En este artículo, vamos a explicar cómo resolver operaciones con números complejos. Detallaremos los métodos que pueden usarse para cada operación. De este modo, sabrás cómo actuar en cada situación.
Suma y resta de números complejos
Vamos a empezar explicando cómo sumar y restar números complejos en forma binómica. Sencillamente, debemos operar como cuando lo hacemos con expresiones algebraicas. Debemos sumar o restar las partes reales y las partes imaginarias por separado. A continuación, te explicamos cómo resolver ambas operaciones.
Para sumar en forma binómica debemos seguir esta fórmula que es muy intuitiva (tal como hemos dicho antes, esta fórmula parte de la premisa de que debemos separar las partes reales de las imaginarias):
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Trata de resolver la siguiente suma: (2 + 5i) + (-3 + 2i)
Primero separamos las partes reales y las partes imaginarias.
(2 + 5i) + (-3 + 2i)
2 + (-3) + 5i + 2i
Seguidamente, sumamos las partes reales y las partes imaginarias por separado.
Ahora pasamos a la multiplicación de números complejos. Aunque, cabe destacar que se nos pueden plantear dos casos. El primero es una multiplicación de números complejos en forma binómica. Y el segundo es una multiplicación de números complejos en forma polar. Vamos a ver un ejemplo resuelto de ambos casos.
Para multiplicar en forma binómica, podemos usar la siguiente fórmula:
(a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Aunque, en realidad, sencillamente debemos aplicar el sentido común, pues se resuelve igual que una multiplicación algebraica.
Intenta resolver la multiplicación en forma binómica: (2 + 4i) · (3 – 2i)
Para empezar, debemos aplicar la fórmula de arriba.
En cambio, para resolver una multiplicación en forma polar, debemos multiplicar los módulos y sumar los argumentos (o ángulos). La siguiente expresión describe muy bien el procedimiento a seguir:
|z|a · |w|b = (|z| · |w|)a+b
Ahora, prueba de resolver esta multiplicación en forma polar: √245 · 260
La cuarta operación aritmética con números complejos es la división, la cual es relativamente sencilla. Igual que con la multiplicación, se nos pueden plantear dos casos. El primero es una división de números complejos en forma binómica y el segundo es una división de números complejos en forma polar. Vamos a ver ambas:
Para resolver una división en forma binómica, podemos aplicar la siguiente fórmula:
Aunque, al igual que pasa con las multiplicaciones, también pueden resolverse como si fueran divisiones algebraicas.
Prueba de resolver la siguiente división en forma binómica: (2 – i) ÷ (3 + 2i)
Planteamos la división en forma de fracción (para facilitar la resolución).
Seguro que has oído hablar de los números complejos. Son quizás el conjunto numérico más difícil de tratar, pues combinan los números reales y los imaginarios. Su unificación nos permite estudiar comportamientos numéricos que no se pueden tratar desde el conjunto de los reales.
¿Qué son los números complejos?
Los números complejos son la combinación de un número real y un número imaginario. Por ejemplo, 4 + 5i es un número complejo que tiene una parte real equivalente a 4 y una parte imaginaria igual a 5i. De forma general, podemos expresarlos a través de la siguiente fórmula:
Donde, Re(z) = a y Im(z) = b
Como bien hemos dicho, los complejos son el conjunto mayor o global, el cual comprende tanto los números reales como los números imaginarios. A continuación, te mostramos un pequeño esquema sobre la estructura jerárquica de todos los conjuntos:
Por lo tanto, cuando tenemos una combinación de un número real y uno imaginario, tenemos un número complejo. Pero, hay veces que una de las dos partes es igual a cero. ¿Qué pasa en estos casos? Pues bien, seguimos tratando con complejos, porque el conjunto complejo abarca todos los otros conjuntos numéricos. Pero, entramos en una subcategoría diferente:
Número Complejo
Parte Real
Parte Imaginaria
Subcategoría
2 + 5i
2
5i
Complejo
4
4
0
Real Puro
3i
0
3i
Imaginario Puro
Cuando tenemos un real puro, como el valor imaginario b es igual a cero, el número complejo que queda es equivalente a:
z = a + 0i = a
Por otro lado, cuando tenemos un imaginario puro, la a es igual a cero y, por lo tanto, el número complejo queda tal que así:
z = 0 + bi = bi
Representación gráfica de los números complejos
Para representar los números complejos, usamos el plano complejo. El cual está formado por dos rectas: la recta real y la recta imaginaria. Estas dos rectas numéricas se utilizan para situar gráficamente los números de cada conjunto y si las juntamos, obtenemos un plano, tal que así:
El eje X, se llama eje real porque es donde se sitúan los valores de la parte real. Mientras que el eje Y se llama eje imaginario, y es donde se escriben los valores imaginarios. Vamos a ver un ejemplo, situaremos en el plano complejo el número 3 + 2i.
Como has podido ver en la imagen, hemos situado el número utilizando como coordenadas los números 3 y 2, cada uno para un eje. Si quieres saber más sobre cómo representar números complejos, te recomendamos que te leas este artículo.
¿Cuáles son los tipos de los números complejos?
Ahora, vamos a ver las formas que tenemos de expresar un número complejo. Hasta el momento, solamente hemos visto la forma base (conocida como forma binómica), la cual se escribe como una suma: parte real más parte imaginaria.
Pero, en realidad, tenemos tres formas: la binómica, la polar y la trigonométrica. Cada tipo de expresión, tiene sus propiedades, y se usa en una situación u otra. Así que, vamos a explicarlas todas y a mostrar cómo se pasa de una a otra.
1. Forma binómica
Los números complejos en forma binómica se escriben como la suma de la parte real más la parte imaginaria: a + bi. Por ejemplo, el número 6 + i, es un complejo expresado en notación binómica. En este, la fórmula siempre es la misma:
En consecuencia, para expresar un número complejo en forma binómica, solamente nos hace falta conocer su valor real y su valor imaginario.
Por ejemplo, el valor 3 + 2i está en forma binómica y como hemos visto antes, queda representado tal que así:
La forma binómica se emplea mayormente para resolver sumas y restas de números complejos.
2. Forma polar
Para expresar los números complejos en forma polar, debemos calcular su módulo |z| y su argumento. La forma polar se utiliza mayormente cuando debemos resolver multiplicaciones y divisiones de números complejos.
Para calcular el módulo del número complejo, solamente tenemos que hacer el módulo de a y b, tal como se explica en la siguiente fórmula:
Y para calcular el argumento o ángulo de z, tenemos que calcular el arcotangente de b entre a:
Es importante destacar, que para determinar exactamente el valor del ángulo α, es necesario ubicar en qué cuadrante se encuentra. Lo cual se debe a que la función arcotangente solamente calcula ángulos entre π/2 y -π/2. Para concretar en qué cuadrante está situado el número complejo, debemos fijarnos en los valores a y b (si son positivos o negativos):
Una vez sabemos en qué cuadrante está situado nuestro número, debemos seguir unas normas:
Si el número complejo está en el primer cuadrante (a > 0 y b > 0), dejaremos el argumento tal como está.
