Aunque las constantes matemáticas se usan a menudo en la vida cotidiana, el significado de estas no siempre es claro. Y en esta era de la información y la ciencia, se espera que los estudiantes de matemáticas comprendan el significado y el valor de las constantes matemáticas. Esto es lo que aprenderás con este artículo.
¿Qué son las constantes matemáticas?
Las constantes matemáticas son valores que no cambian: se usan para representar números que no cambian, como el número de pies en una yarda o el número de pulgadas en un pie. Las constantes también se usan para representar variables que no cambian, como la velocidad de la luz o la aceleración de la gravedad.
E incluso, podemos crear constantes nosotros mismos para una situación concreta. Aunque, en este artículo nos centraremos en las constantes globales, que son las que se utilizan mundialmente y tienen aplicaciones en las matemáticas, la ciencia y otras disciplinas técnicas. Dicho esto, vamos a empezar por la más conocida, el número Pi.
Pi (π)
La constante Pi, conocida también como π, se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. En otras palabras, Pi es el número que resulta de dividir la longitud de cualquier circunferencia por el diámetro de dicha circunferencia. Como Pi es una constante, esto quiere decir que su valor es el mismo para todas las circunferencias.
Pi tiene muchos usos en matemáticas, ya que aparece en fórmulas relacionadas con el cálculo de áreas y volúmenes de figuras geométricas redondeadas, como círculos y esferas. También, se utiliza en física y en muchísimos otros campos de las matemáticas aplicadas. Por eso, es la constante más conocida.
El valor numérico de Pi se aproxima a 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679… Pero, no podemos describirlo enteramente, porque es un número irracional, con infinitos decimales.
Podemos encontrar Pi en la naturaleza… piénsalo. Los anillos de Saturno son un buen ejemplo de cómo Pi está presente en nuestro ambiente. Los anillos están formados por partículas que giran alrededor del planeta en órbitas circulares, así que su formación puede ser descrita mediante círculos. Por lo tanto, podemos usar la definición de Pi para calcular sus diámetros y longitudes.
Número de Euler (e)
El número de Euler, también conocido como el «número e», es otra constante matemática muy importante y fascinante. Se trata de un número irracional que se encuentra en muchos lugares de la naturaleza, por eso lo usamos en la geometría euclidiana o en la teoría de los números. Su valor aproximado es 2,718281828459045…
El número de Euler se usa en matemáticas y física para describir muchos fenómenos naturales, desde la forma en que los fluidos se mueven en un líquido hasta la manera en que las ondas se propagan a través del espacio. También, se puede usar para calcular el área de ciertas figuras geométricas y para resolver ecuaciones diferenciales.
Constante de Euler-Mascheroni (γ)
La constante de Euler-Mascheroni (γ) es una constante matemática que aparece en diversas formulaciones en teoría de números y análisis. Se define como el límite de la diferencia entre el logaritmo natural de n y la suma de los inversos de los n primeros números enteros. A continuación, te mostramos la expresión que la representa:
Esta constante tiene numerosas aplicaciones en cálculo, estadística y otras áreas de las matemáticas.
Número Áureo (Φ)
El Número Áureo es una de las constantes matemáticas más importantes y representa la relación armónica perfecta. Se trata de un número irracional que se aproxima a 1,61803… Su valor se deriva de la secuencia Fibonacci, en la que cada número es igual a la suma de los dos anteriores. La secuencia comienza con 0 y 1, y luego sigue: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…
A partir del quinto término en adelante, cada número es el resultado de sumar los dos anteriores. Esta proporción se va acercando al Número Áureo conforme avanza la secuencia. De hecho, si dividimos cualquier número de la secuencia Fibonacci entre el anterior, el resultado será siempre aproximadamente igual al Número Áureo.
El Número Áureo se utiliza en muchas disciplinas para crear diseños armónicos y estéticamente agradables.
Raíz de dos (√2)
La raíz de dos se puede llegar a considerar una constante matemática. Su valor aproximado es 1,41421356… La raíz de dos es importante en matemáticas y en la vida diaria porque nos permite calcular la longitud de un objeto cuadrado. También se usa en geometría y trigonometría. En general, se puede decir que la raíz de dos es muy útil en el cálculo de diferentes magnitudes.
Se trata de un número irracional bastante curioso, especialmente por lo que respecta a la geometría, pues equivale a la longitud de la diagonal de un triángulo rectángulo, formado por lados de 1 unidad de longitud. Esto se puede corroborar con el teorema de Pitágoras.
Esperamos que ahora conozcas mejor las cinco constantes matemáticas más importantes y que sepas aplicarlas en tus cálculos y fórmulas. Si quieres compartir alguna duda o reflexión acerca de este tema, puedes hacerlo a través de los comentarios. Muchas gracias, por leernos.
La notación matemática es una forma de comunicar ideas y cálculos mediante el uso de símbolos. Aunque a primera vista puede parecer confusa, con un poco de práctica podrás interpretarla con facilidad. En este artículo, te mostraremos los significados de todos símbolos que se emplean en esta notación y algunos ejemplos de cómo aplicarlos.
¿Qué es la notación matemática?
La notación matemática es una forma de escribir los valores y expresiones que se usan en las matemáticas. Esta técnica permite a los matemáticos manifestar ideas de forma concisa y precisa. La notación matemática también hace que sea más fácil comprender los conceptos con una mayor claridad, para los que practican o estudian las matemáticas.
No debes confundir el lenguaje matemático con la notación científica, que es una manera de escribir valores numéricos. Mientras que la notación matemática es más bien un conjunto de símbolos que permiten escribir expresiones complejas, igual que una lengua. Más adelante entraremos en más detalle acerca de este tema.
¿Cómo se lee la notación matemática?
Aprender a interpretar la notación matemática es más fácil de lo que parece, solamente hay que aprenderse el significado de cada símbolo y una vez que lo hagas, podrás leer cualquier cosa que esté escrita en notación matemática. Es así de fácil, aunque evidentemente requiere de práctica y mucho tiempo de estudio.
Las expresiones matemáticas son muy lógicas y siempre siguen patrones, por lo tanto, solo debes memorizarte las normas y después, sabrás extrapolarlas a cualquier situación. Incluso podremos llegar a describir cálculos muy complejos, esta es la magia del lenguaje matemático, que nos permiten comunicar mensajes muy elaborados de una manera metódica.
Componentes de la notación matemática
La notación matemática se compone de una serie de símbolos que representan a los números, las operaciones y las relaciones entre ellos. Estos símbolos pueden parecer complicados al principio, pero con un poco de práctica y comprensión, interpretar la notación matemática te resultará de lo más fácil.
A continuación, te explicaremos en gran detalle los cuatro tipos de elementos que nos podemos encontrar en el lenguaje matemático. Empezando por los más básicos y acabando por los más complejos y abstractos. Y una vez acabada la explicación teórica, hablaremos sobre los tipos de notaciones numéricas que existen.
Números y conjuntos numéricos
En primera instancia, debemos definir los números matemáticos, estos son un concepto matemático que designa una cantidad en consonancia con una unidad. Podemos describir cualquier valor numérico, siguiendo el sistema de numeración decimal y combinando los siguientes símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Si ordenamos los números según diferentes propiedades, obtenemos varias categorías numéricas, que se conocen como conjuntos numéricos. Y estos grupos de valores, también tienen símbolos propios que los designan, en la siguiente lista te los presentamos todos con el nombre del grupo correspondiente:
Estos símbolos se suelen emplear en nuestros cálculos, para determinar un gran abanico de números, de una tirada. Por ejemplo, si tenemos una expresión que acepta muchos valores como resultado, en vez de escribir los números uno por uno, nos será más fácil explicitar estos valores a través del símbolo correspondiente a su grupo numérico.
Operadores y cuantificadores
Ahora que ya hemos comentado los números, que son la esencia de las matemáticas, debemos hablar sobre los operadores y los cuantificadores. Los primeros son todos aquellos símbolos que nos permiten representar una operación: suma (+), resta (-), multiplicación (x o ·), división (÷), entre otros.
Aunque, también tenemos dos otros tipos de operadores, que son los operadores lógicos y los operadores de relación. Los primeros expresan conjunción, disyunción y negación. Nos sirven para plantear operaciones lógicas, que a diferencia de las operaciones aritméticas, no trabajan con números, sino con proposiciones matemáticas.
Mientras que los segundos, nos permiten establecer equivalencias y relaciones entre valores o expresiones matemáticas. Estos símbolos pueden usarse en los cálculos aritméticos (para ordenar números), pero tienen más importancia en el álgebra, cuando tenemos variables (más sobre esto dentro de dos apartados).
En la siguiente lista, puedes encontrar la definición de todos los operadores que hemos comentado hasta ahora:
Símbolo
Definición
Tipo
+
Suma
Operador aritmético
–
Resta
Operador aritmético
x, *, ·
Multiplicación
Operador aritmético
÷
División
Operador aritmético
x²
Potenciación
Operador aritmético
√
Radicación
Operador aritmético
Y
Conjunción
Operador lógico
O
Disyunción
Operador lógico
NO
Negación
Operador lógico
=
Igual a
Operador de relación
>
Mayor que
Operador de relación
<
Menor que
Operador de relación
>=
Mayor o igual que
Operador de relación
<=
Menor o igual que
Operador de relación
≠
No es igual a
Operador de relación
≡
Exactamente igual
Operador de relación
≈
Aproximadamente igual
Operador de relación
≃
Equivalente a
Operador de relación
∝
Proporcional
Operador de relación
Aunque, también hay cinco operadores lógicos más, que se usan para explicar la lógica matemática desde la teoría de conjuntos. Que es una rama que aplica la lógica de conjuntos, lo cual se usa en cálculo, geometría, estadística… A continuación, te mostramos los símbolos que se emplean y su definición.
