Explicaciones matemáticas

Los cuadrados mágicos son un juego matemático para pensar, el cual entrena nuestra capacidad de cálculo de una manera divertida y emocionante. Es por eso que es uno de los mejores recursos para enseñar matemáticas a los estudiantes jóvenes.

¿Qué es un cuadro mágico y cómo se resuelve?

Un cuadrado mágico es una especie de tabla o matriz que está compuesta por diferentes casillas, en las cuales se escriben números enteros. Pero, no se pueden poner de cualquier manera, hay que seguir una serie de normas:

• Todas las sumas mágicas (sumas de todos los valores de cualquier línea horizontal, vertical o diagonal) tienen que dar siempre el valor equivalente a la constante mágica (es un valor único).
• No se puede repetir ningún número dos veces.
• Solamente puedes usar números consecutivos (por ejemplo, del 1 al 9) o números que siguen una determinada serie, por ejemplo: números impares, múltiplos de 5, entre otras.

También, es importante destacar que podemos hacer diferentes clasificaciones de cuadrados según la estructura de estos. La primera es según el grado del cuadrado, el cual equivale al número de casillas que hay en una línea o en una columna. Y la segunda es según el tipo de grado de la tabla (números pares o números impares). A partir de estas distinciones, podemos organizar todos los cuadrados en diferentes categorías, aunque esto lo detallaremos más adelante.

¿Cómo resolver cuadrados mágicos?

Para resolver este juego matemático podemos usar dos métodos distintos: usar la geometría o calcular la constante mágica. Ambos procedimientos son igual de válidos, aunque uno te permite llegar de una manera más rápida al resultado, mientras que el otro requiere de más tiempo y razonamiento. A continuación, te explicaremos ambos métodos, así podrás elegir el que más te guste y podrás adaptarte mejor a cada situación.

¿Cuál es la fórmula de los cuadros mágicos?

El primer método consiste en calcular la constante mágica, para lo cual tenemos que usar la siguiente fórmula: n(n²+1)/2, siendo n el grado del cuadrado. Y una vez tenemos este valor, solamente nos queda ir probando las diferentes combinaciones de números, que nos permiten igualar las sumas mágicas de todo el cuadrado a la constante. Dicho de otra manera, tenemos que formar combinaciones de números que sumen el valor de la constante, de tal forma que nos cuadre toda la tabla.

¿Cómo resolver cuadrados mágicos usando la geometría?

En segunda instancia, podemos resolver los cuadrados mágicos por medio de la geometría. Aunque cabe destacar que este método es muy sencillo y no te hace ejercitar tu capacidad de cálculo, ya que es puramente metódico. Dicho esto, te explicaremos el procedimiento tanto para resolver cuadrados de orden par como cuadrados de orden impar.

¿Cómo resolver cuadrados mágicos con números impares?

Para resolver este primer caso, tenemos que añadir casillas a la tabla inicial de tal manera que nos quede una especie de rombo. Seguidamente, tenemos que escribir todos los números consecutivos empezando por la primera cifra de la serie (en nuestro caso el 1) y seguiremos las diagonales del rombo. Finalmente, tenemos que «doblar» la figura, por lo tanto, los valores de las casillas externas pasan al lado contrario. Entonces, las celdas externas del eje vertical se cruzan y después pasa lo mismo con las celdas del eje horizontal, a continuación puedes ver un ejemplo:

¿Cómo resolver cuadrados mágicos de orden par?

Para resolver un cuadrado mágico de orden par (cuadrados mágicos que tienen un número par de filas y columnas) podemos recurrir a un método algo distinto al anterior, pero que también se basa en la geometría. Empezaremos escribiendo la primera cifra de la serie (en nuestro caso el 1) en la esquina superior izquierda. Después, nos desplazaremos por las dos diagonales principales e iremos escribiendo los valores correspondientes a la posición de cada casilla.

Una vez tengamos escritas las dos diagonales principales tendremos que situarnos en la primera casilla en blanco empezando desde la esquina inferior derecha (la casilla 15 en nuestro caso). Ahí escribiremos el segundo valor de la serie e iremos apuntando los valores restantes por orden (de más pequeños a más grandes), completando las celdas de derecha a izquierda y de abajo a arriba. Para que quede más claro, puedes orientarte con la imagen que te mostramos a continuación:

¿Cómo construir cuadrados mágicos?

