Explicaciones matemáticas

Etimológicamente, cuaterniones o cuaternios proviene del latín quaterni.  En español, el vocablo se traduce como “por cuatro”. Sin embargo, su interpretación quiere decir “número de cuatro elementos».

Los cuaterniones son elementos de un cuerpo no permutante creados inicialmente por William Rowan Hamilton. Se define como cuaterniones a la extensión de los números reales que componen una numeración hipercompleja. De hecho, son bastante parecidos a los números complejos.

Es decir, los cuaterniones ocurren debido a una amplificación causada analógicamente. En cambio, los números complejos se producen como una prolongación de números reales por la suma de la unidad imaginaria i, por ende, i al cuadrado es igual a -1. En el primer caso, se añaden las unidades imaginarias k, i y j a los números reales.

Por lo tanto, con relación a los cuaterniones tenemos que: i² = j² = k² = ijk = -1. Esta representación corresponde a los dispuestos en la tabla de Cayley. En este punto cabe mencionar que, i, j, k y 1 son los cuatro pilares fundamentales de los cuaternios.

William Hamilton inventó los cuaterniones en 1843 como un método que le permitía multiplicar y dividir vectores, rotarlos y estirarlos.

¿Cómo se componen los cuaterniones?

Los cuaterniones forman un álgebra encantadora en la que cada uno de sus objetos contiene 4 variables. De hecho, a veces son conocidas como parámetros de Euler que no deben confundirse con los ángulos de Euler. Estos objetos se pueden sumar y multiplicar como una sola unidad de manera similar al álgebra de números habitual.

Sin embargo, hay una diferencia. En términos matemáticos, la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa.

Los cuaterniones tienen 4 dimensiones. Cada cuaternión consta de 4 números escalares, una dimensión real y 3 dimensiones imaginarias. Cada una de estas dimensiones imaginarias tiene un valor unitario de la raíz cuadrada de -1. Sin embargo, son diferentes raíces cuadradas de -1 todas perpendiculares entre sí, conocidas como i, j y k. Entonces, un cuaternión se puede representar de la siguiente manera:

x = (a, b, c, d) lo que se escribe x = a + bi + cj + dk

De acuerdo con lo anterior, a, b, c y d representan números reales inequívocamente definidos por cada cuaternión.  Por su parte, los números 1, i, j y k son básicos. Si queremos representar los cuaterniones por medio de un conjunto, podemos hacer lo siguiente: Suponiendo el IR⁴ representa el conjunto, la expresión es: IR4= {a + bi + cj + dk: a, b, c, d ∈ IR}

Este conjunto es consecuente con el espacio real de cuatro dimensiones. Del mismo modo que un conjunto de números reales concuerda con el espacio existente en una dimensión y el conjunto de números complejos coincide con el espacio dimensional doble.

¿Cuál es la estructura algebraica de los cuaterniones?

Un cuaternión ejemplifica un cuerpo irregular. Esto quiere decir que se trata de una estructura algebraica similar a un cuerpo. Sin embargo, no es conmutativo en la multiplicación. Dicho de otra manera, cumple con todas las cualidades de un cuerpo, pero su resultado no es conmutativo.

La multiplicación de cuaterniones es asociativa. Además, todo cuaternión no nulo cuenta con un único inverso. Los cuaterniones no constituyen un álgebra asociativa en relación con los números complejos.

Finalmente, de igual manera que los números complejos y los números reales, representan dimensiones vectoriales euclídeas de espacios unitarios o dobles, consecuentemente, los cuaterniones  crean un área vectorial euclídea de cuatro dimensiones.

¿Cómo se representan los cuaterniones en matrices?

Las representaciones matriciales también son propias de los cuaterniones. En este caso, se aplican matrices matemáticas para su expresión. Por ejemplo, si tenemos el cuaternión p = a + bi + cj + dk es posible representarlo en una matriz compleja de 2 x 2 del siguiente modo:

Otra forma de usar las representaciones matriciales en los cuaterniones es por medio de matrices reales de 4 x4. Adicionalmente, al uso de matrices para representar cuaterniones, es posible expresarlos como el producto interno de dos vectores. Siendo así, un componente sería:  = (a1, a2, a3, a4) y el otro {1, i, j, k}.

En este supuesto, el elemento a₁ que genera el componente real se escribe separado. Además, para el producto interno se toman en cuenta únicamente las tres bases i, j, k:

x = (a1,  a) = (a1, a2, a3, a4)

¿Qué operaciones básicas se pueden hacer con cuaterniones?