Símbolo
Definición
x ∈ A
x pertenece a A
x ∉ A
x no pertenece a A
∪
Unión
∩
Intersección
⊂
Inclusión
En cuanto a los cuantificadores, podemos definirlos como unos símbolos que nos indican la cantidad de elementos de un conjunto que cumplen con una determinada condición (equivalencia, orden, pertenencia, etc.). Hay una gran variedad de operadores, pero entre los más usados, podemos destacar:
Símbolo
Definición
Tipo
∀x
Para todo x
Cuantificador
∃x
Existe por lo menos un x
Cuantificador
∄x
No existe un x
Cuantificador
∃!x
Existe un único x
Cuantificador
|
Tal que
Cuantificador
∴
Por lo tanto
Cuantificador
Expresiones matemáticas y sus relaciones
Con los símbolos que hemos tratado hasta ahora, puedes entender una gran parte de las matemáticas, pero aún no hemos explicado sus aplicaciones o relaciones en expresiones complejas, como las operaciones combinadas o el cálculo algebraico. Además, todavía quedan los símbolos de relación por comentar. Estos son los que veremos en este apartado.
Empezando por los símbolos de agrupación, estos son los paréntesis, los corchetes y las llaves. Estos elementos son clave en la designación de fórmulas complejas. Su principal función es dar prioridad a ciertos cálculos, dentro de una expresión global. Y hay diferentes niveles de prioridad entre los tres tipos. En esta expresión puedes ver el orden de escritura 3 {[2 + (3 – 2) · 2] – 4}.
Símbolos
Definición
Prioridad
«(» y «)»
Paréntesis
Máxima prioridad
«[» y «]»
Corchetes
Segunda prioridad
«{» y «}»
Llaves
Tercera prioridad
Y para terminar esta categoría, hablaremos sobre los sumatorios (Σ) y los productos (∏), que son elementos que nos permiten describir sumas y multiplicaciones que se repiten. El sumatorio equivale a decir: «suma de Xi, donde i toma los valores de 1 a n». Y el producto es lo mismo, pero en vez de sumar, hacemos multiplicaciones.
Análisis algebraico
El primer elemento que hay que tratar sobre los símbolos algebraicos son las variables, que se representan mediante las letras del alfabeto. Su función es la de imitar a un número, pero no tienen un valor fijo como las constantes matemáticas, por lo tanto, pueden adoptar nuevos valores. Esto se aplica en las ecuaciones, los límites, las derivadas, las integrales, las matrices…
Por último, queremos hablar sobre las representaciones de todas estas operaciones algebraicas que acabamos de comentar en este último párrafo. Puesto que, son la base del álgebra y hay que saber cuál es su simbología. A continuación, te mostramos una tabla con sus diferentes símbolos y una breve definición:
Símbolo
Definición
limx→b
Límite (cuando x tiende a b)
y’, ƒ’ (x), dy / dx
Derivada
∫
Integral
Am x n
Matriz de dimensiones m x n
Conclusión sobre los símbolos del lenguaje matemático
Hasta aquí has visto todos los símbolos importantes que se tratan en las matemáticas, evidentemente aún quedan algunos por comentar. Pero, estos son más específicos de cada subcategoría de las matemáticas: geometría, estadística, álgebra… Por lo tanto, vamos a cerrar este tema y a hablar de las notaciones numéricas.
Tipos de notaciones numéricas
En este apartado vamos a ver todas las formas de expresar los números matemáticos, puesto que existen diferentes notaciones para hacerlo. Al principio, hemos comentado por encima el sistema de numeración decimal, que es el más usado por los matemáticos. Seguidamente, lo explicaremos en mayor detalle y te mostraremos otros tipos de notación matemática:
Notación decimal
El sistema de numeración decimal es un sistema de numeración posicional (sistema en el cual la posición de cada dígito determinará su valor) está basado en los múltiplos y submúltiplos del número 10. Ya que el diez es el número que usa como base numérica. Por lo tanto, los diez símbolos numéricos que usaremos son los siguientes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0.
El valor de estos números se determina a partir de la suma de los dígitos multiplicados por las potencias en base diez, establecidas en función de la posición. Y es muy importante que recuerdes que para escribir un número inferior a la unidad, deberemos usar la coma decimal. A continuación, puedes encontrar un ejemplo:
Ejemplo de notación decimal
Notación científica
La notación en forma exponencial o notación científica, es claramente uno de los tipos de escritura más usados en el ámbito de la ciencia y la tecnología. Eso es debe a que nos permite expresar números muy grandes y muy pequeños de una forma simple. Para entender la definición de notación científica, vamos a explicar cómo pasar un número entero a esta notación:
Mover la coma decimal: deberemos desplazar la coma decimal las veces que haga falta hasta llegar al primer dígito (hacia la izquierda si tenemos un número muy grande y hacia la derecha si tenemos un número muy pequeño).
Establecer la base: escribir este último dígito multiplicado por diez, por lo tanto, junto al valor que hayas obtenido de mover la coma decimal hacia un lado, deberás escribir una multiplicación por diez: «x 10».
Añadir un exponente: con un valor igual a la cantidad de veces que hayas movido la coma decimal. Con los números grandes vas a dejar el exponente en positivo, pero, en los números pequeños, deberás escribirlo en signo negativo.
Ejemplos de notación científica
Notación hexadecimal
El sistema hexadecimal tiene como base el 16, esto quiere decir que usa dieciséis símbolos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Como se puede ver, este sistema de numeración está formado por los números del sistema decimal y seis letras. Esta notación suele emplearse sobre todo en computación y todo lo relacionado con la informática.
Es importante aclarar que como tiene algunos símbolos en común con otros tipos de notación, siempre deberemos indicar que está escrito en hexadecimal por medio de un paréntesis y el subíndice 16. En el siguiente ejemplo puedes ver de un ejemplo muy claro la conversión de un número hexadecimal a la notación decimal:
Ejemplo de notación hexadecimal
Para poder convertir un número hexadecimal en una expresión decimal deberemos descomponer el número en sus multiplicaciones de base, tal como hemos hecho en la notación decimal, pero cambiando la base a 16. Entonces, multiplicaremos cada dígito por dieciséis elevado a la posición que ocupe ese dígito en concreto menos uno.
Notación octal
El último sistema que comentaremos es la notación octal, la cual tiene una base de 8. Esto quiere decir que solo utiliza ocho símbolos o dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Este es el sistema de numeración menos usado de todos los que hemos explicado. Cabe destacar que las conversiones de esta notación se hacen siguiendo el mismo procedimiento que las anteriores.
Ejemplo de notación octal
Notación romana
Por último, podemos hablar del sistema de numeración romano, el cual no es muy usado actualmente, pero en el pasado tuvo una gran importancia en el ámbito de las matemáticas. Puesto que fue una de las notaciones que dio la vida a las matemáticas.
Su escritura se limita a 7 símbolos: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) y M (1000). Y combinando estas letras se escriben todos los números. Si quieres saber cómo se combinan para dar lugar a otros números más grandes, te recomendamos que leas nuestro artículo sobre ellos, accediendo a través del último enlace.
¿Cómo se puede mejorar el rendimiento en la lectura de la notación matemática?
Existen varias formas de mejorar el rendimiento en la lectura de la notación matemática. Una forma es leer en voz alta los símbolos y números. Otra forma es familiarizarse con los símbolos y su significado. También se puede practicar la lectura de la notación matemática utilizando ejercicios y problemas.
Esperamos haberte ayudado con esta guía, por favor, si tienes alguna pregunta, no dudes en escribirla en los comentarios. O si quieres hacer alguna aportación sobre el tema, también esperamos verla en los comentarios. Dicho esto, te dejamos un artículo sobre cómo aprender matemáticas, por si quieres seguir leyendo.
En este artículo encontrarás una explicación sobre las fracciones equivalentes o fracciones iguales muy completa y fácil de entender. Concretamente, hablaremos sobre su definición, cómo calcularlas y cómo saber si dos fracciones son equivalentes. De esta manera, acabarás sabiendo todo lo necesario para resolver ejercicios de fracciones equivalentes como los que te plantearemos al final. Dicho esto, empezamos con el temario.
Calculadora de fracciones equivalentes
Con la ayuda de esta calculadora de fracciones equivalentes podrás comprobar si dos fracciones son iguales, sin la necesidad de hacer cálculos. Su funcionamiento es muy simple, básicamente tienes que introducir los valores correspondientes a los dos numeradores y a los dos denominadores y darle en el botón de «Calcular».
Calculadora de fracciones equivalentes
¿Qué son las fracciones equivalentes?
Las fracciones equivalentes son aquellas que expresan un mismo valor numérico, por lo tanto, son fracciones que equivalen a un mismo resultado, aunque tengan un numerador y un denominador distintos. Esto quiere decir que mantienen una relación de proporcionalidad, la cual puede ser de dos tipos: amplificada o simplificada. A continuación, te mostramos un ejemplo gráfico de fracciones equivalentes para que se entienda mejor el concepto.
