Los 13 Elementos de Euclides

Los Elementos de Euclides (Ver precio) es una de las obras más representativas de toda la matemática. De hecho, lo más interesante es que a pesar de su antigüedad, sigue muy presente en la actualidad. No es para menos, pues gran parte de la información que contiene este libro ha permitido constituir los parámetros de la educación en el ámbito de la geometría.

Este texto se conoce popularmente como la geometría euclidiana. Básicamente, consiste en una obra matemática de trece libros. Su antigüedad data del año 300 a.C. Por medio de esta narrativa, Euclides muestra una perspectiva concisa de mirar la geometría: el plano y el espacio. A continuación, se describe brevemente lo más relevante del libro.

Historia del libro

El primer aspecto a destacar es que se trata de uno de los libros más difundidos de toda la historia. Sin embargo, pese a su popularidad en Bizancio, no fue sino hasta 1482 cuando se imprimió la primera versión del texto.

El compilado contiene un total de 13 libros en los que el autor destaca su conocimiento sobre la geometría y matemática. Todo esto se explica de un modo bastante simple. Con el surgimiento de la obra, tenemos los conocidos Postulados de Euclides.

Libro I

El autor, en este primer libro, expone un total de 48 proposiciones. Todas estas parten de 23 conceptualizaciones que se mantienen en la actualidad como superficie, punto y línea. Además, incluye 5 axiomas y 5 postulados. Entre las proposiciones se tiene en cuenta la primera ejecución del teorema de Pitágoras.

26 de las proposiciones del libro I tienen que ver con las cualidades del triángulo. Desde la proposición 27 hasta la 32 se habla de las teorías paralelas. Hay definiciones importantes que se mantienen en la actualidad, como la línea, el punto, el ángulo, entre otros:

Punto, o signo, es lo que no tiene partes, o lo que no tiene magnitud”.

“Línea es una longitud sin latitud”.

“Superficie plana es aquella, en la que, tomados dos puntos cualesquiera, la recta terminada por ellos se halla toda en la misma superficie”.

Además, se refiere a otros aspectos claves de la geometría actual, como los ángulos del triángulo. Por esto, expresa que, si dos triángulos cuentan con dos lados del uno proporcionalmente idénticos a los dos lados del otro, y los ángulos que tienen estas partes equivalen entre sí, las bases serán las mismas.

En palabras más simples, quiere decir que el triángulo A es igual al triángulo B. Asimismo, el resto de ángulos contrarios a lados idénticos son también equivalentes.

Libro II

En el segundo libro, Euclides enfatiza en la Escuela de Pitágoras. Esto con la finalidad de adentrarse en aspectos como el álgebra de la geometría. Se determinan las semejanzas geométricas en distintas formas algebraicas. Por otro lado, se generaliza el Teorema de Pitágoras. Particularmente, del aspecto conocido como la ley del coseno

Este segundo libro de Elemento de Euclides se inclina hacia la utilización del método de implementación de las áreas. La división de la recta es un aspecto relevante de este libro II en particular. Euclides inicia este libro exponiendo que:

“Todo paralelogramo rectángulo se dice estar contenido por las dos rectas, que comprende el ángulo recto”.  

Asimismo, continúa explicando que, si dos rectas son divididas en cualquier cantidad de partes idénticas, el rectángulo que se crea a partir de ambas es igual a los rectángulos que contiene la entera, y por las partes de la otra.

Entonces, si una recta es dividida en cualquier parte, los rectángulos que forman parte de toda esta, y sus segmentos, son idénticos al cuadrado de la recta.

Libro III

El siguiente libro de los Elementos de Euclides, se relaciona con las teorías asociadas a la circunferencia. Asimismo, destaca otras investigaciones como el estudio de las tangentes y la definición angular. Tiene un total de 37 proposiciones. De todas estas, 32 son teoremas y las cinco restantes son problemas. Además, incluye 11 definiciones.

Si bien es cierto que no se considera un volumen excelente, dada la complejidad sistemática, incluye aspectos importantes como la definición de tangente y la búsqueda del centro del círculo.

Libro IV

Este libro mantiene la intención de rescatar las teorías pitagóricas. Para ello, Euclides se basa en la utilización de compás y regla en la ejecución poligonal de 3 hasta 15 lados. Todas las proposiciones de este libro son problemas, para un total de 16. Asimismo, incluye 7 definiciones. Entre ellas destacan:

Se define como recta aplicada a un círculo cuando los extremos de la misma se ubican en la circunferencia de este”.