Si el número complejo está en el segundo cuadrante (a < 0 y b > 0), sumaremos π al argumento.
Si el número complejo está en el tercer cuadrante (a < 0 y b < 0), restaremos π al argumento.
Si el número complejo está en el cuarto cuadrante (a > 0 y b < 0), sumaremos 2π al argumento.
En el caso de que no sepas a lo que nos referimos cuando decimos cuadrante, te recomendamos que visites nuestro artículo sobre las razones trigonométricas.
Una vez conocemos el módulo y el argumento de z, podemos expresar el número complejo en forma polar. Aunque, esta forma acepta varias nomenclaturas, las dos principales son:
Por ejemplo, si queremos pasar el número 3 + 5i a polar, sencillamente debemos seguir el siguiente procedimiento.
Primero, calculamos el módulo:
Después, calculamos el argumento, el cual está en el primer cuadrante, así que se queda tal cual lo hemos calculado.
Y expresamos el número en forma polar:
Su representación gráfica queda tal que así:
3. Forma trigonométrica
Por último, tenemos la notación trigonométrica, la cual se calcula a partir de la fórmula de Euler:
Por ejemplo, para expresar el número 4 – 3i en forma trigonométrica, seguimos el siguiente procedimiento:
Empezamos por calcular el módulo y el argumento con las fórmulas que hemos empleado en el apartado de la forma polar.
ATENCIÓN: El argumento está en el cuarto cuadrante, porque (a > 0 y b < 0).
Añadimos los datos en la ecuación de la forma trigonométrica.
Y ya tenemos expresado el número en forma trigonométrica. Su representación gráfica es la siguiente.
¿Cómo pasar de un tipo a otro?
Ahora ya conoces todas las formas de expresar un número complejo. Y a lo largo del último apartado has podido ver cómo se llega hasta cada una de ellas, pero antes de acabar, queremos hacer un pequeño resumen sobre cómo se pasa de una forma a otra. Solamente, hay que usar las fórmulas que hemos visto en el anterior apartado.
De forma binómica a forma polar y viceversa
Para pasar de binómica a polar, te planteamos el siguiente esquema:
Antes hemos visto un ejemplo en el que pasamos de binómica a polar, así que ahora vamos a pasar de polar a binómica utilizando el esquema de arriba. Tenemos que convertir √4138,66 a binómica.
Primero calculamos la a.
Seguidamente calculamos la b.
Y lo expresamos en forma binómica.
La representación gráfica de este número queda así:
De forma binómica a forma trigonométrica y viceversa
Para pasar de binómica a trigonométrica, también debemos aplicar las fórmulas que hemos comentado en el anterior apartado. De esta forma, primero calculamos el módulo y el argumento, y después ponemos esos datos en la ecuación de la forma trigonométrica. Por poner un ejemplo, vamos a pasar el número z = 3 + 2i a trigonométrica.
Primero calculamos el módulo y el argumento.
ATENCIÓN: El argumento está en el primer cuadrante, porque (a > 0 y b > 0).
Después, completamos la ecuación de la forma trigonométrica con estos datos.
Y si queremos pasar de trigonométrica a binómica, sencillamente debemos resolver la expresión anterior.
De forma polar a forma trigonométrica y viceversa
Por último, vamos a pasar de forma polar a trigonométrica. Lo cual es algo muy sencillo, porque estas dos formas se expresan mediante los mismos dos valores: módulo y argumento. Así que solamente hay que rellenar las fórmulas y ya está.
Pongamos un ejemplo, vamos a convertir el número z = √8512,53 a forma trigonométrica.
Replanteamos las dos variables (módulo y argumento) en la ecuación de la forma trigonométrica:
Así que ahora ya sabes cómo pasar de una forma a otra, te recomendamos que practiques un poco con algunos ejercicios. De esta manera, consolidarás los conocimientos aprendidos en este artículo. Si tienes alguna pregunta referente a este tema, no dudes en dejarla en los comentarios. Y si quieres leer más sobre números complejos, mírate los enlaces de abajo.
Seguro que has oído hablar del conjunto de los números imaginarios o de la unidad imaginaria. Es un concepto matemático que surge de la necesidad matemática de expresar números que no pertenecen a los números reales.
¿Qué son los números imaginarios?
Los números imaginarios son aquellos que cuando se elevan al cuadrado dan un número negativo. En consecuencia, son valores equivalentes a la raíz cuadrada de un número negativo. Por ejemplo, la unidad imaginaria (el número i) es igual a la raíz cuadrada de -1.
Estos números no pertenecen a los reales, porque en el conjunto real, no se pueden resolver las raíces negativas. Es aquí donde radica la importancia del conjunto imaginario. Este conjunto se inventó para poder tratar con raíces negativas y poder resolver todas esas ecuaciones cuadráticas y problemas que «no tienen solución», porque nos dan una raíz negativa.
Para evitar confusiones es importante distinguir entre números imaginarios y números complejos. Los complejos son números que están formados por un número real y un número imaginario. Por lo tanto, los imaginarios son una subcategoría de los complejos, los cuales no tienen parte real. En la siguiente tabla, se puede apreciar mejor las diferencias.
Número Complejo
Parte Real
Parte Imaginaria
Descripción
4 + 7i
4
7i
Complejo
3
3
0
Real Puro
2i
0
2i
Imaginario Puro
Para acabar de situar este conjunto numérico, podemos visualizar en la siguiente imagen una estructura de todos los conjuntos. Como podemos ver, los números complejos abarcan todos los tipos de números, estos a su vez, pueden dividirse en los reales y en los imaginarios puros (que son los que estamos tratando en este artículo).
Ejemplos de números imaginarios
Partiendo de la unidad imaginaria (i), podemos deducir otros números imaginarios. Solamente, hay que aplicar la siguiente fórmula:
m = r · i
Donde, m es un número imaginario, r es un número real y i es la unidad imaginaria. En la siguiente imagen, puedes ver cómo obtenemos diferentes imaginarios a partir de raíces negativas.
De hecho, podemos extrapolarlo a la siguiente expresión:
Propiedades de los números imaginarios
Los números imaginarios tienen una serie de propiedades muy interesantes. Algunas de las cuales ya las hemos comentado al principio de este artículo y algunas otras no:
Los imaginarios no pertenecen al conjunto de los reales, pues son números que físicamente no existen y no pueden representarse en nuestra realidad.
Son valores equivalentes a las raíces negativas.