En la anterior imagen se pueden ver dos círculos divididos en dos y cuatro partes. Si tratamos de definir el primero a través de una fracción diremos que cada parte equivale a 1/2 del total, mientras que en la segunda figura usaremos la fracción 1/4. Evidentemente, estas dos fracciones no son equivalentes, ya que representan cantidades diferentes. Pero, si cogemos dos trozos del segundo círculo (2/4), esta expresión sí que equivale a 1/2.
En esta segunda imagen se puede ver la equivalencia entre 1/2 y 2/4, además, se puede comprobar numéricamente. Ya que 1/2 = 0,5 y 2/4 = 0,5. Según la definición que hemos comentado previamente, si las dos fracciones expresan un mismo valor numérico, entonces son fracciones equivalentes.
Ejemplos de fracciones equivalentes
Ahora te mostraremos 5 ejemplos de fracciones equivalentes. Y si quieres entender cómo las hemos calculado, te recomendamos que sigas leyendo.
Fracciones equivalentes a un medio: 2/4, 3/6, 4/8, etc.
Fracciones equivalentes a un tercio: 2/6, 3/9, 4/12, etc.
Fracciones equivalentes a un cuarto: 2/8, 3/12, 4/16, etc.
Fracciones iguales a la unidad: 4/4, 7/7, 15/15, etc.
Fracciones equivalentes a un quinto: 2/10, 3/15, 4/20, etc.
¿Cómo calcular fracciones equivalentes?
Para obtener fracciones equivalentes tenemos que multiplicar o dividir tanto el numerador como el denominador, por un mismo número. Ya que, si modificamos de igual forma ambas partes de la fracción, mantenemos una relación de proporcionalidad. Por lo tanto, podremos usar dos métodos: amplificación y reducción.
Hallar una fracción equivalente por amplificación
En este primer caso, tenemos que multiplicar una fracción inicial por un determinado valor numérico. Esto quiere decir que tenemos que multiplicar el numerador y el denominador por ese número. Para que lo veas con un ejemplo, a continuación te mostramos dos fracciones equivalentes, que se obtienen después de hacer una multiplicación:
Lo que hemos hecho ha sido multiplicar ambas partes de la fracción por tres: 5 x 3 = 15 y 4 x 3 = 12. Obteniendo así una fracción equivalente amplificada, ya que es más grande. En conclusión, hemos hallado una fracción compuesta por diferentes valores numéricos, la cual expresa una misma cantidad que la fracción original.
Hallar una fracción equivalente por simplificación
En segundo lugar, podemos optar por simplificar una fracción, dividiendo el numerador y el denominador de una determinada fracción. De esta manera, conseguiremos otra fracción equivalente, aún más sencilla que la inicial. Aunque, cabe mencionar que este método solo funciona si la expresión inicial no es una fracción irreducible, ya que, estas últimas no se pueden reducir más. A continuación puedes encontrar un ejemplo de cálculo de una fracción equivalente por reducción (simplificación).
Como se puede ver en la imagen, lo que hemos hecho ha sido dividir tanto el numerador como el denominador de la fracción entre un divisor común. En este ejemplo, hemos usado el cinco: 25 / 5 = 5 y 15 / 5 = 3. Finalmente, hemos obtenido la fracción equivalente irreducible de 25/15.
¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?
Para identificar fracciones equivalentes tenemos que seguir alguno de los tres procedimientos que explicaremos a continuación. Cabe destacar que el segundo está relacionado con la simplificación de fracciones que hemos comentado en el anterior apartado.
Multiplicación de numeradores por denominadores
Si quieres comprobar la equivalencia que hay entre dos fracciones puedes utilizar este primer procedimiento. Básicamente, tienes que multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda. Después, tienes que multiplicar el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera. Si los dos resultados te dan lo mismo, entonces esas fracciones serán equivalentes. Observa el ejemplo siguiente:
En este último ejemplo, hemos comprobado que las dos fracciones eran equivalentes. Este ejemplo era fácil de ver, ya que la segunda fracción es el doble de la primera, dicho de otro modo, guardan una relación de equivalencia amplificada. Cabe destacar que este procedimiento es bastante cómodo de usar, simplemente hace falta multiplicar en cruz. Pero igualmente te recomendamos que aprendas a utilizar los otros dos sistemas, porque así tendrás más recursos matemáticos a tu disposición.
Simplificación de fracciones
Cuando estamos tratando con fracciones no irreducibles podemos usar este otro método, el cual consiste en reducir al máximo la fracción que esté compuesta por los números más grandes. Si al hacer esta reducción, nos encontramos con que la fracción más pequeña es la irreducible de la otra, entonces podemos dar por sentado que son equivalentes.
Resolver e igualar las divisiones
Por último, puedes recurrir a la solución del cociente que generan las fracciones, porque un número fraccionario no deja de ser una división. Básicamente, tienes que calcular el valor numérico equivalente a ambas fracciones, y si se trata del mismo número, entonces serán equivalentes. En la siguiente imagen puedes ver un ejemplo muy claro:
Ejercicios de fracciones equivalentes
Ahora que ya has leído toda la teoría puedes probar de resolver los siguientes ejercicios, los cuales te permitirán acabar de entender la explicación. Te recomendamos que trates de resolverlos por tu cuenta y una vez los tengas, compares tu resultado con el que te ofrecemos nosotros. Dicho esto, te dejamos practicar:
Ejercicio 1
Encuentra una fracción equivalente por simplificación para cada fracción que te proponemos:
Para resolver este ejercicio solamente hay que aplicar la simplificación de fracciones, de esta manera obtenemos la fracción irreducible equivalente. Los cuatro ejemplos son muy similares, por lo tanto, no hay mucha dificultad de resolución.
Ejercicio 2
Encuentra una fracción equivalente por amplificación para cada fracción que te proponemos:
A continuación tendrás que amplificar las fracciones que te proponemos, de esta manera, obtendrás fracciones equivalentes más grandes. No importa el número que uses para hacer las multiplicaciones, nosotros por ejemplo lo haremos con 2 y 3.
Ejercicio 3
Determina si las siguientes fracciones son equivalentes o no:
Para saber si dos fracciones son equivalentes tienes que usar alguno de los tres métodos que hemos explicado anteriormente. Las correcciones las encontrarás resueltas por medio del primer procedimiento, aunque eres libre de utilizar el sistema que quieras.
Ejercicio 4
Calcula las fracciones equivalentes de las siguientes expresiones:
En este último ejercicio tendrás que reescribir las expresiones que te proponemos (números enteros y números fraccionarios) en forma de fracción, procurando que mantenga una relación de equivalencia.
Una fracción irreducible es aquella que no se puede simplificar más, por lo tanto, no tiene fracciones equivalentes más pequeñas. Dicho de otra manera, el mcd del numerador y el denominador de una fracción irreducible es igual a 1, ya que no tienen otros divisores comunes. Por ejemplo, la expresión «5/8» no se puede reducir más, en consecuencia, decimos que está en su forma más simple o que es irreducible.
Calculadora de fracción irreducible
Antes de seguir con la teoría queremos mostrarte una calculadora, la cual te permitirá obtener la fracción irreducible de cualquier número fraccionario. Solamente tienes que introducir los valores del numerador y del denominador y pulsar en «Simplificar fracción», después obtendrás la forma reducida en la casilla del resultado. Te recomendamos usar esta herramienta para simplificar de manera inmediata cualquier fracción o incluso para corregir tus ejercicios de fracciones.
Fracción irreducible =
¿Qué es una fracción irreducible y cómo se calcula?
Como ya hemos explicado al principio, una fracción irreducible es aquella que no se puede simplificar más, de modo que, es una fracción inmediata. Si quieres hallar este tipo de fracciones tendrás que usar la simplificación de fracciones, de esta manera encontrarás una fracción equivalente irreducible respecto a la inicial. En este último enlace puedes encontrar una guía detallada sobre la simplificación de fracciones, aunque en la siguiente lista, te explicamos los pasos de manera resumida:
Encontrar divisores comunes: para empezar tienes que encontrar el máximo divisor común del numerador y del denominador. De esta manera, obtienes un número que te permitirá reducir ambos valores manteniendo la equivalencia.
Dividir la fracción reducible entre el mcd: una vez tienes el mcd, tendrás que dividir el numerador y el denominador entre ese divisor común. Haciendo esto obtendrás un numerador y un denominador equivalentes y más simples (o pequeños).
También puedes usar otros métodos para hallar fracciones irreducibles, los cuales están explicados en nuestro artículo sobre la simplificación de fracciones. Aunque con esta metodología que te hemos explicado podrás reducir cualquier fracción que quieras con mucha facilidad y rapidez.
Fracciones reducibles y fracciones irreducibles de ejemplo
En la siguiente imagen puedes encontrar cuatro ejemplos de fracciones reducibles y otros cuatro de fracciones irreducibles. Te recomendamos que pruebes de simplificar cada una de las fracciones, de esta manera entenderás claramente la diferencia entre ambos tipos de fracciones.
Ejemplo del cálculo de una fracción irreducible
A continuación, te mostramos paso a paso cómo se puede simplificar una fracción usando dos métodos. El primero muestra el procedimiento completo que hemos explicado en el anterior apartado. Y el segundo muestra un sistema algo diferente, el cual consiste en dividir el numerador y el denominador entre el mismo valor, empezando con los divisores más pequeños (sin contar el 1) e ir subiendo. Aunque, si crees que el segundo sistema es muy complicado, entonces puedes ignorarlo.