Para construir cuadrados mágicos nosotros mismos podemos seguir varios procedimientos, de entre los cuales destacaremos dos. Cabe mencionar que cada uno se usará para crear cuadrados de diferentes tipos, por lo tanto, deberás elegir el método cuidadosamente según el cuadrado que quieras generar:

Método siamés

Este primer método es bastante sencillo, y concretamente nos sirve para construir cuadrados mágicos impares de cualquier tamaño. El procedimiento a seguir es muy simple, básicamente escribiremos el primer número de la serie en la casilla central de la primera fila. A partir de ahí, iremos subiendo por orden en la progresión aritmética que hayamos escogido, escribiendo el siguiente número hacia arriba y hacia la derecha. Aunque, si esa posición queda fuera de la casilla dibujada, entonces tendremos que movernos a la última fila o última columna. Y si nos encontramos con una casilla llena, tendremos que bajar un cuadrado respecto a la casilla del último número que hayamos puesto y después seguiremos igual.

A continuación puedes ver un ejemplo de 3×3:

Método de Strachey para cuadrados mágicos

Para generar cuadrados mágicos de orden 4k + 2 pares, usaremos este otro método, el cual está basado en el anterior (el método siamés) y también es muy sencillo. A continuación, puedes ver los pasos a seguir y un ejemplo resuelto de un cuadrado mágico 6×6:

• Dividir en cuadrantes más pequeños: lo primero que tenemos que hacer es subdividir la tabla en cuadrados más pequeños, por ejemplo si tenemos una tabla 6×6, tendremos que hacer cuatro cuadrantes iguales de 3×3 casillas.
• Usar el método siamés: después asignaremos un rango de números a cada cuadrante pequeño, por ejemplo si empezamos la secuencia por el 1, los rangos quedarían: 1-9 (primero), 10-18 (cuarto), 19-27 (segundo) y 28-36 (tercero).

Método LUX de Conway para cuadrados mágicos

Usaremos este último sistema cuando queramos generar cuadrados mágicos de orden 4n + 2, siendo n un número natural. Entonces, el procedimiento que seguiremos para crear cuadrados de este estilo es el siguiente:

• Creación de la tabla o matriz: empezaremos creando una matriz de grado 2n + 1, siendo n un número natural. Con esto, podremos diseñar la tabla y tendremos en mente el grado de esta, para después empezar con el diseño.
• Posicionamiento de las letras: una vez tengamos la tabla construida, tendremos que escribir de arriba a abajo: n + 1 filas de L, 1 fila de U y n – 1 filas de X. Y después, tendremos que intercambiar la U del medio con la L de arriba.
• Intercambio de las letras por los valores numéricos: ahora tendremos que reemplazar las letras por grupos de cuatro números consecutivos. Dependiendo de la letra daremos un orden u otro a los números. Explicado a continuación:

Empezaremos construyendo una matriz de 5×5, por lo tanto, n = 2, ya que: 2n + 1 = 2 · 2 + 1 = 5. Esto quiere decir que la matriz acabará siendo de un tamaño 10×10, porque como ya hemos dicho, cada casilla que contenga una letra equivale a un grupo de cuatro números, es decir, una matriz de 2×2. A continuación, puedes ver el ejemplo terminado, en el cual hemos ido sustituyendo cada letra por un grupo de cuatro números en el orden que se ve en la imagen:

Ejercicios de cuadrados mágicos

A continuación, te planteamos algunos cuadrados mágicos que están incompletos y tendrás que llenarlos tú, gracias a los conceptos que hemos explicado en este artículo. Recuerda que puedes usar cualquiera de los métodos enseñados. También, deberás tener en cuenta que quizás el 1 no sea el primer número de la serie, aunque, en el enunciado lo pondrá. Y cuando hayas completado alguno de los ejercicios, podrás visualizar la solución situada debajo del enunciado.

