Calcular el máximo común divisor (MCD)

El máximo común divisor o MCD es un concepto matemático que nos permite calcular el mayor número que es divisible entre a y b. Esto en el caso de querer calcular el MCD de dos números, aunque en realidad podemos calcular el divisor más grande de un conjunto de números más amplio. Por ejemplo en la calculadora de MCD que te mostramos a continuación podrás escribir todos los valores numéricos que quieras, simplemente deberás separarlos con una coma.

Calculadora de MCD

Calculadora de MCD




Pasos para hallar el máximo común divisor

Para sacar el máximo común divisor, básicamente deberemos seguir una serie de pasos bastante similar a la que usamos para calcular el mínimo común múltiplo. A continuación explicaremos el procedimiento, pero primero es necesario definir los elementos que intervienen en este cálculo. Los más importantes son los dos o más valores numéricos a partir de los cuales se calculará el MCD. También debemos conocer los divisores de todos estos números, ya que uno de ellos será el resultado que estamos buscando. Y por último está el divisor común, este es el valor que estamos buscando, el cual te enseñaremos a calcular ahora mismo:

Método de la lista de divisores

  • Hacer un listado de todos los divisores: empezaremos escribiendo una lista de todos los divisores de cada número. Idealmente las dibujaremos en horizontal una encima de otra, ya que, de esta manera será más fácil identificar y comparar los divisores. Una vez hayamos acabado de escribir todos los divisores podremos pasar al siguiente punto.
  • Identificar todos los divisores comunes: deberemos identificar los divisores comunes (los que se repiten en todas las listas que hayamos escrito). En el caso de estar trabajando solo con dos números, simplemente deberemos fijarnos en dos listas. Pero si tenemos más listas, entonces tendremos que prestar más atención y mirar más números.
  • Encontrar el mayor número de entre los divisores: cuando tengamos todos los divisores comunes marcados de alguna manera, solamente nos quedará encontrar el que sea más grande. El cual posiblemente será el valor numérico que se encuentre más hacia la derecha, ya que más a la derecha querrá decir más grande.

En el caso de estar trabajando con números muy grandes, se nos puede hacer bastante lento tener que escribir todos los divisores. Así que te recomendamos usar el siguiente método o incluso, puedes comprobar si alguno de los números con los que estás trabajando divide al resto. Por ejemplo, el MCD de 16, 32 y 64 no podrá ser mayor a 16, entonces simplemente deberás comprobar si el 16 es divisible entre los demás valores.

Método de la descomposición en números primos

  • Descomponer cada número en factores primos: lo primero que haremos será descomponer factorialmente todos los números. De esta manera, al descomponer un número en otros más pequeños, veremos qué relaciones numéricas existen entre todos los valores que estamos calculando.
  • Juntar todos los factores en una expresión: una vez hayamos descompuesto todos los números, deberemos expresar los factores en una única expresión matemática para cada número. Con lo cual juntaremos todos los factores y nos quedarán todos multiplicados entre sí y si alguno se repite lo expresaremos en formato de potencia.
  • Escoger los números comunes con menor exponente: por último deberás encontrar el máximo común divisor a partir de los factores que habrás unido previamente. Para hacer esto elegirás los números comunes y con el menor exponente. Entonces solo quedará resolver esa operación combinada de multiplicaciones y potencias.

Si no te ha quedado muy claro este procedimiento, te recomendamos que mires el vídeo anterior o el ejemplo que encontrarás al final de este artículo.

Vídeo sobre el máximo común divisor (MCD)

Explicación del MCD de Profe Alex

¿Para qué se usa el máximo común divisor?

  • MCD para reducir fracciones: el MCD nos es muy útil para simplificar fracciones, lo cual es muy común en el ámbito de las matemáticas. Básicamente, consiste en encontrar el máximo común divisor del numerador y del denominador para después dividir ambos por ese número. De esta manera nos queda una fracción equivalente y más sencilla.
  • Simplificar cálculos complejos: en muchos casos es muy útil calcular el MCD de dos números para simplificar expresiones matemáticas de alta complejidad. Así puedes seguir resolviendo el cálculo pero de una manera más fácil, porque no tendrás que hacer los cálculos con números tan grandes.

MCD en la calculadora científica

La función del máximo común divisor en la calculadora nos permite determinar el mcd de dos números enteros. Para poder usar esta funcionalidad en una calculadora científica Casio (los modelos más recomendados para estudiantes). Simplemente pulsaremos la siguiente combinación de teclas ALPHA + MCD. Seguidamente introducirás el primer número, después pulsarás SHIFT + "," (para introducir una coma) y por último escribirás el segundo valor. Cuando hayas cerrado el paréntesis ya podrás pulsar la tecla igual y así obtener el resultado.

Ejercicios de MCD resueltos paso a paso

A continuación puedes encontrar tres ejercicios de MCD para que practiques, te recomendamos mucho que pruebes de resolver estos ejemplos. Ya que te ayudarán a interiorizar todos los conceptos matemáticos que hemos explicado a lo largo de este artículo. Dicho esto, te dejamos practicar:

Hallar el mcd de 20 y 24

Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

Vamos a resolver este ejercicio por medio del método de la lista de divisores. Para empezar deberemos identificar los comunes de ambas listas y escogeremos el más grande. Entonces, el máximo común divisor de 20 y 24 es 4.

Hallar el mcd de 15 y 30

Divisores de 15: 1, 3, 5 y 15.

Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30.

Vamos a resolver este ejercicio por medio del mismo método que el anterior. Para empezar deberemos identificar los comunes de ambas listas y escogeremos el más grande. Entonces, el MCD de 15 y 30 es 15.

Calcular el mcd 600 y 1000

Descomposición en factores primos de 600 = x 3 x

Descomposición en factores primos de 1000 = x 5³

Este último ejercicio lo resolveremos con el método de la descomposición factorial. Por lo tanto, primero deberemos expresar ambos números en factores primos y escogeremos los comunes elevados al menor exponente. Entonces, el máximo común divisor de 600 y 1000 es x = 200.

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