Fracción irreducible de un número decimal
La fracción irreducible que se obtiene de un número decimal se llama fracción generatriz. Es importante destacar que se calcula de diferentes maneras según el tipo de decimal que tratemos (exactos, periódicos puros o periódicos mixtos). El siguiente ejemplo muestra de manera clara este concepto matemático: 5/7 = 0,7142857... Como se puede ver, cinco séptimos es la fracción irreducible equivalente al número decimal 0,7142857...
¿Cómo saber si una fracción es irreducible?
Para saber si una fracción es reducible o irreducible puedes seguir dos métodos. El primero consiste en calcular el máximo común divisor del numerador y del denominador, si ese valor es diferente a uno, entonces querrá decir que es una fracción reducible. Y si obtienes un uno como resultado, sabrás que la fracción será irreducible. En segundo lugar, puedes usar la calculadora de fracciones irreducibles que te hemos mostrado al principio para hacer este tipo de comprobaciones.
Ejercicios de fracciones irreducibles resueltos
Ahora que ya has leído la teoría, te recomendamos que pruebes de resolver estos problemas, los cuales te permitirán practicar el cálculo de fracciones irreducibles. Además, si quieres mejorar tu concepción acerca de los números fraccionarios, te recomendamos que pruebes de resolver estos ejercicios de fracciones. Gracias a los cuales entenderás mejor el concepto en sí de fracción.
Ejercicio 1
Calcula la fracción irreducible de las siguientes fracciones reducibles. Recuerda que puedes usar cualquier método para hacer la simplificación de fracciones. Y cuando termines con el ejercicio podrás comparar tus resultados con los que te mostramos nosotros en la imagen de abajo.
Ejercicio 2
Identifica las fracciones que son equivalentes a las fracciones irreducibles 2/3 y 4/5. Para hacer esta tarea, te recomendamos que observes los números del numerador y del denominador, y pienses en la relación de divisibilidad que tienen. Quizás puedas usar el máximo común divisor o mínimo común múltiplo para encontrar lo que buscas...
Ejercicio 3
En este último ejercicio, solamente tienes que indicar si las tres fracciones siguientes tienen la misma fracción irreducible. Por lo tanto, tienes que reducir al máximo las tres fracciones y analizar el resultado. Una vez lo hayas resuelto podrás comparar tus soluciones con las nuestras.
Más información acerca de las fracciones
Esperamos que este artículo te haya ayudado a entender las fracciones irreducibles. Aunque si te ha quedado cualquier duda, no dudes en leerte nuestra explicación sobre las fracciones. Allí encontrarás toda la información acerca de las fracciones: definición, categorías, operaciones y ejercicio, todo explicado por medio de teoría y ejemplos. Te aseguramos que si lees ese artículo eliminarás muchas dudas básicas relacionadas con este tema.
Simplificar fracciones o reducir fracciones es un procedimiento matemático que pretende convertir una fracción compleja en otra fracción equivalente más simple. Por lo tanto, nos permite hallar la fracción irreducible de la expresión original, y esto se puede hacer por medio de varios métodos. Aunque, antes de explicarlos, te recomendamos que pruebes la calculadora para simplificar fracciones que puedes encontrar justo debajo de este texto.
Simplificador de fracciones online
Con la siguiente calculadora para simplificar fracciones online puedes reducir números fraccionarios de cualquier tipo. Sencillamente, tienes que introducir los valores del numerador y del denominador y seguidamente, pulsar en el botón de simplificar. Una vez lo hayas hecho, obtendrás la expresión simplificada al máximo.
Fracción simplificada =
¿Cómo simplificar una fracción?
Como ya hemos dicho, la simplificación de fracciones consiste en encontrar la fracción irreducible de una más compleja. Actualmente, tenemos dos métodos para simplificar fracciones, el primero es por medio de divisiones normales y el segundo consiste en extraer factor común.
Simplificación de fracciones por división
Este sistema consiste en dividir tanto el numerador como el denominador entre divisores comunes (exceptuando el 1) hasta que no nos quede ningún divisor en común, de esta manera nos quedará una fracción irreducible. Aunque para elegir el divisor que usaremos en cada división, podemos hacerlo de dos maneras distintas: la primera es utilizando divisores comunes hasta conseguir la forma más simple de esa fracción, y la segunda es calculando el máximo común divisor del numerador y del denominador.
Por ejemplo, si queremos simplificar la fracción 12/64 podemos hacerlo dividiendo el numerador y el denominador entre el mcd de ambos, o dividiendo ambas partes de la fracción entre el mismo número hasta obtener una fracción irreducible, empezando con los divisores más pequeños (sin contar el 1) e ir subiendo. Abajo puedes ver los dos métodos resueltos paso a paso:
Simplificación de fracciones por extracción de factor común
Para efectuar este otro método tendremos que descomponer en números primos el numerador y el denominador. Y sustituiremos los valores numéricos originales por el producto de potencias equivalente. Seguidamente, procederemos a reducir la expresión simplificando las potencias con base común, con la ayuda de las propiedades de las potencias. Ahora simplificaremos una fracción de ejemplo por medio de este método:
Fracciones difíciles de reducir
A continuación te resolveremos algunas dudas respecto a los casos más complejos de la simplificación, de esta manera serás capaz de reducir cualquier fracción que se te proponga. Aunque este apartado es más bien opcional, si quieres empezar a practicar puedes pasar directamente al último apartado:
Simplificar fracciones con exponentes
Para poder simplificar este tipo de fracciones, debemos escribir la expresión con exponente como un único valor numérico. Primeramente, podemos intentarlo con la descomposición de factores primos, simplificando el numerador y el denominador. Y después, si aún no hemos obtenido una fracción irreducible, entonces procederemos a dividir ambas partes de la fracción hasta obtener una expresión que no se pueda reducir más. Como se puede ver, simplificar fracciones con potencias consiste en combinar todos los métodos que hemos comentado en el anterior apartado.
Simplificar fracciones negativas
Cuando queremos simplificar fracciones negativas podemos hacerlo con cualquiera de los tres métodos previamente explicados, porque el signo no afecta directamente al procedimiento de cálculo. Solamente se tiene que hacer una modificación al resultado, que es añadir el signo negativo. Pero, todo lo demás es exactamente igual. Para que lo veas, a continuación te mostramos resuelto el primer ejemplo que hemos explicado, pero con signo negativo.
Simplificar fracciones con números grandes
Para este caso, te recomendamos usar el método de extracción de factor común, ya que los números grandes se vuelven más sencillos si los expresas en factores primos. Por lo tanto, te ahorras el tener que resolver muchas divisiones hasta llegar a obtener una fracción irreducible. Aunque en realidad, puedes utilizar el método que prefieras.
¿Cómo simplificar fracciones con la calculadora científica?
En muchas calculadoras científicas podemos expresar de una forma más simple cualquier fracción que queramos, siempre y cuando esta no sea irreducible. En el caso de las calculadoras científicas Casio (la marca más común entre estudiantes) tenemos que pulsar el botón que está señalizado con la siguiente expresión "S⇔D". Gracias a este podremos simplificar expresiones de todos tipos incluidas las fracciones. En otras marcas también hay maneras de hacerlo, pero tendrás que consultarlo en el manual de tu modelo, porque puede variar un poco el procedimiento a seguir.
Ejercicios de simplificación de fracciones resueltos
A continuación te dejamos algunos ejercicios de simplificación de fracciones, con los cuales podrás practicar los diferentes métodos que hemos explicado. Te recomendamos que te tomes la parte teórica con la misma importancia que la práctica, ya que es gracias a esta que entenderás del todo los conceptos matemáticos que intervienen en este tipo de ejercicios.
Ejercicio 1
Simplifica las fracciones siguientes hasta encontrar la fracción irreducible:
En la siguiente imagen encontrarás cuatro fracciones simplificadas por medio de alguno de los tres métodos. Aunque, cuando trates de reducirlas por tu cuenta podrás hacerlo con el método que prefieras, lo importante es que aciertes con el resultado, el cual deberás comparar con el que te mostramos en la corrección:
Ejercicio 2
Calcula el valor de x en las siguientes ecuaciones de fracciones:
Ahora te proponemos dos ecuaciones con fracciones, las cuales se pueden resolver por medio de la simplificación. Este es un ejercicio algo más complicado, pero aplicando algunos conceptos matemáticos básicos junto con los que hemos explicado en este artículo lo podrás resolver fácilmente.
Ejercicio 3
Calcula las fracciones irreducibles equivalentes de cada una de las fracciones que te mostramos a continuación:
Ahora te retamos a que simplifiques al máximo estas fracciones, mientras las resuelvas verás que son algo más difíciles que las anteriores. Ya que, una incluye un signo negativo, otra incluye valores numéricos altos y otra incluye potencias.
Si quieres más ejercicios de fracciones te recomendamos que entres en este último enlace, allí encontraras muchísimos problemas y operaciones con fracciones. Con los cuales podrás practicar todos los conceptos relacionados con las fracciones.