Cuadrado mágico 3×3

Construye un cuadrado mágico 3×3 solamente con números impares:

Cuadrado mágico 4×4

Completa el siguiente cuadrado mágico 4×4:

Cuadrado mágico 5×5

Completa el siguiente cuadrado mágico 5×5:

Cuadrado mágico 6×6

Completa el siguiente cuadrado mágico 6×6:

En este artículo encontrarás una explicación muy detallada sobre las funciones polinómicas, la cual está complementada con ejemplos. Además, podrás ver cómo se utilizan las funciones polinomiales en la vida cotidiana gracias a los ejercicios que te plantearemos al final.

¿Qué es una función polinómica?

Las funciones polinómicas o funciones polinomiales son unas funciones las cuales vienen dadas por una expresión algebraica equivalente a un polinomio. Esto quiere decir que la expresión deberá seguir la estructura de un polinomio: f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + … + a_nxⁿ, según la estructural del cual se determinará el tipo de función polinómica que trataremos. Otra característica muy relevante de estas funciones es que todos sus exponentes de las incógnitas son positivos y enteros.

Partes de una función polinómica

Podemos destacar tres elementos importantes respecto a estas funciones:

• Coeficientes del polinomio: son los números que acompañan a las incógnitas, por ejemplo el 3 del siguiente término es un coeficiente: 3x². Cabe destacar que hay tantos coeficientes como términos tiene el polinomio.
• Exponentes o índices del polinomio: son las potencias de las incógnitas, por ejemplo el 2 del siguiente término es un exponente: 3x². Y como ya hemos explicado, en el caso de una función polinómica siempre serán positivos y enteros.
• Grado del polinomio: este valor es equivalente al exponente de mayor grado de entre todos los términos que componen el polinomio. En el caso del polinomio f(x) = 3x² – 4x + 2, el grado es igual a dos.

¿Cómo saber si una función es polinomial o no?

Para identificar una función polinómica deberemos fijarnos en si cumple las características que acabamos de comentar. Empezaremos comprobando si la expresión que define a la función tiene una estructura polinómica: f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + … + a_nxⁿ. Y después, verificaremos que los índices sean positivos y enteros, con estos sencillos pasos podremos determinar si una función es polinomial o no.

Tipos de funciones polinómicas con ejemplos

A continuación, te mostraremos los diferentes tipos de funciones polinómicas que existen, los cuales están clasificados según el grado del polinomio. Además, encontrarás una representación gráfica de ejemplo para cada tipo. Gracias a estos ejemplos de funciones polinomiales podrás ver mejor las diferencias entre las distintas categorías.

Funciones constantes

Las funciones constantes equivalen a un polinomio de grado 0, esto quiere decir que el coeficiente de x es 0. Es por eso, que las funciones de este tipo no dependen del valor de la variable independiente x. Por lo tanto, su representación gráfica es una recta horizontal, la cual es infinita. A continuación puedes encontrar representado el ejemplo f(x) = 3:

Funciones polinómicas de primer grado

En segundo lugar, encontramos las funciones polinómicas de primer grado, las cuales vienen dadas por un polinomio de grado 1 con la siguiente estructura: f(x) = mx + n. Esta expresión está compuesta por un número llamado pendiente (m) el cual multiplica a la variable x y por una constante (n) que se suma a ese producto. Entonces, según los valores de m y n, podemos identificar tres tipos diferentes de funciones:

• Funciones afines: este subtipo se caracteriza por tener un valor de n diferente a 0, o dicho de otro modo, el valor de la ordenada es diferente a 0. Por lo tanto, este tipo de funciones no pasa por el punto (0, 0), también conocido como el origen. También comentar que si la m < 0, la función será decreciente, mientras que si la m > 0, la función será creciente.
• Funciones lineales: la única distinción que tienen estas funciones respecto a las funciones afines es que la n = 0, por lo tanto, no tienen ordenada. Como resultado, la expresión de las funciones lineales es equivalente a f(x) = mx. Este tipo es bastante fácil de representar, ya que, siempre pasa por el punto (0, 0) y a partir del pendiente ya obtienes la gráfica.
• Funciones identidad: este último tipo es un subgrupo de las funciones lineales, el cual tiene n = 0 y m = 1. Esto quiere decir que la expresión se queda f(x) = x, con lo cual la representación gráfica es una diagonal que forma un ángulo de 45º con cualquiera de los ejes. Este tipo de funciones también pasa por el punto de origen (0, 0).

