuidades y, por lo tanto límites. Ya que, donde termina una función puede ser que empiece otra, pero sin conectar directamente. A continuación, puedes ver un ejemplo:
¿Cómo representar funciones lineales?
Para poder representar una función lineal de manera gráfica, deberemos seguir tres pasos muy sencillos. A continuación, explicaremos el procedimiento, aunque si si lo que quieres es aprender a graficar funciones parabólicas, entonces te recomendamos que mires el siguiente apartado.
Elaborar una tabla de valores
Para poder graficar una función deberemos hacer una tabla de valores en la cual apuntaremos todos los valores de las variables. Básicamente, nos permitirá establecer una relación entre ambas variables y de esta manera, podremos trazar el recorrido de la función. Si no sabes cómo hacer una tabla de valores, puedes mirarte este último enlace. Aunque a modo de resumen, consiste en dar un valor a la variable independiente y sustituir la incógnita en la función que las relaciona. Así tendremos los dos números asociados, la siguiente tabla muestra un ejemplo:
Partiendo de la función f(x) = 2x+1:
| x | f(x) |
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 7 |
Dibujar puntos en la gráfica y unirlos dibujando la función
Una vez tenemos la tabla hecha, ya podemos empezar a dibujar los puntos en una gráfica. Esto lo hacemos asociando la variable independiente al eje x y la otra al eje y, y de esta forma obtendremos los puntos. Puedes dibujar tantos puntos como quieras, aunque para representar funciones de este estilo suele ser suficiente con calcular cinco puntos. Ya que, siguen una trayectoria rectilínea y, por lo tanto, continúa siendo la misma por mucho que avances.
Utilizar el pendiente para graficar una función lineal
Existe un segundo método para poder graficar funciones lineales sin tablas de valores, el cual consiste en calcular el pendiente de la función: m = (variación vertical / variación horizontal). Entonces, una vez tenemos calculado el pendiente deberemos mirar el punto de partida. Siguiendo con el anterior ejemplo f(x) = 2x+1, sabemos que el punto de partida será (0, 1), porque en x = 0, la ordenada = 1 (lo deducimos a partir del +1 que hay en la expresión). Y después simplemente deberemos sumar el pendiente que en este caso es igual a +2 verticales por cada 1 horizontal. Entonces, sabremos que el siguiente punto será el (1,3).
¿Cómo representar funciones cuadráticas?
Para representar una función cuadrática podemos seguir dos métodos, el primero es por medio de tablas de valores. Y el segundo consiste en calcular una serie de puntos clave: el vértice, los puntos de corte con el eje X y el punto de corte con el eje Y. Este último es el que explicaremos a continuación:
Calcular el vértice de una parábola
Existen dos fórmulas que nos permiten calcular el vértice de una función parabólica, básicamente una nos da como resultado el punto del vértice del eje X y la otra nos da el punto del vértice del eje Y. Puedes encontrar las dos fórmulas aquí abajo, pero ambas tienen una estructura similar.
Calcular los puntos de corte con el eje X de una función cuadrática
Para obtener los puntos de corte del eje X (los puntos de la parábola que están situados sobre el eje de las abscisas), simplemente deberemos igualar la expresión a 0: f(x) = 0. Entonces, solo nos faltará resolver la ecuación y ya tendremos los valores de X que estamos buscando. Cabe destacar que al ser una función cuadrática, obtendremos dos resultados, no solo uno.
Calcular el punto de corte con el eje Y de una función cuadrática
Por último, para poder obtener el punto de corte con el eje Y, simplemente deberemos calcular c = f(0). Y como una parábola siempre corta el eje vertical (de ordenadas) cuando x = 0, entonces diremos que el punto de corte del eje Y será (0,c). Una vez tengamos todos estos puntos, ya podremos dibujarlos en la gráfica y solo nos quedará unirlos dibujando así, la parábola.
¿Cómo representar funciones a trozos?