Pueden representarse gráficamente en la recta imaginaria.
Las potencias imaginarias (es un concepto que explicaremos en el siguiente apartado), son de gran ayuda para simplificar los cálculos numéricos en los que intervienen valores imaginarios.
La fórmula de Euler es una expresión que nos permite relacionar los números imaginarios con los reales.
Operaciones con los números imaginarios
Ahora ya conoces todas las características importantes de los números imaginarios, así que es hora de aprender a resolver operaciones con ellos. Para operar con imaginarios, debes seguir los mismos pasos que sigues cuando operas con valores reales, solo que debes tener en cuenta un concepto: las potencias imaginarias.
Potencias imaginarias
Los números imaginarios tienen una propiedad muy interesante que sucede cuando multiplicas la unidad imaginaria por sí misma. Dicho de otra manera, sucede cuando haces potencias de la unidad imaginaria. Si escribimos las potencias, tal como en la siguiente lista, se puede descubrir un patrón:
i0 = 1
i1 = i
i2 = i · i = (√-1) · (√-1) = -1
i3 = i2 · i = (-1) · i = -i
i4 = i2 · i2 = (-1) · (-1) = 1
Conocer este concepto es algo que nos va a facilitar mucho la resolución de operaciones con números imaginarios, porque podremos simplificar operaciones difíciles y hacerlas algo más sencillas. Además, lo bueno de estas potencias es que se repiten indefinidamente. Podemos verlo, si añadimos algunas potencias más:
i5 = i
i6 = -1
i7 = -i
i8 = 1
etc.
Y con las potencias negativas, también sucede esto.
Operaciones aritméticas con números imaginarios
A continuación, te vamos a plantear un ejemplo de cada operación aritmética básica, para que puedas ver cálculos de números imaginarios resueltos.
Suma de números imaginarios: es exactamente igual que la suma de números reales, solo tienes que acordarte de añadir la i.
4i + 3i = 7i
Resta de números imaginarios: las restas también se resuelven igual que en el conjunto real.
4i – 3i = i
Multiplicación de números imaginarios: en este caso, debemos tener en mente las potencias imaginarias que hemos comentado antes.
3i · 4i = 12 · i2 = 12 · (-1) = -12
División de números imaginarios: en este tipo de divisiones también tenemos que estar alertas, por si nos encontramos con alguna potencia imaginaria, que nos permita simplificar la operación.
12i ÷ 4i = 3
Ecuaciones con números imaginarios
Como hemos dicho antes, cuando resolvemos ecuaciones en el conjunto real, hay algunas veces que obtenemos raíces negativas y, por lo tanto, las ecuaciones «no tienen soluciones». Pero, ahora que conocemos los imaginarios, podemos resolver esas ecuaciones. Veamos un ejemplo:
¿Para qué sirven los números imaginarios?
Los números imaginarios surgen de la necesidad de poder expresar valores que están fuera del conjunto real. Es por eso, que de primeras, puede parecer que no tienen muchas aplicaciones útiles. Pero, la verdad es que es justo al contrario. Porque, los cuando los combinamos con los reales, obtenemos los números complejos.
Y estos sí que tienen muchísimas aplicaciones. Se usan para estudiar la corriente alterna (porque tiene valores negativos), su uso también está muy extendido en el ámbito de las ondas (lo cual tiene aplicaciones en la física, la electrónica de telecomunicaciones y en la mecánica cuántica). Entre muchos otros usos.
Además, hay muchas veces que cuando resuelves una ecuación cuadrática, el valor te da una raíz negativa y no puedes operar… Con los imaginarios puedes resolverlas. Así que, a modo de conclusión, podemos decir que es un conjunto que nos permite expandir nuestros conocimientos más abstractos.
La fórmula de Euler es un concepto matemático que relaciona dos conceptos elementales de las matemáticas: los números complejos y la trigonometría. Esto lo convierte en una de las conceptualizaciones más importantes y con más aplicaciones de toda la matemática. A lo largo de este artículo veremos cómo es esta fórmula y todos los usos que tiene.
¿Qué es la fórmula de Euler?
La fórmula de Euler es una ecuación matemática fundamental basada en el número de Euler, la cual relaciona los números complejos con la trigonometría. Fue descubierta por el matemático suizo Leonhard Euler en el siglo XVIII y desde entonces ha sido utilizada en una variedad de campos, desde la física hasta la informática.
La fórmula de Euler se escribe como eix = cos(x) + i · sen(x), donde e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria (definida como la raíz cuadrada de -1) y x es un número real. Esta ecuación especifica que el número complejo eix es igual a la suma del número real cos(x) y del producto del número imaginario i por el número real sen(x).
La importancia de la fórmula de Euler radica en que permite expresar los números complejos en términos de números reales y trigonometría, lo que facilita su manejo y cálculo.
Demostración de la fórmula de Euler
La demostración de la fórmula de Euler se basa en el uso de la serie de Taylor para la función exponencial y la identidad trigonométrica para coseno y seno.
Primero, consideramos la serie de Taylor para la función exponencial:
Luego, reemplazamos x por ix en la ecuación anterior, donde i es la unidad imaginaria (raíz cuadrada de -1):
Entonces, aplicamos las potencias de i y reemplazamos en la ecuación anterior:
Ahora, agrupamos los términos reales y los términos con i:
En realidad, cada uno de los paréntesis anteriores son la serie de Taylor para coseno y seno:
Finalmente, simplificamos (sustituyendo cada expresión de los paréntesis por coseno y seno de x) y logramos:
Ejemplo de la fórmula de Euler
Ahora que ya sabes cómo funciona esta fórmula matemática, te recomendamos que pruebes de resolver el siguiente ejemplo resuelto: Expresa el número complejo e2i(en radianes) en forma binómica:
La principal aplicación de la fórmula de Euler es convertir un número complejo expresado en forma exponencial, a forma binómica. Por lo tanto, vamos a usar la fórmula: eix = cos(x) + i · sen(x)
e2i = cos(2) + i · sen(2)
e2i = -0,416 + 0,909i
Y ya tendríamos el número en forma binómica. A partir de aquí podemos hacer la representación gráfica en el plano complejo. Para hacerlo, hay que entender que un número complejo se representa en el plano complejo usando como coordenadas la parte real en las abscisas (eje de las x) y la parte imaginaria en las ordenadas (eje de las y).
En la anterior imagen queda representado el número complejo e2i, que es igual a -0,416 + 0,909i. Este se puede ver como un punto de color azul. Podemos ver su localización en el plano a partir de dos perspectivas.
La primera y más obvia es con la representación del número en forma binómica: -0,416 (en el eje de las x) y 0,909 (en el eje de las y). Y la segunda es a partir de la forma exponencial: el módulo de e2i es igual a 1, porque es el número que hay delante de la e (como no hay ningún número delante de e, debemos imaginar que hay un 1) y en el exponente hay un 2, por lo tanto, el argumento o ángulo es equivalente a dos radianes.