A continuación, puedes encontrar un ejemplo de función polinómica de primer grado, concretamente de una función afín f(x) = 3x + 2:

Funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas o funciones de segundo grado se expresan por medio de polinomios de segundo grado, los cuales siguen la estructura: f(x) = ax² + bx + c, siendo a diferente de 0. En este caso, la representación gráfica es bastante más compleja, puesto que ya no es una línea recta, sino una parábola vertical. A continuación, puedes encontrar la representación de la función cuadrática f(x) = 2x² + 4x – 1:

Funciones cúbicas

Las funciones cúbicas o funciones de tercer grado vienen dadas por un polinomio de grado tres: f(x) = ax³ + bx² + cx + d, siendo a diferente a 0. La representación de una función de este estilo es aún más compleja que la de segundo grado, ya que, puede tener varias formas diferentes. Aunque la forma básica, o al menos la más común, es la que te mostraremos en el ejemplo siguiente, f(x) = 2x³ – 4x² + 2x – 2:

Propiedades de las funciones polinómicas

Las funciones polinómicas tienen una serie de propiedades o características que las distinguen del resto de funciones, a continuación te las detallaremos de la manera más clara posible. De esta manera, cuando veas alguna función de este tipo te será muy fácil identificarlas:

• El dominio de una función polinómica es igual a todos los números reales: Dom f = R o Dom f = (-∞, ∞), por lo tanto, son continuas en todo el conjunto de reales.
• Su punto de corte del eje Y es equivalente (0, a₀), siendo a₀ el término independiente.
• Corta por el eje X un número de veces igual o inferior al grado del polinomio.
• Las funciones polinómicas no tienen asíntotas.
• Si el exponente de todos los términos es impar, entonces la representación de la gráfica es simétrica respecto al origen de coordenada, mientras que si el exponente de todos los términos es par, esta es simétrica respecto al eje OY.
• El número de puntos de inflexión que tiene una función de este estilo es igual o menor a n – 2, siendo n el grado.
• El número de máximos y mínimos relativos que tiene una función de este estilo es igual o menor a n – 1, siendo n el grado.

¿Cómo se analiza una función polinómica?

Para analizar una función polinómica deberemos seguir el mismo procedimiento que usaríamos para analizar cualquier otra función. En la siguiente lista hemos resumido los diferentes elementos que hay que estudiar o tratar:

• Dominio y recorrido
• Puntos de corte con los ejes horizontal y vertical
• Monotonía (crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos)
• Curvatura (en las funciones de grado mayor a uno)

Evidentemente, podemos llevar el análisis a otro nivel y estudiar muchos más elementos, aunque con estos debería bastar. Ya que, conociendo estos elementos tendrás una idea clara de cómo es la función y podrás representarla gráficamente.

Ejercicios de funciones polinómicas

A continuación, te planteamos una serie de ejercicios para que practiques la representación de funciones, concretamente de funciones polinómicas. De esta manera, consolidarás todos los conceptos explicados en este artículo:

Ejercicio 1

Representa gráficamente la siguiente función polinómica de primer grado f(x) = x + 2 y di de qué tipo es:

Es una función polinómica de primer grado afín, puesto que tiene una n diferente a 0 y una m diferente a 0.

Ejercicio 2

Representa gráficamente la siguiente función polinómica de segundo grado f(x) = x² + x – 2:

Ejercicio 3

Representa gráficamente la siguiente función polinómica de tercer grado f(x) = x² + x – 2:

¿Qué son los productos notables o identidades notables?

Las identidades notables, también llamadas productos notables o igualdades notables, son unos recursos matemáticos que nos permiten resolver productos y cocientes de polinomios con más rapidez. Tal como indica la palabra identidad, se trata de igualdades que nos permiten calcular estas operaciones sin tener que resolverlas de verdad. Ya que sabemos que esa expresión sigue unas reglas fijas (que siempre se cumplen) y, por lo tanto, podemos obtener el resultado sin necesidad de verificarlo.

¿Cuándo usar una identidad notable?