Para sumar y obtener un producto entre un cuaternión y otro, se aplica la aritmética de los números complejos. Esto funciona de igual modo que en el caso del conjunto anterior IR⁴. Es decir, dicho conjunto más el resto de operaciones, compensa todas las cualidades de un cuerpo. La única relevancia en este caso es que el producto no conmuta.

En el caso de la suma, se lleva a cabo término a término. En todo caso, funciona de un modo parecido al de los números complejos. Es decir:

(a1 + b1i + c1j + d1k) + (a2 + b2i + c2j + d2k) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)k.

Para el producto se aplica de componente a componente. De acuerdo con esto, queda de la siguiente manera:

ab = (a1b1 – a2b2 – a3b3 – a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 – a4b3)i + (a1b3 – a2b4 + a3b1 – a4b2)j + (a1b4 + a2b3 – a3b2 + a4b3)k

Como ya destacamos antes, el producto de cuaterniones nunca es conmutativo. Al contrario, siempre es asociativo. Las operaciones elaboradas con anterioridad pueden llevarse a cabo reemplazando las representaciones.

¿Qué aplicaciones tienen los cuaterniones?

Un cuaternión va mucho más allá de una investigación matemática. Actualmente, poseen diversas aplicaciones. En primer lugar, sirven para comprobar respuestas en la teoría de números. Un ejemplo de esto es el teorema de Lagrange que expone que cualquier número natural se expresa como la sumatoria de 4 cuadrados perfectos.

Por otro lado, tiene aplicaciones en el campo de la física. Los cuaterniones son muy útiles para la mecánica cuántica, el electromagnetismo y mucho más.

La lógica teorética, simbólica o lógica matemática es justamente el estudio de la lógica por medio de la interpretación de símbolos. Tiene que ver con el uso de diversas técnicas que enlazan la lógica convencional con el razonamiento matemático. La investigación de este campo, ha sido determinante para el estudio de los principios de la matemática como tal.

La lógica matemática se relaciona con la cualidad que tenemos para trabajar y razonar en términos numéricos. Asimismo, se basa es la posibilidad de aplicar razonamiento matemático lógico en distintos contextos.

Sin embargo, cuando hablamos de este tipo de lógica, cabe destacar que va mucho más allá. Es decir, no solo tiene que ver con la capacidad numérica. Además de esto, la lógica en las matemáticas nos ayuda a comprender ciertas definiciones de mejor forma.

Adicionalmente, a determinar conexiones con base en la lógica de manera técnica y esquemática. Todas las personas tienen la posibilidad de usar lógica matemática en distintos ámbitos. No obstante, el nivel de capacidad tiene que ver con la estimulación que cada uno de estos reciba.

Como en casi cualquier actividad, la inteligencia lógico matemática también se entrena. La estimulación oportuna es clave para adentrarse en este mundo de la mejor manera posible.

¿Cuál es la importancia de la lógica matemática?

La lógica estudia el modo en que razonamos. Dicho de forma más simple se trata de una disciplina que define si un argumento tiene o no validez. Para esto, emplea ciertas técnicas y reglas.

La finalidad de la lógica matemática es el cuestionamiento de las conceptualizaciones matemáticas. Además, la discusión de las reglas deductivas que se aplican en la matemática. Gracias a esto, es posible constituir una matemática real desde el punto de vista lógico.

Con la matemática desarrollamos teoremas y suponemos respuestas que se usan en investigaciones. Por ejemplo, se utiliza para cálculos geométricos, de álgebra y en cualquier solución de problemas.

En líneas generales, la lógica forma parte de la cotidianeidad. La mayoría de actividades que llevamos a cabo necesitan de lógica matemática. Si pintas una pared, por ejemplo, hay un procedimiento lógico a seguir.

No es adecuado empezar a pintar sin haber preparado previamente la pintura. Además, se considera si quien pinta es derecho o zurdo. Estos factores lógicos simplifican el proceso. Esto funciona igual para todos. El desarrollo de pensamiento lógico matemático es fundamental para entender las matemáticas como tal.

Sobre todo, en edad temprana. Cuando un niño es estimulado en relación con la lógica matemática, tiene la capacidad de usar de forma casi espontánea los cálculos e hipótesis en distintos escenarios. Algunas de las razones por las cuales es necesario desarrollar la lógica matemática son las siguientes:

• Desarrollo de la inteligencia y aspectos evolutivos del pensamiento.
• Mayor probabilidad de solucionar conflictos en distintos escenarios de la cotidianeidad. Esto pues, resulta más simple generar pronósticos e hipótesis.
• Permite establecer metas claras sobre la vida. Además, favorece la construcción de un plan de acción para alcanzar objetivos.
• Suministra sentido y estructura al modo en que se llevan a cabo las cosas y la toma de decisiones.