Si no acabas de entender este último párrafo, te recomendamos que leas nuestro artículo sobre números complejos. Pues allí hacemos una explicación muy profunda sobre las diferentes formas de escribir un número complejo y todas sus propiedades.
Representación gráfica de la fórmula de Euler
En el ejemplo anterior has podido ver cómo se aplica la fórmula de Euler y cómo se representa gráficamente en el plano complejo. Pero, si vamos un poco más allá y tratamos de representar una función equivalente a la fórmula de Euler, nos encontramos con algo muy curioso: genera un círculo de radio 1:
Aunque, el radio del círculo depende directamente del valor del módulo del número complejo. Por ejemplo, si queremos representar un círculo de radio 4, la función será 4eix. De modo que, la función 4eix, queda representada así:
Volviendo a la circunferencia de radio 1, si decidimos representar eiπ (en radianes), debemos calcular primero:
eπi = cos(π) + i · sen(π)
eπi = -1 + i · 0
eπi = -1
Obtenemos eπi = -1, que es la famosa identidad de Euler.
A partir de aquí deducimos que el número complejo eπi solamente tiene parte real, la cual es igual a -1. Por lo tanto, su representación quedaría tal que así:
Aplicaciones de la fórmula de Euler
Números complejos: la fórmula de Euler es una relación entre las funciones trigonométricas y los números complejos. A partir de esta fórmula podemos expresar los números complejos de diferentes formas: binómica, exponencial y polar.
Series de Taylor: la fórmula de Euler se utiliza para expandir funciones en series de Taylor.
Álgebra lineal: la fórmula de Euler se usa en la diagonalización de matrices, lo cual es una técnica fundamental en álgebra lineal.
Cálculo diferencial e integral: la fórmula de Euler se emplea en la solución de ecuaciones diferenciales, lo cual es una técnica relevante en cálculo.
Además, tiene aplicaciones en muchas teorías matemáticas e incluso, en conceptos que quedan fuera del ámbito matemático, como por ejemplo en teoremas de física.
Conclusiones
Como habrás podido ver en este artículo, la mayor aplicación de la fórmula de Euler es en los números complejos: en su expresión numérica y en su representación. Es cierto que tiene alguna aplicación en el álgebra, pero esencialmente, se trabaja con los números complejos. Así que es importante entenderlos bien, antes que nada.
Dicho esto, esperamos haberte ayudado a entender mejor este concepto. Y si te ha quedado alguna pregunta o no sabes cómo proceder con algún ejercicio, no dudes en escribirnos en los comentarios.
El número Pi es una constante matemática que representa la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Es un número irracional. Es decir, no es una fracción exacta. Por ello, no se puede representar como un número decimal finito. El valor de Pi es aproximadamente 3,14159 y se representa con la letra griega π.
Pi es un número importante en matemáticas. Por lo tanto, tiene muchas aplicaciones en diversas áreas. Por ejemplo, se utiliza en la geometría para calcular el área. Asimismo, el perímetro de círculos y otras figuras circulares. Por su parte, en la trigonometría para calcular ángulos y longitudes de arcos. Finalmente, en la ingeniería y la física para calcular magnitudes como el volumen y la capacitancia.
El día de Pi se celebra el 14 de marzo de cada año, ya que la fecha se aproxima al valor de Pi (3,14). Esta fecha se celebra para conmemorar el papel de Pi en las matemáticas y para promover el interés por esta fundamental constante.
¿Quién descubrió el número Pi?
El número Pi ha sido conocido desde la antigüedad, y fue el matemático griego Arquímedes (287-212 a.C.) quien lo describió por primera vez de manera precisa. De hecho, lo usó para calcular el área y el volumen de figuras geométricas.
En el siglo XVIII, el matemático suizo Johann Lambert demostró que Pi es un número irracional. Más adelante, en el siglo XIX, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann expuso que Pi es un número trascendental. Es decir, que no se puede expresar como una solución exacta de una ecuación polinómica con coeficientes racionales.
A lo largo de la historia, diferentes matemáticos han contribuido a la comprensión del número Pi y han desarrollado técnicas para calcularlo con mayor precisión. En la actualidad, Pi sigue siendo una de las constantes matemáticas más importantes y conocidas en el mundo y sigue siendo un tema de estudio en las matemáticas.
¿Por qué el número Pi es infinito?
El valor de Pi es aproximadamente 3,14159, pero en realidad, es un número que continúa indefinidamente después del punto decimal. Esto significa que Pi es un número infinito y no se puede representar completamente como un número decimal.
Aunque el valor de Pi es infinito, en la práctica se pueden calcular valores aproximados de Pi con mucha precisión. En la actualidad, se han calculado millones de dígitos de Pi y se ha demostrado que no tiene patrones regulares en sus dígitos decimales. Aunque, esto se ha hecho a través de superordenadores, puesto que nosotros no podemos calcular tantos dígitos.
¿Qué métodos existen para calcular el valor aproximado del número Pi?
Existen diversos métodos prácticos para calcular el valor de Pi. A continuación, te explicamos paso a paso los tres métodos más utilizados por los matemáticos.
1. Método de Arquímedes
El matemático griego Arquímedes empleó un método geométrico para calcular un valor aproximado de Pi. Para usar este método, sigue los siguientes pasos:
1. Dibuja un círculo y traza una línea que pase por el centro del círculo y corte a este por dos puntos opuestos, como se muestra a continuación:
2. Mide la longitud de la línea que corta al círculo y llámala “D”. Esta medida es el diámetro del círculo.
3. Mide la longitud de la línea que forma el círculo y llámala “C”. Esta medida es la circunferencia del círculo.
4. Divide la circunferencia del círculo (C) por el diámetro del círculo (D). El resultado es un valor aproximado de Pi.
Por ejemplo: si el diámetro del círculo es 6 y la circunferencia es 18, entonces el valor aproximado de Pi es 18 ÷ 6 = 3. Evidentemente, este ejemplo es muy básico, pero si lo haces con valores de una circunferencia real, verás que el método funciona correctamente.
De hecho, te recomendamos que pruebes de hacerlo: coge las medidas de una taza o algo que tenga una forma circular y, comprueba si te funciona.