Estas identidades se utilizan mayormente en el ámbito del álgebra y su función principal es agilizar la resolución de un determinado polinomio, sin tener que resolver la propia operación completa. A partir de aquí, obtenemos las fórmulas de los productos notables, las cuales las iremos comentando a lo largo del artículo. Y finalmente, podemos aplicar las fórmulas para hacer la completación de cuadrados, la factorización de polinomios o cualquier otro tipo de cálculo.

¿Cómo resolver un producto notable paso a paso?

Para poder resolver identidades notables tienes que seguir un procedimiento muy sencillo, el cual es también muy lógico:

• Identificar el tipo de identidad notable: el primer paso es identificar el tipo de operación: un producto notable o un cociente notable. También tienes que concretar qué tipo de fórmula tendrás que aplicar, aunque esto lo entenderás más adelante, una vez hayamos explicado los diferentes tipos de identidades notables.
• Aplicar la fórmula: una vez sabes qué fórmula tienes que aplicar, entonces es el momento de hacer los cálculos. Según el tipo de identidad, tendrás que resolver operaciones más o menos complejas y en la gran mayoría de las veces, esos cálculos estarán formados por términos que contengan como mínimo una incógnita.
• Simplificar la expresión: por último, cuando obtienes el resultado, tienes que simplificarlo. En este paso, tienes que agrupar los términos semejantes y ordenarlos para formar un polinomio resultante que esté bien estructurado. Cabe destacar que este paso es igual de importante que los demás, ya que de lo contrario, el ejercicio queda inacabado.

Fórmulas de las identidades notables o productos notables principales

A continuación, puedes encontrar todas las fórmulas correspondientes a las identidades notables. Además de la explicación teórica de cada caso, también hay algunos ejemplos de productos notables resueltos, gracias a los cuales entenderás mejor todos los conceptos. Cabe mencionar que en este primer apartado solamente encontrarás las identidades más importantes. Pero, según vayas leyendo este artículo aprenderás a desarrollar productos notables más complejos, como por ejemplo los que están compuestos por trinomios.

Cuadrado de una suma

El primer caso se trata del cuadrado de la suma, el cual es una expresión polinómica muy habitual en el mundo del álgebra. Este se puede encontrar escrito de la siguiente manera: (a + b)², que equivale a: (a + b) · (a + b). Por lo tanto, sabemos que se puede resolver por medio de una multiplicación de polinomios. Pero, gracias a las identidades notables, podemos ahorrar tiempo usando la siguiente fórmula: (a + b)² = a² + 2ab + b². A continuación, te mostramos la demostración de la fórmula que acabamos de ver, de esta manera, podrás entender de dónde sale y cómo se usa:

Como se puede apreciar, hemos hecho la comprobación a partir de la multiplicación de polinomios que hemos comentado previamente. Y podemos afirmar con total seguridad, que si te sabes la fórmula resultante de memoria, entonces haciendo una simple sustitución de valores puedes obtener el resultado con mayor velocidad. Por lo tanto, es un concepto matemático bastante útil. Ahora que ya sabes cómo funciona el cuadrado de una suma, te mostraremos un ejemplo resuelto:

Ejemplo del cuadrado de una suma

Calcula la identidad notable (2x + 4)²:

Básicamente, hemos asociado los valores del binomio a las letras de la fórmula y hemos resuelto: a = 2x y b = 4. Finalmente, después de resolver todos los cálculos, obtenemos el polinomio 4x² + 16x + 16, el cual es equivalente al original. En este ejemplo, hemos obtenido un polinomio desarrollado (en forma estándar) a partir de un polinomio reducido.

Cuadrado de una resta

Otra expresión muy común es el cuadrado de la resta, la cual es muy similar al cuadrado de una suma, sencillamente cambia por un signo. Entonces, la estructura del binomio equivale a: (a – b)², y si lo desplegamos obtenemos: (a – b) · (a – b). Igual que en el anterior caso, este se puede calcular a partir de una multiplicación de polinomios, aunque también tiene una fórmula que facilita la resolución: a² – 2ab +b². A continuación, puedes encontrar la demostración empírica de esta:

Para simplificar la resolución del cuadrado de una diferencia, podemos usar la misma fórmula que usamos para la suma de un cuadrado, pero con el primer signo en negativo. Este mínimo cambio nos permite adaptar la expresión a binomios compuestos por un término positivo y otro negativo, con lo cual nos sirve para restas. Ahora te mostraremos un ejemplo resuelto:

Ejemplo del cuadrado de una resta

Calcula la identidad notable (x – 3)²:

Como puedes ver en la resolución del ejemplo, hemos sustituido los valores de nuestro binomio en la fórmula, a = x y b = 3. Por lo tanto, usando la fórmula que hemos explicado previamente, solamente hemos tenido que hacer la sustitución y algún cálculo muy básico. Esto nos permite ver la facilidad con la que se puede calcular el cuadrado de una diferencia con esta expresión.