La estimulación infantil de la lógica matemática permite que la inteligencia matemática se desarrolle de forma simple. Gracias a esto, el niño involucra en su vida diaria aspectos relacionados con la lógica.

¿Qué tipos de lógica matemática existen?

La lógica matemática está dividida en cuatro grandes grupos. El primero de estos se conoce como teoría de conjuntos. Seguidamente, tenemos la teoría de modelos y la teoría de la demostración. Por último, se encuentra la teoría de la computabilidad.

Tanto la teoría de modelos como la de demostración son el origen de la lógica matemática como se conoce en la actualidad. Por su parte, la teoría de conjunto debe su origen a la investigación del infinito que estuvo a cargo de Georg Cantor. De hecho, este tema trajo a lugar las investigaciones más relevantes en torno a la lógica matemática.

Gracias a lo anterior, es posible hablar en la actualidad de temas como la hipótesis del continuo, el axioma de elección y mucho más. La lógica matemática se vincula en gran medida con la computación. De hecho, la teoría de la computabilidad expresa la computación de una manera matemática.

Actualmente, esta teoría se hace cargo del análisis de problemas complejos. Es decir, en la proposición de si realmente un problema tiene solución razonable o no. La lógica matemática analiza también la conceptualización de elementos matemáticos y nociones como números, algoritmos y conjuntos.

• Teoría de modelos: en términos matemáticos, esta teoría se enfoca en el análisis de estructuras matemáticas como grafos con respecto a la lógica matemática. La teoría de modelos interpreta semánticamente cualquier tipo de expresión formal. Por otra parte, ayuda con el estudio de los axiomas.
• Teoría de computabilidad: esta teoría estudia las complejidades en la toma de decisiones que tienen resolución por medio de algoritmos. Dicho en palabras simples, esta teoría estudia la computación desde la perspectiva matemática.
• Teoría de conjuntos: también forma parte de la lógica matemática y analiza el nexo entre los conjuntos, así como también, las propiedades de los mismos. Esta teoría es capaz de elaborar estructuras importantes en el ámbito de la matemática. Por ejemplo, construye funciones, números y figuras geométricas.
• Teoría de demostración: esta teoría, usa la demostración como una estructura matemática. Gracias a esto, es mucho más sencillo el estudio de las mismas por medio de técnicas matemáticas. La teoría de demostración se hace cargo de la sintaxis con respecto a la teoría de modelos.

¿Cuáles son las características de la inteligencia lógico matemática?

• La matemática y la lógica no siempre coinciden en el mismo punto. Es decir, alguna de las dos puede ser superior o inferior en un momento dado.
• La lógica y la matemática se relacionan con aspectos del pensamiento lógico como la capacidad para argumentar, la capacidad de deducción y argumentativa. Además, se enlazan con aspectos propios de la matemática, tanto en simbología como en capacidad numérica. Todo esto para solucionar problemas de manera lógica.
• La manera en que las personas aprenden la lógica matemática tiene que ver con el uso de sus cualidades. Es decir, la capacidad para resolver problemas matemáticos, utilizar objetos abstractos, justificar un argumento de forma lógica…
• El aprendizaje de la lógica matemática surge en la infancia. En tal sentido, las primeras señales del pensamiento lógico matemático se evidencian a temprana edad. Las mismas avanzan con el crecimiento y la estimulación. Las capacidades suelen mejorar a medida que usamos nociones cada vez más complicadas.

¿Qué fundamentos algebraicos se aplican en la lógica matemática?

Gran parte de la lógica matemática se relaciona con la utilización de fundamentos algebraicos para estudiar objetos lógicos. Estos aspectos son las proposiciones y las clases. Por un lado, la proposición se refiere al sentido razonable. Sin embargo, por otro lado, supone la verdad (V) o mentira (M).

Una proposición se trata de una expresión que puede ser mentira o verdad, pero nunca puede ser las dos al mismo tiempo. En tal sentido, las proposiciones «2 x 2= 4» y «3 x 3 = 9» demuestran un sentido distinto. Sin embargo, las dos establecen una verdad (V).

El álgebra en la lógica matemática analiza las proposiciones solo desde lo que significan. No obstante, hay un aspecto particular. Solo se consideran semejantes las que tienen el mismo significado de verdad.