Para poder representar funciones a trozos puedes mezclar todos los métodos que hemos explicado anteriormente. Ya que las funciones de este estilo están formadas por todos los tipos de funciones que hemos comentado. Por lo cual, habrá algunas que deberás calcular por medio de una tabla de valores y otras que deberás calcular con otros métodos. Aunque, una vez dominas los que hemos explicado en este artículo, ya no tendrás ningún tipo de problema a la hora de representar funciones a trozos.
Por otro lado, como a la hora de representarlas necesitas hacer un estudio de continuidad, te recomendamos que aprendas a resolver límites, si no sabes ya. Esto te ayudará a representar correctamente los puntos de los extremos de cada función. Dicho esto, ya estarás listo para poder graficar funciones definidas a trozos y también, cualquier otro tipo de función. Ahora te dejamos con una serie de trucos para graficar y con una explicación muy útil sobre la capacidad de la calculadora para hacer representaciones gráficas.
Trucos para hacer representaciones gráficas
Si quieres descubrir algunos trucos y estrategias para dibujar gráficas, aquí te dejamos un vídeo que te servirá para repasar y para poder aprender estos trucos:
¿Cómo hacer gráficos con la calculadora?
Si tienes una calculadora gráfica, entonces tendrá la capacidad de hacer representaciones gráficas. Lo cual puede ser muy fácil de hacer una vez conoces el procedimiento, pero si aún no sabes cómo hacerlo, ahora te lo explicaremos.
- Acceder al modo gráfico: el primer paso de todos es acceder a la opción de gráficos o representaciones gráficas del menú. Es posible que esta opción esté etiquetada con un nombre diferente en el caso de tu calculadora, pero contendrá palabras similares a graficación o las que ya hemos comentado.
- Personalizar las opciones del gráfico: una vez estemos dentro del editor de gráficos, deberemos poner un nombre al archivo, etiquetar los ejes, seleccionar el número de elementos que graficarás y configurar las opciones estéticas de la representación. Este es un paso muy rápido de hacer.
- Añadir los puntos de la función: seguidamente ya podrás empezar a añadir los puntos que formarán la figura. Esto lo podrás hacer escribiendo los puntos con la siguiente notación: (0,1), (3,2)… Y seguirás añadiendo los puntos hasta terminar la representación gráfica.
- Utiliza la función de «Vista Previa»: una vez hayas terminado con el proyecto puedes previsualizar el resultado y ver si está quedando como esperabas. Además, hay muchos modelos que tienen opciones de edición junto con esta de previsualización, así que podrás modificar el resultado hasta que quede perfecto.
- Guardar el proyecto: una vez finalizado todo el procedimiento de edición no te olvides de guardarlo en una ubicación fácil de recordar. De esta manera, siempre que lo necesites podrás volver a acceder al proyecto para visualizarlo o para hacer cualquier mejora que quieras.
Mejores calculadoras para representar funciones
Si estás interesado en adquirir un modelo gráfico para poder representar funciones en la misma calculadora, te recomendamos dos modelos: la HP 50G y la HP Prime. Son dos modelos de altísima calidad, aunque son caros, por lo cual deberás pensar si la inversión te sale rentable. Por ejemplo, si vas a estudiar una carrera como ingeniería que es muy compleja en cuanto a matemáticas, entonces será muy recomendable comprar uno de estos dos modelos. Pero, si no necesitas tanta potencia de cálculo ni de representación gráfica, quizás con la Casio FX-9750GII sea suficiente para ti.
¿Cómo graficar funciones online?
Siempre puedes elegir la opción de usar programas de graficación online, tales como: Desmos, Geogebra y muchísimos más. De esta manera obtendrás gráficos muy precisos de una forma rápida. Se puede decir que la forma digital se usa cuando quieres graficar funciones de forma fácil y rápida. Por otro lado, si quieres graficar funciones para poder editarlas (modificar todos sus atributos) y tener a tu alcance recursos de análisis de funciones de alta calidad, entones te recomendamos comprar una calculadora científica.