Las fracciones o números fraccionarios son un concepto matemático muy importante en el ámbito del cálculo. Por lo tanto, es fundamental saber cómo funcionan y saber resolver ejercicios de fracciones. Este es el objetivo de este artículo, que aprendas a resolver las operaciones con fracciones y cualquier otro tipo de ejercicio o problema que incluya números de este estilo. Dicho esto, vamos a empezar con los primeros ejercicios.
Ejercicio de operaciones con fracciones
Para empezar, te planteamos algunas operaciones básicas que tienen fracciones incluidas, sencillamente tienes que resolverlas y expresar el resultado simplificado. Entonces, una vez hayas acabado de resolver los cálculos, te recomendamos que compares los resultados y te fijes en la corrección que te ofrecemos nosotros. Aunque también puedes comprobar tus resultados con nuestra calculadora de fracciones online.
Sumas y restas de fracciones con denominador común
A continuación tienes dos sumas y dos restas de fracciones resueltas, prueba de solucionarlas por tu cuenta y compara el resultado. De esta manera, repasarás la mecánica de resolución de este tipo de operaciones:
Sumas y restas de fracciones con distinto denominador
Ahora subimos un poco el nivel, ya que para poder resolver sumas y restas de fracciones con diferente denominador, antes tenemos que encontrar el mcm de los denominadores. Así que el cálculo se complica un poco.
Multiplicaciones y divisiones de fracciones
En este apartado, tendrás que resolver multiplicaciones y divisiones de fracciones, estas operaciones son muy fáciles de hacer, pero hay que practicarlas igualmente. Igual que en los anteriores dos apartados tienes dos de cada tipo.
Fracciones combinadas
Por último, vas a tener que resolver algunas fracciones combinadas, lo que vienen a ser operaciones combinadas con fracciones. El elemento más complicado de estas es el cálculo, ya que tienes que juntar todos tus conocimientos sobre las operaciones con números fraccionarios para poder resolver correctamente un cálculo de este tipo.
Ejercicio de conversiones entre decimales y fracciones
Ahora deberás tratar de convertir los siguientes números decimales a fracción generatriz y al contrario. Aunque para hacerlo correctamente, deberás tener en cuenta el tipo de decimal (exacto, periódico puro o periódico mixto), ya que los métodos de conversión varían. Si no te acuerdas de estos métodos, te recomendamos que te leas nuestro artículo sobre fracciones, porque en este explicamos todos los procedimientos de conversión entre decimales y fracciones y viceversa. A continuación, puedes encontrar algunas conversiones resueltas, te recomendamos que pruebes de hacerlas por tu cuenta:
Ejercicio de fracciones equivalentes
Después de haber practicado un poco las operaciones aritméticas básicas y las conversiones, es hora de empezar con las fracciones equivalentes. En este apartado te mostraremos varias fracciones y tendrás que hallar las parejas de fracciones equivalentes. De esta manera, practicarás el concepto de equivalencia y también repasarás la simplificación de fracciones.
Ejercicio de comparar fracciones
A continuación, te mostraremos varias fracciones y tendrás que compararlas con los símbolos «<«, «=» y «>». Para poder resolver este ejercicio tendrás que encontrar un denominador común y convertir ambas fracciones a ese denominador. De esta manera, podrás ver cuál de los dos numeradores es mayor y, deberás actuar en consecuencia:
Ejercicio de fracciones en la recta numérica
En este ejercicio deberás ordenar en una recta numérica las distintas fracciones que te daremos, entonces el procedimiento de resolución puede ser bastante variado. Por ejemplo, puedes dividir la distancia que hay entre dos enteros entre tantas partes como indique el valor del denominador y posteriormente, situar la fracción en el segmento que indique el numerador.
También, puedes hacer la división del numerador entre el denominador y obtener un número decimal, el cual situarás más tarde en la recta. Aunque este segundo procedimiento es bastante más básico, por eso nosotros hemos optado por escoger el primer método que hemos explicado. Dicho esto, las fracciones que tendrás que situar en la recta son las siguientes:
Problemas con fracciones
Finalmente, llegamos a la última parte de este artículo, en la cual trataremos algunos problemas de fracciones. Aunque antes que nada, queremos describir el procedimiento correcto que debes usar a la hora de resolver problemas de matemáticas:
Comprender el problema: el primer paso es hacer una buena lectura, gracias a la cual entiendas todo el problema. De esta manera, te familiarizarás con toda la información explicada en el enunciado. Si haces esta parte correctamente, entonces ya tienes mucho hecho, ya que sabrás cómo encaminar la resolución y todo el tema de los cálculos.
Planteamiento del problema: una vez sepas de qué va el problema, tendrás que hacer el planteamiento del mismo. Esto lo puedes hacer por medio de un esquema, un dibujo o una pequeña representación gráfica de los datos. En este paso empezarás a pensar maneras de relacionar los datos y de resolver el problema.
Resolver el problema en sí: después ya podrás pasar a resolver el problema numéricamente, en esta fase deberás probar las teorías que hayas planteado en el anterior apartado. Es en este paso cuando realmente ejecutas un plan de acción y obtienes los resultados, por lo tanto, debes estar muy concentrado.
Interpretar las soluciones: finalmente, cuando ya tienes las soluciones, tendrás que interpretar esos resultados y darles un sentido dentro del contexto del problema. Este último paso es muy importante y mucha gente lo ignora, porque cree que con un resultado numérico ya es suficiente, pero en realidad hay que resumir la solución en una frase.
Problema 1
Si queremos llenar una piscina con un grifo, tardamos 6 horas, pero si lo hacemos con otro grifo, entonces tardamos 8 horas. ¿Qué cantidad de la piscina se habrá llenado en 2 horas si usamos los dos grifos a la vez? Expresa el resultado en una fracción.
Para resolver este problema, deberemos recurrir a las fracciones. Básicamente, lo que haremos es calcular por separado cuánto llenará cada grifo en esas dos horas. Por lo tanto, el primer grifo llenará 1/6 del depósito en una hora y si lo multiplicamos por dos horas, llenará 2/6. Mientras que el segundo grifo llenará 1/8 en una hora y también lo tendremos que multiplicar por 2, con lo cual nos quedará 2/8.
Finalmente, sumaremos ambas fracciones, para obtener la cantidad total de la piscina que se habrá llenado. Entonces, nos quedará 2/6 + 2/8 = 7/12 de la piscina.
Problema 2
Tenemos 64 caramelos, pero regalamos 1/4 de esa cantidad a nuestro amigo Marcos. Después nos comemos 3 caramelos y le damos 2/5 de la cantidad restante a nuestra amiga María. ¿Cuántos caramelos nos quedan? Exprésalo en un número entero.
Primero, tenemos que restar a 64 un cuarto de la cantidad total, después restaremos 3 al resultado obtenido y finalmente restaremos dos quintos a esa suma de caramelos. Con lo cual, esto lo podemos calcular con fracciones combinadas:
Por lo tanto, al final nos quedan 27 caramelos.
Problema 3
Tenemos un terreno de 10 000 m², el cual está dividido en tres partes no iguales. La primera sección conforma los 3/6 de la superficie total y la segunda sección es igual a la mitad de la anterior. ¿Qué fracción describe la superficie de la tercera sección? ¿Cuántos metros cuadrados tiene cada sector?
Lo primero que haremos será calcular la fracción de la tercera parcela, esto lo haremos por medio de una resta de fracciones muy sencilla. Seguidamente, calcularemos la superficie de cada sección calculando la fracción de un número, en nuestro caso este valor numérico será 10 000. A continuación puedes ver el procedimiento entero:
Las fracciones o números fraccionarios son expresiones numéricas que indican una cantidad dividida entre otra. Por lo tanto, es un valor representado por el cociente de dos números. Con este tipo de números podemos expresar cantidades decimales y enteras e incluso podemos indicar proporciones. A continuación, definiremos las fracciones de una manera más matemática y te mostraremos algunos ejemplos, para que entiendas gráficamente este concepto.
¿Qué son las fracciones?
Una fracción equivale a la cantidad de partes que cogemos de una unidad que está dividida en partes iguales. Entonces, gráficamente se representa con dos términos separados por una línea horizontal en medio. Concretamente, en la parte superior de la línea encontramos el numerador y debajo el denominador.
Representación de una fracción
Como se puede ver, las fracciones son un concepto matemático muy fácil de representar gráficamente, ya que van de la mano con las proporciones. Es por eso que en el ejemplo anterior hemos expresado el número de cuadrados coloreados con un número fraccionario.
Términos de la fracción
Las dos partes de la fracción son:
Numerador: este término está situado por encima de la línea horizontal y es donde escribimos el número de partes que tomamos. Podemos encontrar numeradores positivos, negativos y nulos (iguales a cero).
Denominador: este otro término está situado debajo de la línea y es donde escribimos el número total de partes en que está dividida la unidad. Podemos encontrar denominadores positivos y negativos, pero estos no pueden ser nulos.
Tipos de fracciones
Existen muchas clases de fracciones diferentes, según los números que la conforman y según la equivalencia que presentan con otras fracciones. A continuación, definiremos todas las categorías que existen y comentaremos las características que nos permiten diferenciarlas de las demás:
Fracciones propias: son aquellas que están formadas por un numerador que es menor que el denominador. Si conviertes estas fracciones a un número decimal, obtendrás una cifra entre el cero y el uno. No podrá ser mayor que uno, ya que el valor del numerador será siempre más pequeño que el del denominador y, por lo tanto, no se superará la unidad.