El álgebra lógica usa el simbolismo lógico. Adicionalmente, a los símbolos de las proposiciones, se utiliza simbología para las operaciones. Es decir, en el caso de implicaciones, conjunciones, negaciones, entre otras. Con ello, el álgebra de la lógica matemática constituye expresiones teniendo otras como referencia.

Se considera que una expresión está compuesta cuando nace de la combinación de operaciones lógicas de álgebra. En caso opuesto, se considera simple. Para entender mejor, tenemos algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas.

s: la tierra es redonda.

f: 15 + 10 = 50

t: Brasil ganará el mundial Qatar 2022

u: Hola, ¿Cómo estás?

v: apaga la luz por favor

Los ejemplos s y f pueden ser verdad o mentira. Por ello, se consideran proposiciones válidas. La proposición t se expresa correctamente. Sin embargo, para confirmar si es verdadera o falsa, hay que esperar que termine el Mundial de fútbol (al menos a la fecha de publicación de este artículo). No obstante, las proposiciones u y v no son válidas.

El motivo de esto, es que no pueden ser verdaderas o falsas. La primera expresión es solo un saludo y la segunda una indicación u orden.

¿Cómo se utiliza la lógica matemática en la cotidianeidad?

Las matemáticas están en todas las actividades que llevamos a cabo. Son útiles en muchos aspectos de la vida. Cuando se trata de lógica matemática, hay distintos modos de aplicarla. Por ejemplo, en el manejo del presupuesto familiar, en la realización de actividades deportivas, en las compras, en la preparación de recetas y mucho más.

¿Cómo estimular la lógica matemática en los niños?

Como bien destacamos antes, la estimulación temprana es fundamental para un buen desarrollo del pensamiento lógico matemático. Sin embargo, es importante que cada etapa de aprendizaje se realice en función de las capacidades del niño. Así como también, en base a su edad. En tal sentido, hay ciertos parámetros claves a seguir como, por ejemplo:

1. Incentivar en los niños y niñas la interacción con diversos objetos que estimulen la lógica matemática. Sin duda, este aspecto permite que cada niño descubra los atributos de cada objeto. Además, analice por cuenta propia sus diferencias y similitudes. Este proceso favorece el razonamiento espontáneo.
2. Clasificar los objetos según sus tipos y características por medio de actividades. Seriar objetos iguales o distintos es de gran ayuda para establecer patrones de forma lógica. Por ejemplo, ubicar en un mismo lugar cubos de un color en específico.
3. Mostrar la reacción de ciertas cosas es situaciones comunes. Es decir, permitir al niño experimentar los cambios que un elemento u objeto determinado tiene ante una acción. Para entender mejor, es posible tomar como ejemplo el punto de ebullición de agua cuando se hierve.
4. Encontrar espacios idóneos para estimular la concentración. Además de experimentar, el niño necesita estar en un ambiente que le permita observar y concentrarse. Solo de esta forma es posible conseguir el pensamiento lógico matemático.
5. Usar juegos que necesiten de lógica matemática. La elección de los juguetes es fundamental en este punto. Lo más recomendable es utilizar juguetes de estimulación como adivinanzas, memoria, sudokus, juego de cartas, dominó, entre otros.

¿Cuándo nace la lógica matemática?

La lógica matemática tiene una historia evolutiva bastante interesante. A decir verdad, desde el año 6.000 a.C hasta el año 300 a.C ya se hablaba de la matemática de manera formal. Sin embargo, en la Edad Media fue cuando realmente logró imponerse ante la religión.

Los actores más importantes que marcaron el inicio de la lógica matemática fueron Aristóteles, Euclides y Platón.

Ahora bien, por primera vez en la historia el cálculo lógico se dio a conocer gracias a Leibniz. No obstante, como una disciplina única, la lógica matemática, se estructuró a mitad del siglo XIX. Esto fue posible gracias al trabajo de investigación de Boole. A partir de este momento, empieza lo que se conoce como álgebra de la lógica.

Otro factor que tuvo que ver con el surgimiento de la lógica matemática, se ubica al terminar el siglo XIX debido a la necesidad de la matemática en relación con la argumentación de sus conceptualizaciones y formas demostrativas. En las fuentes más importantes están las investigaciones de Frege.

Para aquella época, se definen los sistemas lógicos primordiales de la lógica de la matemática actual. Estos son el cálculo del predicado y el cálculo del enunciado. Ambos, como bien expresamos antes, determinan el estado actual de la lógica matemática.