2. Método de Montecarlo
El método de Montecarlo es un método probabilístico que se usa para calcular valores aproximados de Pi. Para ello, se generan aleatoriamente una gran cantidad de puntos en un plano y se cuenta cuántos puntos caben dentro de un círculo inscrito en un cuadrado. El proceso se aplica de la siguiente forma:
1. Dibuja un círculo dentro de un cuadrado de lado 1, como se muestra a continuación:
2. Genera aleatoriamente una gran cantidad de puntos en el cuadrado.
3. Cuenta cuántos puntos caben dentro del círculo. Llama a esta cantidad “n”.
4. Cuenta cuántos puntos en total se generaron. Llama a esta cantidad “m”.
5. Calcula el valor aproximado de Pi utilizando la siguiente fórmula: Pi = (4 · n) ÷ m.
Por ejemplo, si se generaron 380 puntos y 300 caben dentro del círculo, entonces el valor aproximado de Pi es (4 · 300) ÷ 380 = 3,16. Este valor se parece bastante a las dos primeras cifras decimales de Pi, pero, de igual manera que con el anterior método, si utilizas medidas reales, obtendrás un valor aún más exacto.
3. Método de iteración
El método de iteración es un método matemático que se utiliza para calcular valores aproximados de Pi. Este método usa una fórmula que involucra el valor de Pi y se aplica iterativamente para mejorar la precisión del cálculo. A continuación, los pasos para utilizar este método:
Elige un valor inicial para Pi. Por ejemplo, puedes elegir el valor 3.
Utiliza una fórmula que involucre el valor de Pi para calcular un nuevo valor aproximado. Por ejemplo, puedes utilizar la siguiente fórmula: Pi = (Pi + (4 ÷ Pi)) ÷ 2
Compara el nuevo valor aproximado con el valor anterior. Si la diferencia entre ambos es lo suficientemente pequeña, entonces has llegado a un resultado preciso. Si la diferencia es todavía grande, entonces asigna el nuevo valor a Pi y repite el proceso desde el paso 2.
Por ejemplo, si el valor inicial de Pi es 3, entonces el nuevo valor aproximado sería (3 + (4 ÷ 3)) ÷ 2 = 2,66666666. Pero, como la diferencia entre ambos no es muy pequeña, aún podrías repetir muchas veces el proceso antes de encontrar un valor preciso.
¿Cuáles son las aplicaciones del número Pi?
Pi es un número importante en matemáticas y tiene muchas aplicaciones en diversas áreas. Entre las aplicaciones más importantes de Pi, tenemos las siguientes:
Geometría
Pi se utiliza en la geometría para calcular el área y el perímetro de círculos y otras figuras circulares:
Círculos: calcular el área y el perímetro de círculos.
Esferas: determinar el área y el volumen de esferas.
Cilindros: cálculo del área y el volumen de cilindros.
Conos: se utiliza para calcular el área y el volumen de conos.
Trigonometría
Es útil en la trigonometría para calcular ángulos y longitudes de arcos. Algunas de sus aplicaciones son:
Ángulos: calcular ángulos y longitudes de arcos.
Funciones trigonométricas: se usa para calcular el valor de las funciones trigonométricas para ciertos ángulos.
Trigonometría circular: para calcular los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 360 grados.
Ingeniería
En ingeniería, Pi se utiliza en el cálculo de magnitudes como el volumen y la capacitancia. Algunas de sus aplicaciones son:
Electrónica: calcular magnitudes como la resistencia y la capacitancia.
Electricidad: se emplea para calcular magnitudes como la potencia y la energía eléctrica.
Ingeniería civil: calcular magnitudes como el área y el volumen de estructuras y elementos de construcción.
Física
El número Pi (π) es una constante matemática que tiene muchas aplicaciones en la física. Algunos ejemplos de cómo se utiliza Pi en física son:
Ondas: se usa para calcular la frecuencia y la longitud de onda de las ondas.
Mecánica: En la mecánica, es útil para el cálculo del trabajo y la energía en sistemas rotativos.
Electromagnetismo: En electromagnetismo, se puede utilizar para calcular la energía almacenada en un capacitador y la inductancia en un bobinado.
Cosmología: En cosmología, Pi se emplea para calcular la curvatura del espacio-tiempo y la expansión del universo.
¿Qué aplicaciones tiene el número Pi en la vida real?
Algunos ejemplos de cómo se utiliza Pi en la vida cotidiana son:
Geometría: definir el área de una alfombra circular o para medir la longitud de la cinta métrica necesaria para cubrir el perímetro de una mesa circular.
Cocina: determinar cuánta agua o líquido se necesita para llenar una olla o para saber cuántos ingredientes se pueden meter en un recipiente circular.
Astronomía: conocer la distancia entre planetas y estrellas, la órbita de los planetas y la posición de los cuerpos celestes en el cielo.
Jardinería: saber cuánto suelo o tierra se necesita para rellenar una maceta circular o para calcular cuánta agua se necesita para regar una planta en un jardín circular.
El método Criba de Eratóstenes es un algoritmo matemático que se utiliza para encontrar todos los números primos menores que un número determinado. Este sistema fue desarrollado por el matemático griego Eratóstenes hace más de 2.000 años.
Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores: 1 y él mismo. Por ejemplo, el número 2 es primo, ya que solo es divisible entre 1 y 2. El número 4, por otro lado, no es primo, porque es divisible entre 1, 2 y 4.
En general, el método Criba de Eratóstenes es una forma eficiente de encontrar todos los números primos menores que un número determinado. Para ello, se emplea una lista de números y se van tachando todos los múltiplos de los números primos que se van encontrando. Al final del proceso, los números que no han sido tachados son los números primos.
¿Cómo funciona la Criba de Eratóstenes?
La criba de Eratóstenes es un concepto poderoso que se puede usar para encontrar muchos números primos con relativa rapidez y facilidad. Funciona con un principio simple: cualquier múltiplo de un número primo no puede ser un número primo. Por ejemplo, dado que 3 es primo, 6, 9, 12, 15 y todos los demás múltiplos de 3 no pueden ser números primos.
Al tratar de identificar números primos entre dos números enteros dados o al buscar nuevos números primos, todos los múltiplos de números primos pueden descontarse incluso antes de que comience la búsqueda.
La Criba de Eratóstenes funciona como un filtro, eliminando los múltiplos de todos los números primos anteriores de la lista de números para que no se pierda tiempo probándolos.
Para comprender mucho mejor este método, es necesario utilizar un ejemplo práctico. Veamos a continuación como encontrar todos los números primos menores a 20 del siguiente modo:
Escribe una lista de números desde 2 hasta 20: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
Borra todos los múltiplos de 2: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
Elimina todos los múltiplos de 3: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Omite todos los múltiplos de 5: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Tacha todos los múltiplos de 7: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Los números que no han sido tachados son primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Ejemplos prácticos para encontrar números primos usando la Criba de Eratóstenes
En comparación con otros métodos para encontrar números primos, la criba de Eratóstenes es rápida y fácil de usar. Especialmente cuando no se dispone de computadoras. Para el proceso, no se requiere división, multiplicación ni factores de búsqueda.
