¿Qué son los cuaterniones?

Etimológicamente, cuaterniones o cuaternios proviene del latín quaterni.  En español, el vocablo se traduce como “por cuatro”. Sin embargo, su interpretación quiere decir “número de cuatro elementos».

Los cuaterniones son elementos de un cuerpo no permutante creados inicialmente por William Rowan Hamilton. Se define como cuaterniones a la extensión de los números reales que componen una numeración hipercompleja. De hecho, son bastante parecidos a los números complejos.

Es decir, los cuaterniones ocurren debido a una amplificación causada analógicamente. En cambio, los números complejos se producen como una prolongación de números reales por la suma de la unidad imaginaria i, por ende, i al cuadrado es igual a -1. En el primer caso, se añaden las unidades imaginarias k, i y j a los números reales.

Por lo tanto, con relación a los cuaterniones tenemos que: i² = j² = k² = ijk = -1. Esta representación corresponde a los dispuestos en la tabla de Cayley. En este punto cabe mencionar que, i, j, k y 1 son los cuatro pilares fundamentales de los cuaternios.

William Hamilton inventó los cuaterniones en 1843 como un método que le permitía multiplicar y dividir vectores, rotarlos y estirarlos.

¿Cómo se componen los cuaterniones?

Los cuaterniones forman un álgebra encantadora en la que cada uno de sus objetos contiene 4 variables. De hecho, a veces son conocidas como parámetros de Euler que no deben confundirse con los ángulos de Euler. Estos objetos se pueden sumar y multiplicar como una sola unidad de manera similar al álgebra de números habitual.

Sin embargo, hay una diferencia. En términos matemáticos, la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa.

Los cuaterniones tienen 4 dimensiones. Cada cuaternión consta de 4 números escalares, una dimensión real y 3 dimensiones imaginarias. Cada una de estas dimensiones imaginarias tiene un valor unitario de la raíz cuadrada de -1. Sin embargo, son diferentes raíces cuadradas de -1 todas perpendiculares entre sí, conocidas como i, j y k. Entonces, un cuaternión se puede representar de la siguiente manera:

x = (a, b, c, d) lo que se escribe x = a + bi + cj + dk

De acuerdo con lo anterior, a, b, c y d representan números reales inequívocamente definidos por cada cuaternión.  Por su parte, los números 1, i, j y k son básicos. Si queremos representar los cuaterniones por medio de un conjunto, podemos hacer lo siguiente: Suponiendo el IR⁴ representa el conjunto, la expresión es: IR4= {a + bi + cj + dk: a, b, c, d ∈ IR}

Este conjunto es consecuente con el espacio real de cuatro dimensiones. Del mismo modo que un conjunto de números reales concuerda con el espacio existente en una dimensión y el conjunto de números complejos coincide con el espacio dimensional doble.

¿Cuál es la estructura algebraica de los cuaterniones?

Un cuaternión ejemplifica un cuerpo irregular. Esto quiere decir que se trata de una estructura algebraica similar a un cuerpo. Sin embargo, no es conmutativo en la multiplicación. Dicho de otra manera, cumple con todas las cualidades de un cuerpo, pero su resultado no es conmutativo.

La multiplicación de cuaterniones es asociativa. Además, todo cuaternión no nulo cuenta con un único inverso. Los cuaterniones no constituyen un álgebra asociativa en relación con los números complejos.

Finalmente, de igual manera que los números complejos y los números reales, representan dimensiones vectoriales euclídeas de espacios unitarios o dobles, consecuentemente, los cuaterniones  crean un área vectorial euclídea de cuatro dimensiones.

¿Cómo se representan los cuaterniones en matrices?

Las representaciones matriciales también son propias de los cuaterniones. En este caso, se aplican matrices matemáticas para su expresión. Por ejemplo, si tenemos el cuaternión p = a + bi + cj + dk es posible representarlo en una matriz compleja de 2 x 2 del siguiente modo:

Otra forma de usar las representaciones matriciales en los cuaterniones es por medio de matrices reales de 4 x4. Adicionalmente, al uso de matrices para representar cuaterniones, es posible expresarlos como el producto interno de dos vectores. Siendo así, un componente sería:  = (a1, a2, a3, a4) y el otro {1, i, j, k}.

En este supuesto, el elemento a₁ que genera el componente real se escribe separado. Además, para el producto interno se toman en cuenta únicamente las tres bases i, j, k:

x = (a1,  a) = (a1, a2, a3, a4)

¿Qué operaciones básicas se pueden hacer con cuaterniones?

Para sumar y obtener un producto entre un cuaternión y otro, se aplica la aritmética de los números complejos. Esto funciona de igual modo que en el caso del conjunto anterior IR⁴. Es decir, dicho conjunto más el resto de operaciones, compensa todas las cualidades de un cuerpo. La única relevancia en este caso es que el producto no conmuta.

En el caso de la suma, se lleva a cabo término a término. En todo caso, funciona de un modo parecido al de los números complejos. Es decir:

(a1 + b1i + c1j + d1k) + (a2 + b2i + c2j + d2k) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)k.

Para el producto se aplica de componente a componente. De acuerdo con esto, queda de la siguiente manera:

ab = (a1b1 – a2b2 – a3b3 – a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 – a4b3)i + (a1b3 – a2b4 + a3b1 – a4b2)j + (a1b4 + a2b3 – a3b2 + a4b3)k

Como ya destacamos antes, el producto de cuaterniones nunca es conmutativo. Al contrario, siempre es asociativo. Las operaciones elaboradas con anterioridad pueden llevarse a cabo reemplazando las representaciones.

¿Qué aplicaciones tienen los cuaterniones?

Un cuaternión va mucho más allá de una investigación matemática. Actualmente, poseen diversas aplicaciones. En primer lugar, sirven para comprobar respuestas en la teoría de números. Un ejemplo de esto es el teorema de Lagrange que expone que cualquier número natural se expresa como la sumatoria de 4 cuadrados perfectos.

Por otro lado, tiene aplicaciones en el campo de la física. Los cuaterniones son muy útiles para la mecánica cuántica, el electromagnetismo y mucho más.