Explicaciones matemáticas

Las ecuaciones de primer grado o ecuaciones lineales son la base del álgebra, ya que si no las comprendes te será muy complicado entender ecuaciones más complejas. Entonces, la característica distintiva de este tipo de ecuaciones es que la parte literal de los monomios no puede tener exponente. Por lo tanto, en una ecuación lineal solo encontraremos monomios sin parte literal y monomios con parte literal sin exponente, como por ejemplo: 3 + x = -5 – 3x.

También destacar que estas ecuaciones suelen tener una única solución, aunque también pueden no tener ninguna. Para poder saber qué caso tenemos delante deberemos resolver la ecuación y al final analizar el resultado. De esta manera, si obtenemos una igualdad imposible como puede ser 2 = 0, entonces la ecuación no tiene solución. Por otro lado, si obtenemos una igualdad que siempre se cumple, entonces la solución equivale a todos los números reales. Y por último, si al final obtenemos la igualdad de X y un valor numérico, en ese caso tendremos un resultado único.

Procedimiento de resolución de una ecuación lineal

Resolver una ecuación equivale a calcular el valor de una variable, representada por una letra (x, y, a, b…). Entonces, para poder encontrar ese valor debemos seguir los siguientes pasos:

• Resolver paréntesis y fracciones: para empezar eliminamos todos los paréntesis y denominadores, así conseguimos una ecuación más sencilla de entender. Porque podemos apreciar directamente qué términos están acompañados de la incógnita y cuáles no, esta lectura nos permite proseguir fácilmente con la resolución de la expresión.
• Simplificar la expresión: agrupamos los términos semejantes, (los términos independientes por un lado, y los términos con x por otro). Entonces, a un lado dejaremos los números que tengan la incógnita y los demás números los pasaremos al lado contrario. Pero recuerda que para poder cambiarlos de lado, deberemos cambiar su signo.
• Operar en cada lado: realizamos todas las operaciones en el siguiente orden: potencias/raíces, multiplicaciones/divisiones y sumas/restas. Hacemos esto hasta obtener un único término en cada lado y, por lo tanto, nos queda una ecuación con la misma estructura que esta: 4x = 8.
• Aislar la variable: finalmente, solo nos queda pasar el valor que acompaña a la letra dividiendo al otro lado y de esa manera hallamos su valor final. Al finalizar este paso ya habremos despejado la incógnita y sabremos qué tipo de resultado nos queda: una única solución, una solución no válida o una solución que se cumple con todos los enteros.

Ejemplos de ecuaciones de primer grado

A continuación, puedes encontrar ecuaciones de primer grado resueltas, las cuales están organizadas en distintas categorías según la complejidad de su estructura. Entonces, conociendo el procedimiento teórico para resolver ecuaciones lineales y los diferentes tipos que existen, ya tendrás el conocimiento necesario para poder solucionarlas fácilmente y empezaremos con la práctica. Dicho esto, empecemos con la explicación teórica:

Ecuaciones de primer grado básicas

Este primer tipo de ecuaciones lineales solamente están compuestas por las operaciones aritméticas básicas (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones). A continuación te mostramos dos ejemplos resueltos, el primero es un poco más básico y el segundo es un poco más complejo en cuanto a cálculo:

Ecuaciones de primer grado con paréntesis

En segundo lugar, tenemos las ecuaciones lineales con paréntesis. Estas son algo más complicadas de resolver que las anteriores, aunque su única dificultad está en el cálculo, ya que debes respectar las propiedades de los paréntesis. Para que quede más claro, te mostramos dos ejemplos resueltos:

Ecuaciones de primer grado con potencias y raíces

El tercer nivel es bastante sencillo, ya que solamente añade potencias y raíces. La única dificultad que puedes encontrarte con estas ecuaciones es cuando el exponente o la raíz afecta a un paréntesis entero (como el segundo ejemplo que te mostraremos), pero todo lo demás sigue siendo más o menos igual. A continuación puedes encontrar dos ejemplos.