En cualquier caso, la criba elimina rápidamente los números que definitivamente no son primos. El concepto de este método se basa en el hecho de que cada número se puede dividir en factores. Luego, esos factores se pueden dividir, si es necesario, hasta que solo queden los factores primos.
Esto se llama factorización prima de un número. Dicho proceso indica que todos los números no primos tienen un conjunto único de factores primos.
En otras palabras, todo número no primo tiene un primo como factor. Después de identificar un número primo, todos sus múltiplos pueden asumirse automáticamente como no primos. La Criba de Eratóstenes es un método para eliminarlos. Como ejemplo, se pueden considerar los números primos entre 1 y 30:
Lo primero que debes entender es que los números primos son los que se dividen entre el número 1 y entre sí mismos. Teniendo esto claro, usemos la Criba de Eratóstenes como ejemplo:
Dibuja una tabla con los números desde el 1 hasta el 30.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
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20
21
22
23
24
25
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27
28
29
30
Después, marca el número 2 como un número primo y elimina todos los múltiplos de 2 de la lista.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
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19
20
21
22
23
24
25
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27
28
29
30
Luego, considera el siguiente número sin marcar, que es el 3, como un número primo y tacha todos sus múltiplos de la lista.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Seguidamente, elimina de la lista todos los múltiplos de 5 sin marcar el 5. En este caso es simple, solo tienes que quitar los números que terminan en 5 y 0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Finalmente, el siguiente paso es encontrar los múltiplos de 7 que ya fueron eliminados con anterioridad al tachar los múltiplos de 2 y 3 (14 y 21).
Después de este proceso, tenemos que los números primos entre 2 y 30 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
¿Qué aplicaciones tiene la Criba de Eratóstenes en la cotidianeidad?
Aunque puede parecer que este algoritmo no tiene muchas aplicaciones prácticas en la vida diaria, en realidad tiene varias aplicaciones importantes.
Una de las aplicaciones más comunes de la Criba de Eratóstenes es en la criptografía. Los números primos juegan un papel fundamental en la seguridad de muchos sistemas de cifrado. Por ello, la Criba de Eratóstenes es una herramienta útil para encontrar y generar números primos.
Otra aplicación relevante de la Criba de Eratóstenes es en la factorización de números. Si se desea encontrar los factores de un número grande, es posible utilizar la Criba de Eratóstenes para determinar qué números primos dividen ese número. Esto puede ser útil para resolver problemas matemáticos o para analizar la estructura de un número.
Además, la Criba de Eratóstenes es usada en algoritmos de optimización y en la investigación de conjuntos de datos. Por ejemplo, puede ser empleada para encontrar patrones o tendencias en grandes conjuntos de datos numéricos.
En general, aunque la criba de Eratóstenes es un algoritmo matemático muy simple, tiene muchas aplicaciones prácticas en la vida diaria.
¿Cómo explicar la Criba de Eratóstenes a un niño?
Aunque puede parecer un tema complejo, se puede explicar de manera sencilla a los niños usando ejemplos y juegos. A continuación, se presentan algunas ideas para explicar la criba de Eratóstenes a los niños:
Comienza por explicar qué son los números primos
Ayuda a los niños a comprender cómo se utiliza la criba de Eratóstenes para encontrar números primos. Una manera de hacerlo es emplear un juego de eliminación. Por ejemplo, que los niños eliminen todos los múltiplos de 2 de una lista de números del 2 al 30. Luego, pueden eliminar todos los múltiplos de 3 y así sucesivamente. Los números que queden sin eliminar son los números primos.
Para hacer el concepto más interesante para los niños, pueden jugar a buscar números primos en diferentes contextos. Por ejemplo, pueden buscar números primos en la fecha de cumpleaños de sus amigos o en el número de la casa en la que viven.
Para reforzar el concepto, es válido hacer que los niños practiquen encontrando números primos usando la criba de Eratóstenes en diferentes intervalos de números. Con estas actividades, los niños pueden aprender de manera divertida sobre la criba de Eratóstenes y comprender su importancia en la matemática y en la vida diaria.
Historia del método Criba de Eratóstenes
Eratóstenes fue un matemático y astrónomo griego que vivió en el siglo III a.C. En realidad, es conocido por sus importantes aportes a la matemática y la ciencia, incluyendo el método Criba de Eratóstenes.
Este gran personaje vivió durante una época de rica experimentación y curiosidad intelectual. Esta era helenística vio la expansión de la ciencia y la filosofía griegas en todo el mundo occidental.
Académicos y científicos de todas partes se congregaron en nuevas bibliotecas y escuelas para debatir, discutir y aprender unos de otros. Eratóstenes usó muchas de estas ideas como base para una gran cantidad de descubrimientos matemáticos. Uno de estos descubrimientos fue el Tamiz de Eratóstenes.
Eratóstenes era el bibliotecario de la Biblioteca de Alejandría, una de las más relevantes instituciones de investigación y enseñanza de la época. Durante su tiempo como bibliotecario, Eratóstenes desarrolló el método Criba de Eratóstenes. Este método es uno de los mejores cuando se requiere ubicar números primos inferiores a un número en particular.
El procedimiento Criba de Eratóstenes ha sido utilizado desde entonces como una herramienta fundamental en la matemática. Gracias a esto, es aplicable en ámbitos, desde la criptografía hasta la investigación en matemáticas. Aunque hay métodos más rápidos para encontrar números primos, el método Criba de Eratóstenes sigue siendo una forma efectiva y empleada ampliamente.
Los números reales son una importante parte de las matemáticas, y hay muchos temas relacionados con estos números que los estudiantes deben comprender para tener éxito. En este artículo profundizaremos en lo que significan los números reales, sus propiedades y cómo podemos utilizarlos para resolver cálculos y problemas.
¿Qué son los números reales?
Los números reales son uno de los pilares fundamentales de la matemática. Se usan para medir o representar cantidades físicas, como las longitudes o los pesos. También se emplean en cálculos y problemas de geometría.
El conjunto real incluye a todos los valores que pueden representarse en la recta real. Podemos ubicarlos dentro del conjunto de los números complejos, pero fuera del conjunto de los números imaginarios.
A su vez, los números reales se pueden dividir en dos subconjuntos. Los primeros son los números racionales, que son aquellos números que se pueden expresar como una fracción. Y después, están los números irracionales, que no se pueden expresar como una fracción y su decimal es infinito e incontable.
Ejemplos de números reales
Los números reales son aquellos que se pueden representar en la recta real. Y como hemos dicho, todos los racionales (números enteros y números fraccionarios) y los irracionales entran en este conjunto. Así que cualquier valor que pertenezca a estos conjuntos, también es un número real.
A continuación, te mostramos una lista con algunos números reales de ejemplo:
El 3: es un número real, racional, entero natural.