Fracciones impropias: son aquellas que tienen un numerador mayor que el denominador, en este caso expresan valores numéricos mayores a la unidad. Como por ejemplo, 8/5 equivale a 1,6 lo cual es más grande que 1. Estas son otra manera de expresar números mixtos, los cuales son el siguiente tipo.
Fracciones mixtas: también conocidas como números mixtos son aquellas que están compuestas por un número entero y otro fraccionario. Básicamente, se representan con el valor entero delante de la fracción, entonces para convertirlas en fracciones impropias debes multiplicar la parte entera por el denominador, sumarla al numerador y dejar el mismo denominador.
Fracciones decimales: son aquellas que tienen un denominador que expresa una cantidad equivalente a una potencia de diez, por ejemplo: 6/10, 34/1000 o 5/100. Estas se utilizan en la notación decimal y son las más comunes a la hora de convertir números decimales exactos en números fraccionarios, esto lo comentaremos en mayor profundidad en el siguiente apartado.
Fracciones compuestas: son aquellas que están compuestas por otra fracción, ya sea en el numerador, en el denominador o en ambos. Entonces, para simplificar estas expresiones y mostrarlas en una sola fracción, tenemos que dividir el numerador entre el denominador. Esto quedará más claro una vez expliquemos la división entre fracciones.
Fracciones equivalentes: son aquellas que equivalen a un mismo número, aunque no estén formadas por los mismos numeradores ni denominadores. Por ejemplo, 8/4 = 4/2 = 2, ambas fracciones son equivalentes a dos. En este caso en concreto se debe a que la primera fracción es igual al doble de la segunda, por lo tanto, mantiene una relación proporcional.
Fracciones irreducibles: son aquellas que no se pueden simplificar más, esto se debe a que el numerador y el denominador no comparten factores en común y, como resultado no se pueden dividir entre ningún número. Algunos ejemplos de este tipo son: 9/5, 5/6, 7/8, entre otros. Para saber detectarlas es importante saber calcular el máximo común divisor.
Operaciones con fracciones
Ahora que ya sabemos las diferentes categorías de fracciones que existen, vamos a ver cómo resolver las diferentes operaciones aritméticas con los números fraccionarios. Cabe destacar que es algo más complicado que las operaciones con números enteros, aunque una vez entiendes la metodología todo es bastante fácil. Además, no solo explicaremos la teoría, sino que también te mostraremos algunos ejemplos. Dicho esto, empezamos.
Suma de fracciones
La suma de fracciones con denominador común es bastante sencilla, ya que solamente hace falta sumar los dos numeradores y dejar el mismo denominador. Por otro lado, la suma de fracciones con distinto denominador se complica un poco, porque tienes que encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores. Y después, tienes que sumar el producto de cada numerador por la división del mcm (el nuevo denominador) entre el antiguo denominador. Para que se entienda mejor puedes mirar el siguiente esquema:
Resta de fracciones
La resta de fracciones con denominador común es muy similar a la suma, de hecho se hace todo igual excepto en la suma de los numeradores, porque en vez de sumar tienes que restar. Y en la resta de fracciones con distinto denominador pasa lo mismo, es prácticamente igual excepto que en vez de sumar el producto de los numeradores por la división del mcm entre el antiguo denominador, tienes que restar. A continuación te mostramos otro esquema:
Multiplicación de fracciones
La multiplicación de fracciones se puede resolver de la misma manera independientemente de si los denominadores son iguales o no. Básicamente, tienes que multiplicar los numeradores por una parte y los denominadores por otra. Esta es posiblemente la operación más sencilla, ya que solo tienes que efectuar dos multiplicaciones.
División de fracciones
La división de fracciones es también bastante sencilla de resolver, solamente tienes que multiplicar en cruz. Dicho de otro modo, el numerador es el resultado de multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda. Mientras que el denominador es el producto del denominador de la primera fracción y del numerador de la segunda.
Simplificación de fracciones
Simplificar fracciones o reducir fracciones no es como tal una operación aritmética, pero es muy importante saber hacerlo y además, es un tema que ya hemos tocado un poco con los tipos de fracciones. Entonces, para simplificar un número fraccionario tenemos que dividir tanto el numerador como el denominador entre un mismo número. Generalmente, elegiremos el máximo común divisor para hacer esta simplificación. En la siguiente imagen puedes encontrar un ejemplo.
Como se puede ver, tenemos dos fracciones equivalentes, con lo cual ambas representan el mismo valor numérico, pero la segunda es más simple que la primera. Por lo tanto, hemos conseguido el objetivo de la simplificación con éxito.
¿Cómo pasar de decimal a fracción y viceversa?
La fracción generatriz es la fracción irreducible que se obtiene a partir de un número decimal, ya sea un decimal exacto o un decimal periódico. Claro está que deberemos usar diferentes métodos según el tipo de decimal, es exactamente lo que vamos a comentar a continuación.
Pasar de decimal exacto a fracción generatriz
En este caso, podemos recurrir a las fracciones decimales que hemos comentado al principio. Sencillamente, tenemos que escribir en el numerador el valor numérico, pero sin la coma. Mientras que en el denominador escribimos la potencia de diez que tenga tantos ceros como cifras tenga el numerador.
Aunque, si tenemos un número decimal mayor que la unidad, como puede ser el 4,25, entonces tendremos que multiplicar el número de unidades completas que tenemos por el valor del denominador y sumarlo al numerador original. A continuación, puedes encontrar un ejemplo de cada tipo:
Decimales a fracción
Pasar de decimal periódico puro a fracción generatriz
Cuando tenemos un número decimal periódico puro, si queremos obtener la fracción generatriz tendremos que poner en el numerador el mismo valor, pero sin coma decimal y restarle la parte entera. Mientras que el denominador será igual a un número formado únicamente por nueves, concretamente deberemos escribir tantos nueves como la cantidad de cifras que tenga la parte decimal del número original. Este sistema es algo confuso, pero con un par de ejemplos se entenderá:
Pasar de decimal periódico mixto a fracción generatriz
En caso de tener un número decimal periódico mixto, tendremos que aplicar una norma bastante compleja. Primeramente, escribiremos en el numerador el número sin la coma decimal y le restaremos la parte entera seguida de los decimales no periódicos, también sin coma decimal. En cuanto al denominador, tendremos que escribir tantos nueves como cifras tenga la parte decimal periódica, seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.
Pasar de fracción a decimal
Para pasar de una fracción a un decimal solamente hay que dividir el numerador entre el denominador, ya que un número fraccionario no es más que el cociente entre dos valores. Así que, resolviendo la división obtienes el número decimal correspondiente. En la siguiente imagen puedes encontrar algunos ejemplos bastante sencillos:
Ejercicios de fracciones
Ahora que ya sabes toda la teoría acerca de las fracciones, te recomendamos que hagas algunos ejercicios. De esta manera, aprenderás todos los conceptos explicados con mayor profundidad y el día del examen irás más rápido resolviendo los cálculos. Además, habrás visto todos los tipos de ejercicios de fracciones que hay y sabrás cómo resolverlos en consecuencia. Por último, comentarte que también tenemos a tu disposición una calculadora de fracciones online, con la cual podrás resolver todas las operaciones de fracciones.
A continuación en este artículo puedes encontrar varios problemas de porcentajes resueltos, los cuales abarcan todos los niveles de dificultad. Además, cubren una gran variedad de temáticas que se suelen estudiar por medio de los porcentajes. Dicho esto, te recomendamos que intentes resolver los problemas por ti mismo y cuando acabes, compares tus resultados con los que te ofrecemos en los mismos ejercicios. Aunque antes de empezar con las actividades, hablaremos un poco sobre los mejores métodos que hay para resolver problemas con porcentajes.
¿Cómo resolver problemas con porcentajes?
Para resolver un problema de tanto por ciento recomendamos seguir el procedimiento de resolución básico para problemas matemáticos. En este último enlace explicamos en detalle cuáles son los pasos a seguir, aunque a continuación haremos un resumen orientado a la resolución de porcentajes:
Entender el problema: en esta fase inicial de la resolución, deberemos clasificar el problema según el tipo de porcentaje que nos haga calcular. Los principales tipos suelen ser: IVA, porcentajes de aumento, porcentajes de descuento, porcentajes de equivalencias, entre otros.
Hacer un esquema: una vez tenemos claro a qué tipo de problema nos estamos enfrentando, deberemos proceder a representar gráficamente el objetivo y los datos del ejercicio. Aunque si no quieres dibujar, siempre puedes escribir un esquema con los datos que intervienen en los cálculos y relacionarlos entre ellos.
Empezar con los cálculos: después ya podremos empezar a resolver el ejercicio matemáticamente, esta parte es fácil si has planteado correctamente el ejercicio en los anteriores apartados. Ya que, tendrás muy claro qué hacer en cada momento para llegar al resultado.
Conclusiones: finalmente deberemos expresar el resultado, bien puede ser en una oración o simplemente el valor numérico que nos estén pidiendo. Y es muy recomendable que cuando hayamos terminado con el problema, lo analicemos de principio a fin y saquemos algunas conclusiones.