Ecuaciones de primer grado con fracciones

La última categoría de ecuaciones lineales que podemos encontrar es esta, la cual está compuesta por todos los elementos que hemos ido comentando anteriormente y además, por fracciones. Este nivel es el más complejo y hay varios métodos para resolverlas. El primero y más fácil es pasar multiplicando los denominadores al lado contrario del igual, aunque solo podemos utilizarlo cuando tenemos dos fracciones. Por otro lado, si tenemos más de dos fracciones dentro de la ecuación, entonces deberemos encontrar un denominador común y multiplicar todas las fracciones por la división de ese valor entre el denominador de la misma fracción. A continuación puedes encontrar un ejemplo de cada tipo:

Ejercicios de ecuaciones de primer grado

Ahora, te planteamos algunos ejercicios de ecuaciones lineales. Están organizados según una dificultad creciente, con lo cual las primeras ecuaciones son más fáciles que las últimas. Por eso, te recomendamos que empieces desde el principio y veas hasta dónde puedes llegar. Entonces, trata de resolver las siguientes ecuaciones, y después compara tu resultado con las soluciones que te proporcionamos.

Primer ejercicio

El primer ejercicio es una ecuación lineal muy sencilla, ya que solamente está formada por sumas y restas, además solamente tiene cuatro términos entre los dos lados de la igualdad:

Segundo ejercicio

En este caso nos encontramos con una ecuación formada por paréntesis, con lo cual nuestra máxima prioridad es eliminarlos, para después poder agrupar los términos semejantes:

Tercer ejercicio

A continuación deberás resolver otra ecuación de primer grado con paréntesis, aunque esta es algo más difícil. Esto se debe a que cuenta con paréntesis anidados (paréntesis dentro de otros). Por lo tanto, deberás seguir correctamente el orden de resolución: primero los de dentro y luego los de fuera.

Cuarto ejercicio

En este ejercicio empezamos a ver fracciones, las cuales son posiblemente el elemento más complicado dentro de las ecuaciones lineales. Aunque no te preocupes porque si te has leído la teoría, sabrás perfectamente cómo proceder:

Quinto ejercicio

En este quinto ejercicio nos aparecen fracciones con paréntesis, lo cual quiere decir que la jerarquía de resolución se complica un poco. Cabe mencionar que este ejemplo se puede resolver por medio de dos métodos: usando el método del mínimo común múltiplo u operando directamente con las fracciones. A continuación puedes ver los dos procedimientos completos:

Sexto ejercicio

A continuación vamos un poco más allá con el tema de las fracciones y los paréntesis, ya que tenemos paréntesis anidados. Este ejercicio no aporta muchas más complicaciones respecto al anterior, sencillamente es un poco más difícil en cuanto a cálculos y ya está.

Séptimo ejercicio

El siguiente ejercicio puede parecer muy fácil, pero te recomendamos que pruebes de resolverlo igual, ya que seguramente te da un resultado algo peculiar. Después de que lo hayas probado mira la solución y la explicación que hay debajo del ejercicio.

Como habrás notado, es una igualdad falsa o igualdad sin resultado, ya que no hay ningún valor que complete la ecuación correctamente. Este es uno de los casos que hemos comentado en la introducción.

Octavo ejercicio

Por último, te proponemos este ejercicio, el cual es bastante complicado porque tiene todas las complicaciones que hemos visto a lo largo de este artículo, aunque también tiene un pequeño truco. Comentar que si eres capaz de resolver esta ecuación de primer grado, entonces has entendido toda la teoría perfectamente. Y si no, no te preocupes, porque este ejercicio es bastante complicado.

Más ejercicios de ecuaciones lineales

Ahora que ya has practicado bastante deberías ser capaz de resolver ecuaciones lineales complejas. Aunque si quieres seguir practicando, te recomendamos que pruebes de resolver esta ficha de ejercicios. Pero si crees que ya has repasado suficiente, también podemos ofrecerte un artículo que te puede ayudar a entender la jerarquía de operaciones. De esta manera, sabrás qué cálculo resolver primero en todo momento y nunca te equivocarás.