Diferencia de cuadrados o suma por diferencia

El tercer caso de productos notables se llama diferencia de cuadrados, este está formado por el producto de un binomio positivo y un binomio negativo. Una expresión de este estilo tiene la siguiente estructura: (a + b) · (a – b), con lo cual si desarrollamos este producto obtenemos la fórmula que nos facilita el cálculo: a² – b². Como se puede ver, es una fórmula muy sencilla, aunque para entenderla bien hay que desarrollar todos los cálculos:

Ejemplo de la suma por diferencia

Calcula la identidad notable (x + 1) · (x – 4):

En esta ocasión, el cálculo numérico es muy fácil, de hecho solamente hemos tenido que resolver una potencia. Aunque es cierto, que esta fórmula solo es aplicable cuando los binomios tienen el mismo término principal y el mismo término independiente, pero con signo cambiado. Por lo tanto, esta identidad es importante, pero no es la que más vas a utilizar.

Producto de dos binomios con término común

En este cuarto caso, se nos plantea una situación muy similar a la anterior, aunque con una leve modificación en la estructura. Observa la diferencia que te mostramos: (x + a) · (x + b) y (a + b) · (a – b). Por si aún no la ves muy clara, toma en cuenta el siguiente ejemplo: (x + 4) · (x + 5) y (x + 4) · (x – 4). En el primer caso (el producto de dos binomios con término común) solo hay un único término compartido, mientras que en el segundo caso (la suma por diferencia) los dos términos son comunes, pero el término independiente está cambiado de signo. Dicho esto, vamos a ver con qué fórmula podemos actuar:

Ejemplo del producto de dos binomios con término común

Resuelve el producto notable (x + 2) · (x + 3):

Usando la fórmula de x² + (a + b)x + ab llegamos a calcular el polinomio de segundo grado resultante de la multiplicación de los dos binomios. Esperamos que gracias a este ejemplo hayas entendido la diferencia entre los dos últimos casos que hemos explicado, ya que, a veces puede ser complicado distinguirlos.

Cuadrado de un trinomio

Cuando tratamos de calcular el cuadrado de un trinomio también tenemos un producto notable que nos facilita la vida. Esta expresión se representa así: (a + b + c)² y el producto equivalente es: a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc. Cabe destacar que esto es válido en el caso de tener un trinomio positivo, pero si alguno de los coeficientes son negativos, entonces simplemente hay que escribir el valor en negativo dentro de la fórmula. A continuación puedes encontrar la demostración de la fórmula:

Ejemplo del cuadrado de un trinomio

Calcula la identidad notable (2x + 1 + x²)²:

Fórmulas de las identidades notables o productos notables al cubo

Ahora que ya hemos explicado las identidades notables principales, vamos a ver sus derivadas, empezando por los binomios al cubo. Para poder calcular productos notables de este estilo, tendremos que recurrir a unas fórmulas un poco más complejas, pero que siguen una estructura similar a las de los que ya hemos comentado.

Binomio al cubo

El cubo de un binomio se escribe de la siguiente manera: (a + b)³ y (a – b)³, esta expresión es equivalente a la siguiente fórmula: (a³ + 3a²b + 3ab² + b³), y (a³ – 3a²b + 3ab² – b³). Estos dos casos se llaman cubo de una suma y cubo de una resta, ya que son binomios elevados al cubo. A continuación, puedes encontrar una demostración de cada caso muy detalladas:

La clave para entender esta primera demostración es entender que (a + b)³ es equivalente a: (a + b)² · (a + b). De esta manera, usamos la fórmula del cuadrado de una suma, que hemos explicado previamente para multiplicar al otro factor. Después, sencillamente simplificamos la expresión, y obtenemos la identidad notable correspondiente: a³ + 3a²b + 3ab² + b³. En el caso del segundo ejemplo pasa lo mismo, pero, con algún cambio de signo.