La etapa que sigue a las investigaciones, se asocia más con los distintos tipos de cálculos lingüísticos, la relación con aspectos semánticos y, en líneas generales, con todo lo vinculado con la metalógica.

La teoría de conjuntos es uno de los cuatro elementos de la lógica matemática. Dicha teoría analiza la agrupación de elementos estudiando sus cualidades y las conexiones entre los objetos que constituyen el conjunto.

Cuando hablamos de conjuntos, en esta teoría, nos referimos a grupos abstractos de estructuras que tienen una característica semejante. En esta teoría se efectúan operaciones como intersección, complemento, diferencia y unión con los objetos que crean el conjunto como tal.

Dicho de un modo más simple, la teoría de conjuntos es una rama de la matemática basada en el conjunto. Por ello, evalúa todas las propiedades que tiene cada elemento, así como las conexiones que se producen entre los mismos.

Como bien hemos explicado antes, los conjuntos no son más que grupos de objetos. Es decir, pueden tratarse de símbolos, palabras, números, figuras geométricas, letras, entre otros.

¿Qué tipos de conjuntos existen?

De acuerdo con la cantidad de objetos que contenga un conjunto, se clasifican de distintas formas. Estas son las siguientes:

• Conjuntos finitos: son todos aquellos que tienen una cantidad común de elementos. Por ejemplo, el conjunto de días de la semana, el conjunto de letras vocales, entre otros.
• Conjuntos infinitos: contienen una cantidad infinita de objetos. Por ejemplo, los números reales.
• Conjunto universal: agrupa a todos los objetos tenidos en consideración en un caso particular. Por ejemplo, si se quiere usar el conjunto numérico de un dado, el conjunto universal es U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Conjunto vacío: es el conjunto que no cuenta con elementos. Por ejemplo, el conjunto de meses del año que tienes 27 días.

¿Cuáles son los métodos para definir un conjunto?

Para definir un conjunto, se establece, en primera instancia, un aspecto común de los elementos del grupo. Por ejemplo, un primer conjunto que tiene números enteros positivos, pares menores a 20. Esto se vería de la siguiente manera:

A= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}.

A partir de ahí, para definir un conjunto se puede recurrir a dos métodos. El primero de ellos se conoce como método de numeración o extensión. Y el segundo, se denomina método de descripción. En el primero, se enlistan específicamente los elementos del conjunto, mientras que en el segundo, se parte de la propiedad que deben cumplir los elementos.

El primer sistema es muy útil para describir conjuntos que contienen pocos elementos, a continuación te mostramos un par de ejemplos:

Lanzar dados comunes M= {1, 2, 3, 4, 5, 6} (Finito).

Las vocales que están en el alfabeto G= {a, e, i, o, u} (Finito).

Mientras que el segundo método es más práctico para definir conjuntos con una gran cantidad de elementos, o conjuntos infinitos. Seguidamente, te enseñamos un par de ejemplos:

Todos los números naturales menores que 32 S = {x ∈ ℕ | x < 32} (Finito).

Todos los números naturales N = {x ∈ ℕ} (Infinito).

¿Qué son los conjuntos numéricos?

Básicamente, se conocen como conjuntos numéricos a la categorización en la que se ubican los números. Esto en relación con las características de cada uno de ellos. Es decir, si por ejemplo un número cuenta con decimales o si tiene un signo negativo.

Los conjuntos numéricos son todos y cada uno de los números con los que contamos para llevar a cabo distintas operaciones matemáticas. Esto se aplica tanto en el ámbito cotidiano como en escenarios más complejos como la ciencia o la ingeniería.

Estos conjuntos surgen a partir de creaciones de la mente humana. Por ello, se constituyen dentro de lo abstracto. Dicho de otra forma, los conjuntos numéricos no existen en términos materiales. Los conjuntos numéricos se dividen a su vez en varios tipos de números.