¿Cuál es la mejor forma de aprender matemáticas? Los libros de matemáticas son herramientas muy útiles para el aprendizaje de los conceptos matemáticos. Aunque existen varios tipos de obras. El primero son los famosos libros de texto que solamente contienen teoría y algunos ejercicios, el segundo son los libros de matemáticas de verano, estos incluyen ejercicios de repaso. Y por último, pero no menos importante, encontramos las novelas matemáticas, las cuales son historias que nos ayudan a ver las matemáticas con una visión más completa.

Libros de texto de matemáticas

Como ya hemos comentado, podemos dividir los libros de matemáticas en diferentes categorías. A continuación hablaremos en profundidad sobre los libros teóricos de matemáticas, gracias a los cuales podremos leer la teoría y consolidarla con algunos ejercicios. Esta categoría incluye los libros que se usan en clase para dar la asignatura de matemáticas.

Principales editoriales

• Santillana: esta editorial tiene el catálogo más amplio de libros de texto sobre matemáticas, concretamente abarcan desde la primaria hasta grados superiores, pasando por la secundaria y el bachillerato. El elemento más destacable de sus libros es la relación entre teoría y ejercicios, la cual permite al estudiante interiorizar muy bien los conocimientos.
• Edebé: Edebé también es una respetada editorial, aunque esta no dispone de tanto material didáctico relacionado con el ámbito de las matemáticas. Esto no quiere decir que sea una mala opción de compra, de hecho es todo lo contrario, en especial sus cuadernos de repaso «Prepara…», (podrás verlos en el apartado de los libros para practicar).
• Editorial Selva: esta editorial tiene una serie de libros para los cursos de primaria, para aprender las operaciones aritméticas básicas. Por lo que es muy recomendable complementar las actividades de estos libros con la teoría explicada en clase. Hablaremos en mayor detalle sobre esta colección en el apartado de los libros para la primaria.
• Editorial Nadal Edarca: por último, queremos hablar sobre la colección de libros «Puente» de esta editorial. Está compuesta por libros bastante cortos (aproximadamente de unas treinta páginas), los cuales cubren toda la primaria. Podemos decir que son perfectos tanto para las vacaciones como para complementar el estudio durante el curso.

Libros de matemáticas para practicar

Ahora que ya hemos hablado sobre los principales libros teóricos de las matemáticas, a continuación nos centraremos en los libros de matemáticas de verano, aquellos que usamos durante las vacaciones para no perder nuestra práctica matemática. Aunque para poder ofrecer una mejor explicación, hemos decidido clasificar este tipo de libros entre otros tres subtipos, según el nivel lectivo.

Libros de matemáticas para niños de primaria

La mejor serie de libros de matemáticas para practicar ejercicios de la primaria es posiblemente la que pertenece a la editorial Selva. Concretamente, destacamos el primer libro, el cual es perfecto para los estudiantes de cinco años que están empezando a sumar y restar. En segundo lugar, cabe mencionar un libro de la editorial Cloud Forest Press, el cual permite interiorizar los conceptos básicos de la aritmética y las cuentas. Por último, tenemos una última recomendación para aquellos alumnos que se encuentren en un curso escolar un poco más avanzado, con la cual podrán repasar las multiplicaciones.

Libros de matemáticas de secundaria

Para preparar los cursos de la ESO existen muchísimos libros diferentes, algunos están pensados para complementar la teoría dada en clase y algunos otros son para repasar durante las vacaciones. Empezando por los primeros, es bastante común usar algún tipo de cuaderno lleno de ejercicios (aquí puedes encontrar algún ejemplo). Por otro lado, si estás buscando libros para repasar durante las vacaciones, te recomendamos mucho la colección de «Prepara…»:

Libros de matemáticas para bachillerato

Por último, encontramos los libros para practicar matemáticas de bachillerato. Estos son los más avanzados en cuanto a temario y también son los más variados, ya que en esta etapa lectiva existen diferentes itinerarios: matemáticas aplicadas a las ciencias sociales (para el bachillerato de letras), las matemáticas científicas (para el científico) y matemáticas financieras (para las optativas de economía).