El 4,254: es un número real, racional, fraccionario (número decimal).
El 4/9: es un número real, racional, fraccionario (fracción propia).
El π: es un número real, irracional.
Si tienes en mente el esquema planteado anteriormente, es muy fácil distinguir números reales, de los números no reales (o imaginarios). Pues solo tienes que identificar la categoría del valor en cuestión y ya sabes si pertenece a los reales o no.
Propiedades del conjunto real
En la siguiente lista, puedes encontrar las propiedades que definen el conjunto de números reales.
Propiedad integral: Lo que significa es que siempre se puede encontrar un número real entre cualquier otro par de números reales. Es un conjunto continuo que no tiene espacios entre los valores.
Propiedad de infinitud: Lo que quiere decir es que se pueden obtener valores infinitamente pequeños y grandes dentro del conjunto, ya que, los números reales no tienen límites.
Propiedades aritméticas: Las operaciones aritméticas de los reales cumplen con las cuatro propiedades matemáticas (conmutativa, asociativa, distributiva y elemento neutro).
Además, cada subconjunto de los reales que hemos comentado anteriormente, cumple con sus propias propiedades.
Representación de los números reales
La nomenclatura principal de los reales es, evidentemente, la notación matemática. La cual consiste en escribir los valores numéricamente. Pero, también hay otras maneras de expresar valores reales.
Una forma es mediante la recta numérica, donde cada punto representa un número real. Otra forma es mediante un diagrama de Venn, donde los números reales se dividen en conjuntos según sus propiedades. Pero, estos métodos solo se utilizan si queremos representar gráficamente un valor real.
Aplicación del conjunto real
En conclusión, queremos aclarar que el conjunto real es la base de la aritmética y se usa en muchas otras áreas de la matemática. Y no solo eso, también es el conjunto que se emplea para contar, medir y calcular en nuestra vida cotidiana. Pues, los números reales son los que nos permiten «pensar» en los objetos físicos de nuestra realidad.
Esta es su principal diferencia respecto a los números imaginarios, los cuales no se emplean para contar objetos. Además, los reales son los más usados en el cálculo matemático, así que vale la pena saber tratar con ellos, si quieres entender bien la realidad que te rodea.
Los números irracionales son un conjunto numérico algo complejo. Estos números ofrecen un sinfín de posibilidades para los estudios matemáticos. Y en este artículo te explicaremos sus características principales para que entiendas cómo funcionan y cómo se usan. Dicho esto, empecemos por definirlos.
¿Qué son los números irracionales?
Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como una fracción de dos números enteros. Esto quiere decir que no se puede dividir el número en partes iguales. Pues, cuentan con infinitas cifras decimales no periódicas (que parecen aleatorias). A menudo se les representa con la letra θ (theta) o con la letra I (mayúscula).
Subconjuntos del conjunto de números irracionales
El conjunto de los números irracionales es un subconjunto del conjunto real, que a su vez se puede descomponer en dos categorías inferiores, según el origen de estos números:
Irracionales algebraicos: son la solución de alguna ecuación algebraica.
Trascendentes: nacen de las funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etc).
Ejemplos de números irracionales
Algunos ejemplos de números irracionales son el número pi (π), el número de Euler, la raíz cuadrada de 2, la raíz cuadrada de 5 y muchos más. De hecho, muchos de estos números son constantes matemáticas o raíces de algunos números. A continuación, te mostramos una lista con cinco ejemplos más de números irracionales:
Raíz cuadrada de 3 (√3)
Raíz cuadrada de 93 (√93)
Raíz cuadrada de 123 (√123)
Raíz cuadrada de 189 (√189)
Número Áureo (Φ)
Características de los números irracionales
Los números irracionales tienen varias características distinguidas. En primer lugar, son incontables, lo que quiere decir que no se pueden enumerar. Esto se debe a que los números irracionales ocupan una densidad de puntos en el espacio mucho mayor que la densidad de puntos de los números racionales. Básicamente, porque tienen infinitas cifras.
En segundo lugar, los números irracionales son no-periódicos. Esto significa que no existe una cadena de dígitos que se repite indefinidamente en su representación decimal. Pi es un buen ejemplo de esto: sus dígitos decimales no siguen un patrón y parecen aleatorios.
Finalmente, los números irracionales son densos. Esto significa que hay un número infinito de números irracionales entre dos números dados. Esta característica se debe a que los intervalos entre los valores son muy pequeños para ser medibles, por lo que parece como si el conjunto de números irracionales fuera continuo.
Representación de los números irracionales
La representación de los números irracionales es muy simple. Se trata de un número que no puede ser expresado como una fracción, y, por lo tanto, no puede ser representado en la forma usual de una división. En cambio, se representa como un número decimal que no termina o que no tiene un patrón. Por ejemplo, el número Pi (3.14159…) es un número irracional.
Por otro lado, también pueden representarse en la recta numérica, pero es bastante complejo ubicar este conjunto en la recta. Esto se debe a que tienen infinitos decimales y, por lo tanto, ubicarlos con una precisión exacta es prácticamente imposible.
Aplicaciones matemáticas de los irracionales
Los números irracionales tienen muchas aplicaciones en las matemáticas. Por ejemplo, tienen una gran aplicabilidad en la geometría: se usan para calcular áreas, perímetros de figuras geométricas, longitudes de curvas, y volúmenes de cuerpos tridimensionales. También se utilizan en cálculos estadísticos y en análisis matemático.
Además, existen muchas constantes matemáticas que pertenecen al conjunto irracional, las cuales tienen aplicaciones infinitas. Así que en conclusión, podemos decir que es un conjunto algo complejo, pero muy útil.
¿Alguna vez te has preguntado cómo los números racionales se diferencian de otros números? En este artículo, exploraremos en profundidad los números racionales, incluyendo sus características únicas y cómo se clasifican. ¡Prepárate para entender mejor el concepto!
¿Qué son los números racionales?
Los números racionales (ℚ) son una subclase de los números reales que incluye a todos los números que se pueden expresar como una fracción. Esto significa que los números racionales son aquellos que se pueden escribir como un cociente de dos enteros, a/b, donde b ≠ 0.
Los números racionales también se pueden expresar como decimales periódicos o finitos, ya que están formados por una serie de dígitos repetidos. Algunos ejemplos de números racionales son 1/2, 3/4, 10/3, 2/3 y π (pi).
Subconjuntos de los racionales
Los números racionales se pueden dividir en dos subconjuntos:
Los números enteros, que incluyen al 0, a todos los números naturales y a todos los números negativos.
Los números decimales o números fraccionarios, que son todos aquellos que expresan valores formados por: una parte entera y una parte decimal, esta última permite expresar valores menores que la unidad.