• Números naturales: son los que todos usamos para contar. Se prolongan hasta el infinito y toman fracciones pequeñas de una unidad. Formalmente, el conjunto de números naturales es expresado con la letra N y del siguiente modo: ℕ = {1, 2, 3 …} = ℕ \ {0}
• Números enteros: estos números abarcan los números naturales. Además, todos los números que ocupan fracciones circunspectas, pero que poseen un signo negativo delante. Asimismo, se añade el cero también. Se pueden expresar del siguiente modo: ℤ = {…, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}. En este conjunto, cada uno de los números tiene su equivalente con el signo opuesto. Es decir, el opuesto del 8 es – 8.
• Números racionales: los números racionales abarcan los números que se expresan como cociente de dos números enteros y a todos los números enteros. Esto quiere decir que pueden tener un número decimal sin problema alguno. Este conjunto se podría expresar de la siguiente manera: ℚ = ℤ/ℤ.
• Números irracionales: estos números no se expresan como cociente de dos números enteros. Además, no se especifican en una sección periódica que se prolonga, pese a que se extienden infinitamente. Es necesario tener claro que los números irracionales y los racionales, forman parte de conjuntos diferentes. Por ello, no tienen una característica común. Un ejemplo de número irracional es: √123. 11.0905365064.
• Números reales: estos números agrupan a los números racionales y a los irracionales. Esto quiere decir que este grupo abarca números desde el menos infinito hasta el infinito.
• Números imaginarios: estos números se obtienen como resultado de la multiplicación de la unidad imaginaria por cualquier número real. La unidad imaginaria se traduce en la raíz cuadrada de – 1. Estos números no tienen relación alguna con los números reales. Se expresan de la siguiente forma: p= r * s. En este caso: p es un número imaginario, r es un número real y s es la unidad imaginaria.
• Números complejos: los números complejos incluyen una parte imaginaria y otra parte real. Su estructura se expresa de la siguiente manera: v + ri. En este caso: v es un número real, r es la parte imaginaria, i es la unidad imaginaria

¿Qué es la unión de conjuntos?

Se puede considerar, que la unión de conjuntos no es más que una operación binaria que se realiza en el conjunto de todos los conjuntos internos de un U. Entiéndase por operación binaria a aquella que depende del operador y de dos argumentos para que haya un cálculo en particular.

En tal sentido, a cada par de conjuntos A y B que forman parte de U se les asocia otro conjunto (A U B) de U. Por ello, si A y B son dos conjuntos separados, la unión de conjuntos se expresa del siguiente modo: A= {Luis, Carlos}, B={Carla, Luisa, Paola}; AUB={ Luis, Carlos, Carla, Luisa, Paola}.

¿Qué es la intersección de conjuntos?

La intersección de conjuntos se trata de una operación que deriva en otro conjunto con objetos repetidos o frecuentes a los conjuntos originales. En el caso de que ocurra una intersección de conjuntos vacía, se define como disjuntos. En este caso, se expresa de la siguiente forma: S ∩ D = Ø.

El símbolo ∩ en esta operación responde a la intersección. Para entender mejor, veamos el siguiente ejemplo:

M= {Verde, negro, blanco, morado}.

J = {Negro, verde, rosado, azul}.

En este caso: M ∩ J = {verde, negro} debido a que son los objetos que se repiten en los dos conjuntos iniciales.

¿Qué es la diferencia de conjuntos?

La diferencia de conjuntos es la tercera operación que forma parte de la teoría de conjuntos. Se define como la operación que hace posible la obtención de un conjunto nuevo a partir de los objetos de A que no estén contenidos en B. Por ejemplo:

A = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.

B = {2, 4, 6, 8}.

Entonces, la diferencia de conjuntos se obtiene de los elementos que forman parte del conjunto A, pero no del B. Esto se traduce en {10, 12, 14}.

¿Qué es el complemento de un conjunto?

Se define como complemento de un conjunto a todos los objetos del U que no forman parte del conjunto. Es decir, se trata de un conjunto que tiene elementos que no constituyen al conjunto original. Para entender mejor este concepto, es fundamental saber los objetos que se usan, o de otra manera el tipo de conjunto universal.

Es decir, si por ejemplo estamos hablando de números primos, el conjunto complementario es el de los números no primos. Al mismo tiempo, el conjunto de números primos es el complemento de los números no primos.

¿Qué es la diferencia simétrica entre los conjuntos?

La diferencia simétrica de los conjuntos es un conjunto cuyos objetos forman parte de un conjunto inicial, sin tener nada que ver con los otros dos conjuntos al mismo tiempo. Si ejemplificamos esta operación de la teoría de conjuntos tenemos lo siguiente:

{1, 2, 3} y {2, 3, 4, 6, 9, 8} = la diferencia simétrica sería {1, 4, 6, 9, 8}.

¿Qué es el diagrama de Venn?

Los gráficos que forman parte del diagrama de Venn, son todos aquellos expresados por una línea continúa cerrada. Es decir, óvalos, triángulos, círculos, entre otros. Por lo general, el conjunto universal se expresa como rectángulo. El resto de conjuntos se expresan geométricamente con círculos u óvalos.