Esto implica una mayor especialización, por ejemplo: libros de álgebra, libros de geometría o libros de estadística y probabilidad. A continuación te mostraremos la mejor opción de cada tipo (según nuestro criterio) y según la rama de las matemáticas que quieras practicar, podrás comprar un libro u otro:

Novelas matemáticas

¿Qué libro debo leer para entender mejor las matemáticas?, o ¿Cómo aprender matemáticas sin aburrirse? Son dos preguntas muy comunes entre estudiantes y en general gente interesada en aprender matemáticas. Aunque a veces aprender ciertos conceptos matemáticos puede ser difícil y tedioso, en estos casos las novelas matemáticas pueden ayudarte a recuperar el amor hacia esta disciplina. A continuación te mostraremos algunas de nuestras favoritas.

Los números de la vida

Las matemáticas sirven de mucho, de hecho las podemos aplicar a casi todos los ámbitos de nuestra vida cotidiana. Según el matemático Kit Yates, entendiendo esta disciplina puedes comprender mucho mejor el mundo y en consecuencia actuar acorde. Por ejemplo, estas te permiten entender cómo te sientes, cómo funciona la sociedad, cuál es el mejor asiento del tren o incluso te pueden ayudar a aprender del desastre de Chernóbil. Estas son algunas de las muchas posibilidades que ofrecen las matemáticas.

El Libro De Las Matemáticas

Con este libro puedes aprender las ideas, teoremas y pruebas matemáticas más importantes que se han planteado hasta el momento. Además, también te cuenta la historia de las matemáticas y todas las personas que hay detrás de cada gran descubrimiento. Gracias a este libro puedes conocer la imagen de las matemáticas al completo, entender conceptos muy complejos a través de explicaciones sencillas y en última instancia conocer mejor nuestro mundo.

Pifias matemáticas: Equivocarse nunca ha sido tan divertido

En los últimos dos libros que hemos comentado, se habla sobre todo lo que aportan las matemáticas a nuestra sociedad. Pero también es cierto que a veces hay pifias o fallos en la aplicación de estas al mundo real. Lo cual puede ser bastante desastroso en una sociedad que está plenamente basada en números. Para que pienses en ello, te dejamos dos ejemplos: ¿Qué hace que un puente se tambalee cuando no estaba previsto que fuera así? ¿O que un edificio tiemble cuando una clase de gimnasia que salta al ritmo de una determinada canción iguala su frecuencia de resonancia?

Crónicas matemáticas: Una breve historia de la ciencia más antigua y sus personajes

¿Conoces realmente lo que son las matemáticas? ¿Y sabes para qué sirven? Con este libro podrás resolver estas dudas fundamentales sobre las matemáticas y conocerás su historia desde la prehistoria. Cabe destacar que también encontrarás información sobre componentes emocionales que han ayudado a realizar ciertos descubrimientos, por lo tanto este libro te mostrará la parte más humana de las matemáticas.

La poesía de los números: Cómo las matemáticas iluminan mi vida

Daniel Tammet es sinestésico y tiene diagnosticado el Síndrome del sabio, es capaz de percibir un número con colores y siluetas. Además tiene un récord Guinness por recitar decimales del número pi durante horas. Con lo cual él es la persona ideal para guiarte por el maravilloso mundo de los números, ya que él los aprecia como auténtica poesía.

¿Qué es la factorización de polinomios? Es una técnica matemática que permite descomponer un polinomio en factores o expresiones más simples. Y gracias a esta simplificación, podremos realizar operaciones entre múltiples expresiones algebraicas de manera más fácil y cómoda. Entonces, a lo largo de este artículo te comentaremos diferentes métodos para factorizar polinomios y todos los casos posibles de factorización.

¿Cómo factorizar un polinomio?