Otra subcategoría del conjunto de los reales son los números irracionales, los cuales son algo más complejos.
Ejemplos de números racionales
Los números racionales son aquellos que se pueden expresar como una fracción, es decir, como un cociente de dos números enteros. Algunos ejemplos de números racionales son:
-2/3 -4/5 -1/2 -7/9
Todas las fracciones que representan a un número entero, también son racionales. Por ejemplo:
-1/1 -2/2 -3/3
Propiedades de los números racionales
La característica principal de los números racionales es que siempre tienen un denominador distinto de cero.
La segunda propiedad de este conjunto, es que cada número racional puede representarse con infinitas fracciones equivalentes. Por ejemplo, el número racional 3,5, que es igual a 7/2, también puede escribirse como 14/4, 28/8…, e infinitas fracciones más.
Los números racionales también cumplen con la propiedad distributiva. Esto quiere decir que, al multiplicar o dividir una fracción por otra, el resultado no se verá afectado:
(a/b)·(c/d) = (ac)/(bd)
(a/b)/(c/d) = (ad)/(bc)
Representación de los números racionales
Los números racionales se pueden representar de varias maneras, pero la forma más común es mediante una fracción. La fracción consiste en dos números: el numerador y el denominador.
El numerador indica cuántas partes del todo se están considerando, mientras que el denominador indica cuántas partes iguales hay en el todo. Por ejemplo, si un pastel se divide en ocho porciones iguales y se come tres de esas porciones, entonces la fracción que representa la cantidad de pastel que se ha comido sería 3/8.
Otra forma de representar los números racionales es mediante decimales. Los decimales son una forma abreviada de escribir una fracción en la que el denominador es un número de 10, 100, 1000, etc. Por ejemplo, si se tiene 1/4 de un pastel, esto se puede expresar como 0,25 (que significa «0 enteros y 25/100»).
Aunque, si queremos representarlos de forma gráfica, también podemos escribirlos en la recta numérica, en la cual se puede apreciar muy bien el orden de los números. A continuación, te mostramos un ejemplo de esta recta:
Operaciones racionales
Las operaciones fundamentales de los números racionales son las mismas que las de los números enteros: la suma, la resta, la multiplicación y la división. Si quieres aprender a resolver este tipo de operaciones, te recomendamos que te leas nuestro artículo sobre operaciones con fracciones.
Aunque, si estás operando con números racionales en base decimal, debes seguir el procedimiento de resolución de operaciones que empleas cuando tratas con valores decimales.
Conclusión sobre el conjunto de los números racionales
Después de esta exhaustiva explicación, podemos concluir que el conjunto de los números racionales es uno de los más importantes en las matemáticas. Contiene a todos los números que se pueden representar como una fracción, lo cual nos permite expresar cantidades de manera muy precisa.
Redondear números decimales puede ser una tarea desalentadora, especialmente si no sabes cuáles reglas seguir. Afortunadamente, hay algunos trucos simples que te pueden ayudar a redondear los números de manera rápida y precisa. En este artículo descubrirás como hacerlo correctamente.
Método para redondear números decimales
El método del redondeo equivale a simplificar un número decimal (quitarle cifras decimales), variando su valor el mínimo posible. Esto lo hacemos aproximando el dígito decimal que queremos redondear, hacia arriba o hacia abajo.
Para decidir cuál de los dos casos tenemos que aplicar, debemos fijarnos en la siguiente cifra decimal a la que estamos redondeando:
Si la siguiente cifra decimal es menor que cinco, entonces el valor que queremos redondear se queda igual (a este caso, se le conoce como redondeo hacia abajo).
Si la siguiente cifra decimal es mayor o igual que cinco, entonces se le suma uno al valor que queremos redondear (a este caso, se le conoce como redondeo hacia arriba).
A continuación, te planteamos un ejemplo para que acabes de entender el método de aproximación por redondeo:
Ejemplo: Tenemos el número 14,253 y queremos redondearlo a la décima.
En este caso debemos fijarnos en la centésima, puesto que es la siguiente cifra después de la décima.
Por lo tanto, debemos fijarnos en el 5.
El 5 es igual a 5, como resultado, redondeamos hacia arriba (sumamos uno al valor que estamos aproximando). En nuestro caso, la décima es igual a: 2+1 = 3.
El valor redondeado a la décima, nos quedaría tal que así 14,3.
Ahora que ya conoces las reglas del redondeo de números decimales, aplicables para aproximar cualquier valor, vamos a ver ejemplos concretos. Empezaremos por redondear valores a la unidad, seguiremos con la décima y finalizaremos con la centésima.
Aunque, cabe destacar que, este mismo método, se aplica a cualquier cifra decimal. Incluso puedes aproximar a la millonésima y mucho más. Así que la posición decimal no hace variar el método.
Ejemplo 1: Redondear a la unidad
El número 1,375 se puede redondear de diversas maneras. En este ejemplo, lo redondearemos a la unidad más cercana. Comenzamos mirando el dígito que está después de la coma (3). Debido a que es menor que 5, el número se redondea hacia abajo y, por lo tanto, el uno se queda igual. Así que el número nos queda: 1.
Ejemplo 2: Redondear a la décima
En este ejemplo, redondearemos los decimales a la décima más cercana. Comenzamos con el número 0,64. La décima más cercana al número es 0,6, por lo que debemos fijarnos en la siguiente cifra (el 4). Como el 4 es menor que 5, aplicamos el redondeo hacia abajo. Así que el número nos queda: 0,6.
Ejemplo 3: Redondear a la centésima
Supongamos que queremos redondear el número 2,4567 a la centésima. Aplicando el mismo principio, debemos fijarnos en la milésima (que es la cifra de después de la centésima), en nuestro caso es el 6. Y como 6 es mayor que 5, redondeamos hacia arriba (sumamos uno a la centésima actual). El número nos queda: 2,46.
Ventajas de usar la aproximación por redondeo de cifras
Ya has visto cómo funciona el método del redondeo, pero seguramente te estarás preguntando para qué sirve todo esto. Y la verdad es que tiene infinitas aplicaciones prácticas, en especial relacionadas con nuestro día a día.
Puesto que este concepto matemático, nos permite simplificar los números con los que tratamos. Y de esta manera, somos capaces de procesar mejor la información.
Por ejemplo, cuando vas a comprar y quieres saber cuánto te costarán cinco manzanas que valen 2,54 cada una. Es más fácil aproximar a la décima (2,5) y multiplicar 2,5 por las cinco manzanas. Aunque, no te da exacto, lo aproximas para calcularlo más rápido.
Y esto se puede aplicar a prácticamente, cualquier ámbito de nuestra vida. Es por eso, que cuando aprendes a hacer aproximaciones de este tipo con rapidez y agilidad, entiendes el verdadero potencial de este concepto matemático.