Por otro lado, se analiza también la elaboración de polígonos como el hexágono. Para esto, el autor recurre a la duplicación de lados. La proposición 11 de este libro se basa en la construcción de un pentágono equilátero dentro de una circunferencia.

Libro V

Se puede asumir que este libro es el mejor de toda la obra. La presentación de la teoría de la proporción aplicable es inigualable. De hecho, en este libro se logra dar resolución al problema establecido por Pitágoras en relación con los números irracionales.  

Euclides habla de la proporcionalidad con respecto a las cantidades iguales de razón. En tal sentido expresa que:

“Se considera que una magnitud inicial tiene la misma razón con otra, que una tercera con una cuarta, cuando cualquier equimúltiplo de la primera magnitud y la tercera son superiores a la par. Esto aplica tanto en el caso de que sean iguales a la paridad o inferiores con respecto a cualquier equimúltiplo de la segunda magnitud y de la cuarta, consecuentemente. Y, por supuesto, siguiendo este mismo orden.”

Libro VI

Este libro propone la teoría eudoxiana en relación con el estudio de la geometría plana.  Se definen teoremas esenciales de los triángulos similares. Además, se expone la creación de la 3º, 4º y la media proporcional. Otro aspecto interesante de este libro es la solución a ecuaciones cuádricas. Se definen las figuras rectilíneas de la siguiente forma:

“Figuras rectilíneas iguales son aquellas que cuentan con ángulos idénticos respectivamente. De igual modo y, en forma proporcional, los lados que poseen los ángulos equivalentes.”

Este libro tiene un total de 33 proposiciones. Entre ellas, la más importante se basa en que la bisectriz interior de un ángulo de un triángulo separa el lado contrario en dos secciones equivalentes a las otras dos partes.

Libro VII

A partir de este libro, hay un cambio estructural en lo que Euclides quiere expresar. Esto aplica también para los libros siguientes, específicamente para el libro VIII y IX. Las preposiciones de este libro son en total 102. Sin embargo, a diferencia de lo anterior, se inclinan más hacia investigaciones teóricas.

Por ejemplo, se encuentra la necesidad de establecer la medida máxima coincidente entre sí de dos números no primos. Incluso, se puede definir a este libro como una recopilación de lo que Pitágoras dejó en el ámbito aritmético. Las definiciones son bastante interesantes.  Por ejemplo:

La unidad es lo que da unanimidad e individualiza cada elemento”.

“Un número es una diversidad conformada de unidades”.

Este libro se enfoca mucho más hacia la perspectiva numérica y su aplicación en distintos ámbitos.

Libro VIII

Quizás uno de los puntos que no queda claro de este libro es la definición de noción. No hay una conceptualización clara de la cual hacer referencia. Sin embargo, en otros aspectos, se habla sobre la serie numérica en proporción continúa. No hay definiciones. Solo hay 27 proposiciones.

Libro IX

Partiendo de la clara tendencia pitagórica, este libro habla de la teoría en relación con la paridad y disparidad numérica y su vinculación. Asimismo, se determina la cantidad infinita de números primos. Al igual que el libro anterior, no hay definiciones, pues todas se agrupan en el Libro VII.

Libro X

Este libro es uno de los más complejos de toda la obra. La razón tiene que ver con la implicación de números irracionales en la segmentación rectilínea. Nuevamente, incluye definiciones para un total de 16 que se dividen en tres secciones. Además, tiene 115 proposiciones. El autor define términos como magnitud inconmensurable de la siguiente forma:

“Son magnitudes conmensurables, todas las que pueden medirse con la misma medida e inconmensurables las que no poseen un vínculo de medida común”.

Más adelante nos encontramos con la definición de rectas conmensurables e inconmensurables:

“Se definen como líneas rectas conmensurables dentro de un cuadrado a aquellas cuyos cuadrados son medibles con la misma área y viceversa.”

Libro XI

Los libros XI, XII y XIII tienen un tema frecuente. Los tres tomos se enfocan en la geometría espacial. No hay postulados, pero hay un total de 28 definiciones.

Además, hay 75 proposiciones en total, de las cuales 63 son teoremas y el resto son proposiciones combinadas. Un dato importante es el estudio de los cinco poliedros regulares llamados sólidos platónicos.

Conclusiones

Realmente, el libro Elementos de Euclides es una buena opción para impartir enseñanzas relacionadas con la geometría. Hay gran cantidad de herramientas útiles para el aprendizaje. Además, se explica de forma bastante clara la teoría numérica. El resumen se trata de un buen libro didáctico.

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