Existen muchos métodos de factorización los cuales tienen una estructura de resolución propia, pero que al final se basa en lo mismo. Además, también te puedes encontrar con una gran variedad de casos en cuanto a la configuración del polinomio. Es por eso que en los siguientes apartados te comentaremos todos los procedimientos que existen y cuándo usar cada uno. Finalmente, lo aplicaremos a un ejemplo real para que acabes de adquirir los conceptos.

Factorizar un polinomio con la regla de Ruffini

El método más usado para factorizar polinomios es la regla de Ruffini, ya que es fácil de usar y además el resultado se puede hallar de manera rápida. Lo normal es usar esta técnica para la factorización de polinomios de grado superior a dos, o a veces incluso para factorizar polinomios de segundo grado. Puesto que te permite obtener las raíces de ese polinomio muy gráficamente. Aunque este uso lo explicaremos en el siguiente apartado el cual se centra en las raíces de una expresión matemática de este tipo.

Ahora haremos una breve explicación sobre la aplicación de Ruffini en la factorización. Aunque si quieres saber cómo se usa este recurso matemático de manera detallada, te recomendamos que accedas al último artículo que hemos enlazado, ya que allí está todo muy bien explicado. Dicho esto empecemos a explicar cómo factorizar polinomios con la regla de Ruffini:

• Dibujamos la cuadrícula: tal como se puede apreciar en la imagen de arriba crearemos un recuadro en el cual haremos el Ruffini. Básicamente, deberemos escribir los coeficientes de la expresión ordenados en horizontal y sin dejarnos los que tengan un valor nulo. Al final debería quedarte una representación similar a la de la imagen pero con los valores de tu polinomio.
• Calculamos las raíces: una vez tengamos dibujada la estructura y nos hayamos asegurado de que tenemos bien escritos todos los números, entonces procederemos al cálculo de la raíz. Deberás encontrar las raíces siguiendo la secuencia de cálculo que hemos comentado justo encima de esta lista (junto con las imágenes).
• Expresamos la raíz en forma (x – a): cuando tengamos todas las raíces del polinomio entonces deberemos expresarlas en el siguiente formato (x – a). Teniendo en cuenta que a son los valores que hemos obtenido, por ejemplo si hemos extraído como resultado x = 2, x = -2 y x = 4, entonces obtendremos (x – 2), (x + 2) y (x – 4).
• Juntamos todos los factores en una sola expresión: por último cuando tengamos ya todas las raíces expresadas en el formato correcto, simplemente nos quedará juntarlas en una sola expresión algebraica. Siguiendo con el anterior ejemplo, nos quedaría algo así: (x – 2) · (x + 2) · (x – 4).

Factorizar un polinomio usando las raíces de un polinomio

El concepto de raíz de un polinomio lo hemos explicado a medias en el apartado de Ruffini. Pero, la definición exacta sería: la raíz de un polinomio P(x) es un valor numérico a, tal que P(a) = 0. Por lo tanto, se trata de un número capaz de anular la función o el polinomio en cuestión. A modo de resumen podríamos decir que sirve para descomponer un polinomio en el producto de factores.

Por ejemplo, si nos dan la siguiente expresión x² − x − 2 y la factorizamos ya sea mediante la regla de Ruffini o simplemente resolviendo la ecuación de segundo grado x² − x − 2 = 0. Obtendremos dos valores x = -1 y x = 2, con lo cual si los cambiamos al formato (x – a) y los juntamos, llegaremos a la siguiente expresión: (x + 1) (x − 2), es decir el polinomio factorizado. Y esto lo podemos aplicar a polinomios de grado superior a dos, aunque la expresión estaría formada por más términos.

Factorizar un polinomio por extracción de factor común

Cuando queremos factorizar polinomios sin término independiente o expresiones que tienen un factor común en todos los términos, entonces podemos simplificar el polinomio por medio de esta técnica. Básicamente consiste en aplicar la propiedad distributiva a toda la expresión, sacando ese factor común que se repite y añadiéndolo multiplicando a todo el polinomio. A continuación puedes encontrar un ejemplo del primer caso que hemos comentado (polinomio sin término independiente):

2x³ + 10x² – 6x = 2x (x² + 5x – 3)

Doble extracción de factor común

La extracción de factor común se puede hacer hasta extrayendo factores más complejos, los cuales incluyen múltiples variables. E incluso puedes llegar a extraer polinomios derivados de la propia expresión principal. Es importante no ponerse límites cuando quieras realizar este tipo de operación, ya que el objetivo de extraer factores es simplificar al máximo una expresión algebraica.