Es importante tener presente que este diagrama no supone una evidencia matemática. No obstante, es útil para intuir sobre el nexo que hay entre un conjunto determinado y otro.

¿Dónde se aplica la teoría de conjuntos?

Los campos de aplicación de la teoría de conjuntos son muchísimos. Se usa principalmente en la formulación de bases lógicas geométricas. Sin embargo, tiene otras aplicaciones como la topología. En líneas generales, esta teoría es relevante en la ciencia, la matemática, la física, la biología, la química y hasta la ingeniería.

Para entender mejor la lógica matemática, es esencial conocer bien este elemento de la misma, la teoría de conjuntos es una de las más importantes. Además, no solo tiene aplicación dentro de la matemática, como bien hemos expuesto antes.

¿Cómo se habla de la teoría de conjuntos en el lenguaje común?

La teoría de conjuntos es parte fundamental de la matemática. Sin embargo, también tiene que ver con ámbitos más cotidianos que operacionales. Es decir, no siempre se trata de conjuntos numéricos. En el lenguaje tradicional, referirse a un conjunto resulta un tanto más complejo.

El motivo de esto es que, si deseamos constituir un conjunto de los pintores más destacados, por ejemplo, las percepciones serán variadas. Por ello, el consenso es prácticamente imposible. En resumen, no es tan sencillo determinar quiénes están o no en el grupo en función de sus cualidades.

Algunos de estos conjuntos particulares son los que se definen como conjuntos vacíos o que no tienen elementos. También, podríamos estar en presencia de conjuntos de un solo elemento o unitarios.

¿Cuál es la historia de la teoría de conjuntos?

La teoría de conjuntos surge debido a las investigaciones del alemán Georg Cantor. Este personaje fue un reconocido matemático. De hecho, hasta la fecha se le conoce como el padre de esta teoría. Entre las investigaciones más relevantes del investigador se encuentran los conjuntos numéricos e infinitos.

La primera investigación de Cantor relacionada con la teoría de conjuntos se ubica en el año 1874. Adicionalmente, es importante mencionar que su trabajo se mantuvo relacionado con las investigaciones de Richard Dedekind, un importante matemático de la época. Incluso, este último, tuvo un rol fundamental en la investigación de los números naturales.

¿Qué importancia tiene la teoría de conjuntos?

El estudio de esta teoría es esencial para el análisis de la probabilidad, la matemática en todo lo que respecta a ella y la estadística. Cada una de las operaciones que forman parte de esta teoría se usan para efectuar experimentos a fin de obtener un resultado específico.

Las respuestas siempre tienen que ver con las circunstancias en que se lleva a cabo el experimento. Por ello, los conjuntos juegan un papel fundamental en este tipo de investigaciones.

Un polinomio es una expresión algebraica que consiste en la suma de términos. Los términos se pueden separar en dos partes: el coeficiente y la incógnita. La incógnita está elevada a un exponente natural y a su vez, está multiplicada por el coeficiente. Estos términos deben ordenarse de una manera muy concreta, y esto es lo que explicaremos a continuación.

¿Qué es un polinomio ordenado?

Un polinomio ordenado es un polinomio que tiene una estructura ordenada según los grados de los distintos términos. Empezamos con el término de mayor grado (en la izquierda) y añadimos hacia la derecha los siguientes términos con el grado progresivamente menor. Si tienes un polinomio de grado 3, el orden ha de ser como el del ejemplo: 4x³ – 3x² + x – 5.

Si nos encontramos con un polinomio completo tenemos que ordenar los términos según el valor del grado. Y en el caso de tener un polinomio incompleto, seguimos el mismo procedimiento. Y si el término de grado dos no existe, simplemente pasamos al siguiente, sin tenerlo en cuenta. En el siguiente ejemplo, puedes verlo de una forma más clara: 2x³ – 4x + 1.

Te estarás preguntando es ¿De qué sirve tener un polinomio ordenado? Pues la verdad es que para la manipulación de polinomios es muy práctico. Ya que los puedes evaluar rápidamente mirándolos de izquierda a derecha. Por ejemplo, si tienes que simplificar u operar con expresiones de este estilo, es más cómodo tener los términos de grado común en el mismo lado.

Ejemplos de polinomios ordenados y polinomios desordenados

Los polinomios se pueden clasificar de muchas maneras, pero aquí nos centraremos en los polinomios ordenados y los desordenados. Tenemos que recordar que un polinomio está ordenado si sus términos están dispuestos en orden creciente de acuerdo con su grado. Por ejemplo, el polinomio x² + 3x – 5 está ordenado, ya que los grados están en orden creciente.