Problemas de porcentajes para todos los niveles
Ahora que ya hemos explicado cómo resolver ejercicios con porcentajes, ya puedes empezar a practicar con algunos ejercicios. En el siguiente listado encontrarás problemas para todos los niveles lectivos, desde ejercicios para aquellos que están empezando a operar con porcentajes, hasta algunos bastante complicados. Aunque tengas el nivel que tengas, te recomendamos que empieces por los más fáciles (los primeros) y vayas subiendo, hasta donde puedas.
Primer problema
En un colegio hay 240 estudiantes, de los cuales 160 han aprobado todas las asignaturas. ¿Qué porcentaje de estudiantes ha aprobado todas las materias?
Tenemos 160 estudiantes de 240 que han aprobado todas las asignaturas, por lo tanto 240 equivale al 100% y 160 equivale a x%. Para poder descubrir cuánto vale la x, simplemente haremos una sencilla regla de tres:
Por lo tanto, el resultado de la operación (160 x 100) ÷ 240 = 66,67% que viene a ser dos tercios del total. Entonces, si queremos expresar la solución en una oración podemos indicarlo con el porcentaje (es lo que nos piden en el enunciado) o podemos hacerlo con la proporción.
Segundo problema
En un aparcamiento hay 150 coches, de los cuales el 50% son blancos, el 30% son rojos y el resto son azules. ¿Cuántos coches hay de cada color?
Tenemos 150 coches en total y debemos clasificarlos en 3 grupos distintos según el color de la pintura. Por lo cual deberemos hacer tres cálculos como el de antes:
Por lo tanto, obtendremos tres valores: (50 x 150) ÷ 100 = 75 coches, (30 x 150) ÷ 100 = 45 coches y (20 x 150) ÷ 100 = 30 coches. Finalmente, para comprobar si estos resultados están bien podemos sumarlos todos y debería darnos 150, porque es el total. Este cálculo ya no forma parte del ejercicio, pero nos sirve de comprobación: 75 + 45 + 30 = 150 coches.
Tercer problema
Si queremos comprar un televisor que cuesta 800 € y nos hacen un descuento del 15 por ciento, ¿cuánto acabaremos pagando por el televisor?
Tenemos un precio total de 800 €, el cual nos queda rebajado un 15% (es un porcentaje de descuento). Así que deberemos resolver una única regla de tres:
En este caso debemos calcular el valor correspondiente a un porcentaje de descuento (100% – 15%) = 85%. Por lo tanto, el cálculo final nos queda tal que así: (85 x 800) ÷ 100 = 680 €.
Cuarto problema
En un depósito de agua teníamos almacenados 250 litros, durante el primer día se redujo ese volumen de agua hasta el 75% de la capacidad total. Y el siguiente día, se redujo en un 15% la capacidad que quedaba. ¿Cuántos metros cúbicos quedan en el depósito al final del segundo día?
Para resolver este problema debemos calcular dos cantidades siguiendo el orden establecido en el enunciado. En primer lugar, calcularemos el 75% de 250 y seguidamente, el 85% (100% – 15%) de la cantidad restante.
Para obtener la cantidad restante del primer día resolvemos (75 x 250) ÷ 100 = 187,5 litros de agua y seguidamente, hacemos (85 x 187,5) ÷ 100 = 159,375 litros de agua.
Quinto problema
Si me aplican un IVA del 21% en dos artículos, uno de 135 € y el otro de 56 €, pero el segundo producto tiene un descuento del 12%. ¿Cuánto acabaré pagando por la compra de los dos artículos?
En este problema intervienen varios cálculos: empezaremos calculando el precio final del segundo producto (después del descuento), seguidamente calcularemos el precio de ambos productos con el IVA y finalmente sumaremos ambos precios.
El precio del segundo producto cuando le aplicamos el descuento es (88 x 56) ÷ 100 = 49,28 € y después aplicamos el IVA a ambos productos: (121 x 49,28) ÷ 100 = 59,63 € y (121 x 135) ÷ 100 = 163,35 €. Finalmente, solamente tenemos que hacer la suma 59,63 + 163,35 = 222,98 €.
Ejercicio final
Calcula los siguientes porcentajes:
25% de 540 = 135
32% de 160 = 51,2
46% de 625 = 287,5
73% de 873 = 637,29
En el caso de terminar estos ejercicios y querer más problemas relacionados con los porcentajes, te recomendamos que accedas a este enlace. En él encontrarás problemas de porcentajes en pdf, estos no son muy diferentes a los que te hemos planteado en este artículo y te irán bien para interiorizar el concepto de los porcentajes.
Las operaciones combinadas son expresiones matemáticas formadas por diferentes operaciones aritméticas, como por ejemplo: suma, resta, multiplicación, división y demás. Entonces, para poder resolver correctamente este tipo de cálculos se inventó un método universal. De esta manera, siempre se sigue un mismo orden de resolución de las operaciones y, por lo tanto siempre se obtiene el mismo resultado. A continuación, hablaremos en mayor profundidad sobre estas reglas de cálculo.
¿Cómo resolver las operaciones combinadas?
Para poder resolver este tipo de cálculos deberemos conocer la jerarquía de operaciones que básicamente es el orden en que deben resolverse las operaciones. Ahora mismo lo explicaremos, pero si quieres aprender en más detalle este concepto, te recomendamos que mires este último enlace que hemos puesto. Ya que en él podrás encontrar un artículo entero que trata sobre este tema. Dicho esto, el orden de prioridades (de mayor a menor) a la hora de resolver operaciones combinadas es el siguiente:
Paréntesis y demás llaves
Potencias y raíces
Multiplicaciones y divisiones
Sumas y restas
Simplemente teniendo esto en mente puedes empezar a resolver operaciones de este estilo, lo demás es práctica. Y es por esto que cuando acabemos este apartado de teoría, te dejaremos varios ejercicios de operaciones combinadas de distintos niveles. Así podrás practicar todos los métodos y estrategias de resolución que hayamos comentado.
Estrategias de resolución y trucos para operaciones combinadas
Operaciones equivalentes: cuando tenemos que calcular el producto de dos números elevados, podemos transformar esa operación en una expresión equivalente que nos sea más familiar. Por ejemplo, si multiplicamos 18 x 5 nos da el mismo resultado que si multiplicamos 9 x 10, porque simplemente hemos dividido el primer número entre dos y hemos multiplicado el segundo por dos. De esta manera, conseguimos un cálculo más cómodo y sin variar el resultado.
Atención con los signos: en algunas ocasiones podemos encontrarnos con varios signos consecutivos, lo cual puede plantearnos alguna dificultad. Pero, si tenemos en cuenta la regla de los signos, no tendremos ningún problema a la hora de realizar el cálculo. Esta norma básicamente nos dice que si los dos signos son iguales, entonces el resultado será positivo. Por otro lado, si los signos son diferentes, entonces el resultado será negativo.
Entender los símbolos de agrupación: es muy importante saber interpretar los paréntesis y otros tipos de llaves, ya que, pueden hacer variar el resultado en función de si los usamos correctamente o no. De hecho, en el apartado de ejercicios que hay más adelante, trabajaremos las operaciones combinadas con paréntesis para evitar errores de este estilo.
Simplificar la expresión: simplificar una expresión matemática siempre nos puede ayudar a llegar al resultado más rápidamente. Por ejemplo, si tenemos la siguiente operación 3 + 5 – 8 + 4 – 3, podemos ver que 3 – 3 = 0. Entonces, podemos eliminar tanto el 3 como el -3 y nos quedaría 5 – 8 + 4, lo cual es un poco más simple.
Tener en cuenta las propiedades de los cálculos: las propiedades de las operaciones aritméticas son unos métodos que permiten simplificar los cálculos. Es por eso, que conocerlas mínimamente te ayudará a tomar buenas decisiones a la hora de expresar un mismo cálculo de una forma más sencilla.
Vídeo didáctico sobre las operaciones combinadas
Explicación completa de las operaciones combinadas por Profe Alex
Ejemplos y ejercicios de operaciones combinadas
A continuación te mostraremos operaciones combinadas resueltas para distintos niveles, desde operaciones combinadas para 1 ESO hasta algunas bastante más complicadas. Si quieres aprender correctamente a resolver ejercicios matemáticos de este estilo, entonces es muy recomendable que practiques con estos ejemplos. Porque ya hemos hablado de la teoría, pero ahora falta aplicarlo a la práctica. Así que coge un lápiz y un papel, ve apuntando los enunciados y probando de resolver los cálculos, finalmente podrás comparar tus resultados con los que te mostramos a continuación.
Operaciones combinadas de suma y resta
Este primer nivel es muy sencillo de resolver, ya que solo estará compuesto de sumas y restas. Por lo tanto, simplemente debes tener en mente que se resuelven de derecha a izquierda y te recomendamos que las vayas resolviendo de una en una. Observa los dos siguientes ejemplos:
3 + 7 – 9 + 1 + 4
10 – 9 + 1 + 4
1 + 1 + 4
2 + 4
6
3 – 2 – 6 + 8 + 13
1 – 6 + 8 + 13
-5 + 8 + 13
3 + 13
16
Operaciones combinadas con multiplicaciones y divisiones
El segundo nivel de dificultad incluye multiplicaciones y divisiones, por lo tanto ahora nos podemos encontrar con las cuatro operaciones aritméticas básicas. De momento, estos cálculos aún no son complicados, pero hay que conocer la prioridad de cada cálculo (esto lo hemos explicado más arriba).