Factorización de polinomios mediante identidades notables

Los productos notables pueden ayudarnos a factorizar expresiones polinómicas, ya que son una especie de expresiones algebraicas simplificadas. Por lo tanto, nos ayudan a pasar directamente de un polinomio extenso a una pequeña fórmula compuesta por pocos términos. Así que es bastante recomendable aprenderse las fórmulas de las identidades notables para poder identificar rápidamente cuándo podemos usarlas. Y como resultado, ahorrarnos tiempo factorizando con Ruffini o alguno de los otros métodos. A continuación, comentaremos las tres normas que debes aprenderte:

• Diferencia de cuadrados: a² – b² = (a + b) · (a – b)
• Cuadrado de la suma: a² + 2ab + b² = (a + b)²
• Cuadrado de la resta: a² – 2ab + b² = (a – b)²

Factorización de polinomios por agrupación

En contados casos podemos encontrarnos con un polinomio de estructura x² – ax – bx + ab, el cual se puede simplificar sacando factor común: x (x – a) – b (x – a). Y si volvemos a sacar factor común aún se puede simplificar más: (x – a) · (x – b). Por lo tanto, las raíces de este polinomio serían x = a y x = b. Como se puede ver este tipo de expresión algebraica tiene una estructura muy fácil de factorizar y operar.

Ejercicios de factorización de polinomios

Por último, queremos facilitarte una serie de ejercicios para que practiques la factorización de polinomios. De esta manera, podrás interiorizar mejor la teoría que hemos explicado hoy. Simplemente, deberás resolver los ejercicios en tu cuaderno y después comparar los resultados con los que te ofrecemos a continuación.

• x⁴ -1 = (x² + 1) (x + 1) (x – 1)
• x⁵ + x⁴ – x – 1 = (x – 1) (x + 1)² (x² + 1)
• 9x² + 30x + 25 = (3x + 5)²
• x⁴ – 3x³ – 3x² + 11x – 6 = (x + 2) (x – 3) (x – 1)²

Un monomio es una expresión algebraica formada por un coeficiente (valor numérico) que multiplica a una variable con un exponente, por ejemplo la expresión 4x² es un monomio. Entonces partiendo de este concepto matemático, llegamos al polinomio el cual es un conjunto de sumas y restas de múltiples monomios. En la imagen de arriba puedes ver un ejemplo de la estructura de un polinomio formado por varios monomios.

Tipos de polinomios

Gracias al exponente que tiene un determinado monomio podemos clasificar los polinomios en diferentes tipos. Podemos clasificar estas expresiones en categorías como: polinomio de primer grado, polinomio de segundo grado, polinomio de tercer grado, etc. Básicamente, debes identificar el monomio que tiene un mayor exponente y ese será el grado del polinomio. Y una vez lo sepas ya podrás clasificarlo en alguno de los tipos que acabamos de comentar.

Polinomio de varias variables

Además también existe otra manera de organizar los polinomios, que es según el número de monomios que los forman. Por ejemplo si tenemos un binomio, equivaldrá a tener un polinomio de dos términos, si tenemos un trinomio, equivaldrá a tener un polinomio de tres términos, etc. Todas estas maneras de catalogar los polinomios tienen infinitas subcategorías. Ya que estas expresiones pueden estar compuestas por todos los monomios que queramos y también pueden tener cualquier grado.