En contraste, un polinomio está desordenado si sus términos no están dispuestos en orden creciente de acuerdo con su grado. Por ejemplo, el polinomio 4x³ – 5x + 2x² + 7 no está ordenado porque sus términos no respetan la estructura que hemos explicado. Cabe destacar que, aunque solo haya un término fuera de su lugar, ya se considera como polinomio desordenado.

El orden de los términos de un polinomio

Ahora que ya sabes cómo ordenar un polinomio y por qué es tan práctico usar este concepto matemático en tus cálculos. Te recomendamos que lo apliques en tus sesiones de estudio. Quizás no hace falta que hagas ejercicios exclusivamente centrados en ordenar polinomios, porque es algo muy fácil de hacer.

Pero, lo que sí te recomendamos que hagas, es que cada vez que vayas a resolver alguna operación de polinomios. Aunque solo vayas a hacer una simplificación, antes de hacer nada, te preguntes si está cada término en su sitio o si hace falta hacer algún cambio. Después, ya podrás empezar a resolver los cálculos de una manera correcta y práctica.

Dicho esto, si te ha quedado alguna pregunta sobre los polinomios ordenados. No dudes en preguntarnos a través de los comentarios.

En este artículo, repasaremos los conceptos necesarios para comprender qué es un polinomio completo. También, aprenderemos cómo se utiliza y por qué es una idea tan importante para la manipulación y cuantificación de polinomios. Aunque, antes que nada, es muy recomendable que te leas nuestra publicación sobre el polinomio.

¿Qué es un polinomio completo?

Un polinomio completo es una expresión algebraica que consta de una suma de términos. Cada término está formado por la multiplicación de un número, llamado coeficiente, por una potencia de x. La potencia más alta en el polinomio se denomina grado del polinomio y la más baja (x elevado a cero) se llama término independiente.

A partir de esto, definimos un polinomio completo como aquel que incluye términos de todos los grados posibles hasta el grado del polinomio. En otras palabras, si un polinomio tiene un grado de 5, entonces debe incluir términos de grado 5, 4, 3, 2, 1 y 0. Dicho de otra manera, un polinomio completo es aquel que no tiene ningún término nulo (igual a cero).

En la imagen siguiente, puedes visualizar un ejemplo de esto. Tal como se puede apreciar, tiene un término para cada exponente de x, desde x elevado a la cuatro (siendo cuatro el grado del polinomio) hasta x elevado a la cero, en el término independiente. Con lo cual, este polinomio cumple con la definición de polinomio completo.

En cambio, si tenemos otro polinomio tal como el de la próxima imagen, estaremos tratando con un polinomio incompleto. Puesto que le faltan dos términos, el de x elevado a la dos y el término independiente. Y partiendo de la definición de polinomio completo, si falta aunque sea un solo término, el polinomio deja de ser completo.

Ejemplos de polinomios completos

Ahora que ya conoces la definición del polinomio completo, vamos a ver algunos ejemplos reales. Empezaremos por ver un polinomio completo de grado 2, otro de grado 4 y por último, uno de grado 6. Evidentemente, podríamos plantear ejemplos de grados mucho mayores, pero la idea es la misma con todos los tipos de polinomios.

Con estos ejemplos queda muy clara la definición de polinomios completos. Es por eso que ahora ya podemos pasar al siguiente nivel. En el próximo apartado te detallaremos los dos tipos de polinomios completos que existen, según el orden de los términos. Es algo que muchos estudiantes dan por entendido, pero es bueno repasarlo.

Tipos de polinomios completos

Podemos clasificar los polinomios completos en dos tipos: polinomios completos ordenados y polinomios completos no ordenados o desordenados. Los primeros se caracterizan por tener una estructura que tiene los términos ordenados según los grados de la x. Empezando por el grado mayor y acabando por el término independiente.

Mientras que un polinomio completo desordenado, está expresado con los términos en un orden aleatorio. Por lo tanto, puedes encontrarte el término con mayor exponente al lado del término independiente. Pero, esta forma de expresar un polinomio es poco práctica, por eso te recomendamos que uses siempre los polinomios ordenados.

A continuación, te mostraremos un ejemplo de cada tipo, para que puedas apreciar bien la diferencia.

Esperamos que este artículo te haya ayudado a entender el concepto de polinomios completos. Si tienes cualquier pregunta, no dudes en dejarla en los comentarios.