4 · 2 + 1 · 5 – 3
8 + 1 · 5 – 3
8 + 5 – 3
13 – 3
10
8 ÷ 4 · 3 + 2 · 3
2 · 3 + 2 · 3
6 + 2 · 3
6 + 6
12
Operaciones combinadas con números enteros
En este apartado podemos encontrarnos con operaciones combinadas con decimales y números negativos, lo cual incrementa el nivel de dificultad un poco. Pero si vas paso a paso, podrás resolver cualquier cálculo de este estilo. A continuación, probaremos de resolver cálculos de los dos tipos que acabamos de comentar.
30,2 – 6,4 · 2,3 + 1,5
30,2 – 14,72 + 1,5
15,48 + 1,5
16,98
-5 + 4 · (-2) + 6
-5 – 8 + 6
-13 + 6
-7
Operaciones combinadas con potencias y raíces
Una vez llegamos a este nivel se añade un tercer nivel de prioridad, es por eso que deberemos volver a mirar la escala de prioridades. Y una vez tengas claro el orden, ya podrás empezar a resolver los ejemplos que hay a continuación. Personalmente, creemos que este nivel aún no es muy complicado, pero igualmente te recomendamos que vayas paso a paso.
4² + 2 ÷ 2 · 4 – 1
16 + 2 ÷ 2 · 4 – 1
16 + 1 · 4 – 1
16 + 4 – 1
20 – 1
19
√9 + 3³ ÷ 9 – 3
3 + 3³ ÷ 9 – 3
3 + 27 ÷ 9 – 3
3 + 3 – 3
6 – 3
3
Operaciones combinadas con paréntesis
Hasta ahora solo has hecho operaciones combinadas sin paréntesis, pero en este nivel ya podemos encontrar llaves dentro de los cálculos. Y esto marca la diferencia entre operaciones combinadas fáciles y operaciones combinadas difíciles, por lo cual deberás ir con más cuidado en los dos siguientes ejemplos:
(2 + 3) · 2 – (10 ÷ 5)
5 · 2 – (10 ÷ 5)
5 x 2 – 2
10 – 2
8
(3 – 7)² – 2 (4 · 2)
(-4)² – 2 (4 · 2)
16 – 2 (4 · 2)
16 – 16
0
Cálculos combinados difíciles
Por último, tenemos el nivel más complicado: ejercicios combinados con decimales periódicos y fracciones. Estos dos niveles se resuelven de la misma manera que los cálculos que ya hemos comentado. Pero, incrementan el nivel de dificultad porque estas expresiones están formadas por números un poco más complejos. Por lo demás, todo sigue siendo igual.
Operaciones combinadas con fracciones
Básicamente la novedad de este tipo es que se pueden encontrar fracciones mezcladas con todas las operaciones aritméticas que hemos visto a lo largo de este artículo. Pero en cierta manera se pueden tratar igual que las divisiones. Aunque si quieres resolver este tipo de cálculos de una manera correcta te recomendamos que mires este artículo, el cual trata las operaciones de las fracciones.
La famosa jerarquía de operaciones aritméticas es un concepto que nos permite ordenar los pasos de resolución que deberemos seguir para resolver una operación combinada. Básicamente, se trata de una agrupación de las operaciones aritméticas básicas por niveles y que establece ciertas prioridades a la hora de resolver un cálculo. A continuación, explicaremos en mayor detalle de qué se trata esta jerarquización de operaciones, cuál es el orden de prioridades y cómo se aplica a la resolución de cálculos.
Explicación de la jerarquía de las operaciones
Como hemos comentado brevemente en la introducción, este concepto matemático es una especie de pauta o más bien norma, que nos dice qué cálculos debemos resolver antes que las demás. De esta manera, cuando te encuentras con un cálculo que tiene distintos tipos de operaciones, sabrás cuáles tienen más urgencia que los demás. Pero, ¿Cuáles son las operaciones que tienen mayor jerarquía? En la siguiente lista puedes encontrar ordenados (de mayor prioridad a menor) todos los operadores.
Resolver los paréntesis, corchetes y llaves.
Realizar las potencias y raíces.
Calcular las multiplicaciones y divisiones.
Efectuar las sumas y restas.
Cabe destacar, que si tenemos más de un operador del mismo tipo seguido, entonces los resolveremos de izquierda a derecha. Por ejemplo: 2 · 3 · 5 + 6, aquí calcularemos 2 · 3, luego el resultado anterior multiplicado por cinco y finalmente efectuaremos la suma. Ahora ya sabes el orden de resolución, pero falta practicar lo que has aprendido. Por eso, una vez te expliquemos algunas estrategias para aplicar este concepto a las operaciones combinadas, te pondremos algunos ejercicios.
Vídeo explicativo muy completo
Aquí te dejamos un vídeo explicativo muy breve que te permitirá resolver tus dudas y repasar lo que hemos explicado hasta ahora:
Vídeo sobre la jerarquía de operaciones
¿Cómo aplicar la ley de la jerarquía de operaciones?
Antes de empezar con los ejercicios de práctica, queremos darte algunos consejos para que resuelvas este tipo de cálculos de manera rápida y eficaz. El primero de todos es para aquellos que aún no dominan mucho el orden de resolución y consiste en simplificar todos los pasos. Con esto queremos decir que por cada paso de resolución, solo resuelvas una sola operación. De esta manera, evitarás abarcar más información de la necesaria y estarás más centrado.
El segundo consejo consiste en determinar la importancia de la jerarquía en el cálculo en cuestión. Esto quiere decir que antes de empezar a resolver la expresión matemática, deberás comprobar si hay operadores de distintos grupos o si solamente hay un nivel de prioridad. Para que se entienda mejor, tomaremos en cuenta estos dos ejemplos 2 · 3 – 5 y 2 + 3 + 5. En el primer caso, hay una multiplicación y una resta, lo cual significa que deberemos resolver primero el producto y después la resta. Pero, en el segundo caso todas las operaciones están en el mismo nivel de prioridad. Por lo tanto, antes de resolver cualquier tipo de operación combinada deberemos pensar si hace falta aplicar esta ley matemática o si en realidad es más simple.
Ejemplos de la jerarquía de operaciones combinadas
Existen muchísimos tipos de operaciones combinadas, las cuales se pueden organizar según la dificultad de resolución. Esto es lo que podrás encontrar a continuación, hemos hecho una lista de los tres tipos de expresiones matemáticas de este estilo. Entonces te proponemos la siguiente actividad, intenta resolver estos ejercicios que te proponemos y a ver hasta dónde llegas. Aunque, deberás tener en cuenta que el nivel de dificultad irá subiendo.
Operaciones de un solo nivel de cálculo
Este tipo de ejercicios matemáticos están formados solamente por operaciones de un mismo grupo, como por ejemplo sumas y restas o multiplicaciones y divisiones. En estos casos el orden de resolución debe ser de izquierda a derecha y no habrá más dificultades, a continuación te proponemos dos ejemplos:
12 + 40 – 13 + 5 – 29
12 + 40 = 52
52 – 13 = 39
39 + 5 = 44
44 – 29 = 15
3 · 5 · 2 · 4 : 6
3 · 5 = 15
15 · 2 = 30
30 · 4 = 120
120 : 6 = 20
Operaciones con varios niveles de cálculo
En este tipo de operaciones nos podemos encontrar con operadores de distintas prioridades mezclados, es por eso que el nivel de dificultad sube. Pero, para poder resolver los cálculos de este estilo correctamente, simplemente deberás saberte de memoria el orden de prioridades que hemos comentado al principio de todo. Te recomendamos que pruebes de resolver estos ejercicios:
2 · 32 + 12 ÷ 3 – 6
2 · 9 + 12 ÷ 3 – 6
18 + 12 ÷ 3 – 6
18 + 4 – 6
16
6 · 5 + 22 ÷ 4
6 · 5 + 4 ÷ 4
30 + 4 ÷ 4
30 + 1
31
Operaciones con paréntesis y otros signos de agrupación
Por último, tenemos el nivel más complicado en el cual podemos encontrar paréntesis, corchetes y llaves. Estos tres signos de agrupación pueden complicar la resolución de expresiones matemáticas. Aun así, deberás intentar resolver los ejemplos que te planteamos a continuación, tratando de simplificar el cálculo paso a paso.
(2 + 4 · 3) ÷ 7 + 2
(2 + 12) ÷ 7 + 2
14 ÷ 7 + 2
2 + 2
4
3 · 2 + (2 + 5)2
3 · 2 + 72
3 · 2 + 49
6 + 49
55
Más ejercicios de combinaciones
Si has conseguido resolver los ejercicios de todas las categorías que hemos comentado, te felicitamos. Y por si quieres repasar un poco más todos los conceptos aprendidos, entonces te adjuntamos este enlace, el cual contiene un listado bastante extenso de ejercicios. Gracias al cual podrás repasar para el examen o simplemente mejorar en la resolución de cálculos matemáticos.
¿Cómo se aplica este concepto en la calculadora?
Como ya sabrás, las calculadoras científicas tienen un software capaz de resolver operaciones combinadas de una manera muy precisa. Además, ofrecen el resultado casi al instante, lo cual las hace destacar como una herramienta rápida y eficaz. Básicamente, son lo que todo estudiante necesita en los exámenes, por eso te recomendamos que mires este último enlace que hemos puesto. Aunque, también te puede ser de utilidad nuestra calculadora online, ya que es capaz de resolver operaciones combinadas.