Ejemplo del cubo de un binomio

Resuelve la identidad notable (x + 3)³:

Empleando la fórmula que acabamos de comentar podemos calcular el polinomio, teniendo en cuenta que: a = x y b = 3. Como puedes ver, el procedimiento es muy fácil y no tiene muchas complicaciones en el cálculo, esto se debe a que tenemos la fórmula. De lo contrario, tener que hacer una multiplicación tan larga como esta sería bastante cansino.

Suma de cubos y diferencia de cubos

También tenemos este otro caso, el cual se puede confundir fácilmente con el anterior. Aunque, ambos casos se escriben de una manera diferente, y no son equivalentes. La expresión equivalente a la suma o diferencia de cubos es: a³ + b³, mientras que en el anterior caso estábamos hablando de: (a + b)³. Como se puede ver, hay una similitud innegable en la estructura de la expresión, pero en realidad, a la hora de desarrollar el cálculo son dos casos totalmente distintos:

En la demostración de la fórmula obtenemos la factorización del primer polinomio, concretamente estamos pasando del binomio inicial al producto de un binomio por un trinomio. Parece que el resultado obtenido (a + b) · (a² – ab + b²), no nos simplifica el cálculo en nada, pero en realidad, al factorizar el polinomio obtenemos una expresión muy fácil de entender.

Ejemplo de la suma de cubos

Calcula el producto notable x³ + 27:

En este caso, el resultado que obtenemos es bastante largo, ya que no se puede simplificar más. Pero, es normal llegar a esta expresión, de hecho, en estos casos solamente puedes obtener un resultado con la estructura equivalente al producto de un binomio por un trinomio, como en este ejemplo.

Trinomio al cubo

El cubo de un trinomio se escribe: (a + b + c)³, lo cual es equivalente a multiplicar tres trinomios idénticos, pero, sin exponente: (a + b + c) · (a + b + c) · (a + b + c). Este es el producto notable más complejo que hay, aunque la fórmula es bastante lógica y se obtiene igual que todas, cuando realizas las multiplicaciones de polinomios correspondientes. A continuación, puedes encontrar la demostración de la fórmula de esta identidad notable:

Ejemplo del cubo de un trinomio

Resuelve el cubo de trinomio siguiente (x² + 3x – 4)³:

Cocientes notables

Por último, explicaremos los cocientes notables, los cuales vienen a ser identidades notables que nos permiten resolver rápidamente determinados tipos de fracciones algebraicas. Concretamente, hay cuatro tipos diferentes, los cuales comparten una característica: su resultado está formado por polinomios exactos (con resto igual a cero). También cabe mencionar que las fórmulas de los cocientes notables guardan cierta relación con las fórmulas de los productos notables que ya hemos explicado.

Ejemplo de cocientes notables resueltos

Calcula los cocientes notables siguientes:

Ejercicios de productos notables resueltos

Ahora que ya sabes cómo se resuelven los diferentes productos notables, es hora de que practiques un poco. Es por eso que te proponemos 6 ejercicios para que apliques toda la teoría explicada. Y te mostramos una tabla de las principales identidades notables, para que la tengas a mano mientras resuelves todos los ejercicios:

Ejercicio 1

Resuelve los cuadrados de binomio (x – 4)², (x + 1)² y (x – 3)²:

Ejercicio 2

Calcula las dos diferencias de cuadrados (x – 1) · (x + 1) y (x + 3) · (x – 3):

Ejercicio 3

Desarrolla los productos notables al cubo (x – 5)³ y (x + 8)³:

Ejercicio 4

Desarrolla las identidades notables formadas por términos con varios factores (4x² + 5y)², (5x³ + y²) · (5x³ – y²) y (5xy² – 2xy)²:

Ejercicio 5

Calcula los productos notables al cubo formados por términos con varios factores (3x² + y)³ y (5y³ – 2x²)³:

Ejercicio 6

Resuelve los cuadrados de trinomios (2x² + 3x + 5)² y (3x² + 5x + 6):