Características y propiedades de los polinomios

• Grado absoluto de un polinomio: en el anterior apartado hemos comentado la definición de grado relativo. Pero en el caso de los polinomios que están formados por más de una variable, tenemos el grado absoluto que equivale a la suma máxima de los exponentes de todas las variables de ese monomio. Por ejemplo, en el monomio 5x²y³, el grado absoluto es igual a 2 + 3 = 5.
• Polinomio ordenado: definimos un polinomio ordenado respecto a una variable cuando los exponentes de esa variable están organizados de manera ascendente o descendente. Por ejemplo, si nos encontramos este polinomio P(x) = 3x + 4x³ – x², en este caso no estará ordenado. Entonces, deberíamos arreglarlo y obtendríamos este resultado: P(x) = 4x³ – x² + 3x.
• Polinomio completo: cuando nos encontramos con un polinomio que tiene monomios con todos los exponentes posibles (desde el mayor grado hasta el término independiente), decimos que es un polinomio completo. Por ejemplo, la siguiente expresión: P(x) = 3 x² + 2x – 4 es de este tipo porque no le falta ningún exponente entre el 2 y el 0.
• Polinomio homogéneo: es aquel polinomio que tiene un grado absoluto igual en cada uno de sus monomios. Las variables pueden tener diferentes valores en el exponente, pero obligatoriamente la suma de los exponentes de las variables en todos los monomios debe ser igual. Por ejemplo: P(x) = x²y³z + 3 x⁴yz, ambas sumas dan seis 2 + 3 + 1 = 4 + 1 + 1 = 6.
• Polinomios idénticos: al encontrarnos con dos o más polinomios que comparten los coeficientes de los términos semejantes, entonces diremos que son polinomios idénticos. A continuación puedes ver un ejemplo entre dos polinomios: P(x) = 2x + 27 y Q(x) = 5 (x + 3) – 3 (x – 4), serán idénticos porque comparten los coeficientes de cada exponente: 2x = 5x – 3x y 27 = 15 + 12.
• Polinomio nulo: este polinomio solo tiene coeficientes nulos (iguales a cero), por lo tanto el valor total del polinomio también será cero. El polinomio P(x) = 0x³ + 0x² – 0x – 0 es un claro ejemplo de este tipo de polinomios, pero no debemos confundirlos con Q(x) = 0, ya que en este caso estás formando una ecuación y no quiere decir que todos los coeficientes de Q(x) sean 0.

Valor numérico de un polinomio

El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtendremos al sustituir la variable de esa expresión por un número. Simplemente deberemos resolver ese polinomio como si fuera una operación combinada. A continuación te explicaremos los tres métodos que podrás usar para obtener el valor numérico de una expresión de este estilo.

• Reemplazo directo: cuando nos dan directamente los valores correspondientes a cada una de las variables del polinomio, simplemente deberemos sustituir esas variables por esos números. De esta manera, si tenemos el polinomio P(x) = 2x² – x + 4 y nos dicen que x = 3, entonces el valor numérico del polinomio será igual a 2 · 3² – 3 + 4 = 19.
• Resolución de la variable: este caso lo aplicaremos cuando no nos den el valor de la variable directamente, pero nos den una equivalencia. Por ejemplo, P(2) si se cumple P(x – 1) = x³ – 2x + 1, entonces resolveremos primero la ecuación de 2 = x – 1 y obtendremos x = 3. Finalmente, deberemos sustituir la x por 3, tal que así 3³ – 2 · 3 + 1 = 22.
• Cambio de variable: cuando tenemos un polinomio P(x) = 4x – 2 y queremos conocer ese valor para P(x + 2). Entonces deberemos cambiar todas las x de la expresión por un (x + 2). Dicho esto vamos a ver cómo quedaría este último ejemplo resuelto: P (x + 2) = 4 (x + 2) – 2.

Operaciones con polinomios

A continuación te explicaremos cómo resolver las cuatro operaciones aritméticas básicas con polinomios, siguiendo siempre la jerarquía de operaciones. En cada apartado encontrarás un poco de teoría que te permitirá saber cómo proceder en cada caso y algunos ejemplos prácticos.

Suma de polinomios

Para poder sumar polinomios deberemos tener en cuenta que solo se pueden agrupar por términos semejantes, por lo tanto si tenemos los polinomios P(x) = 3x³ – x² + 2x – 4 y Q(x) = 2x² + 3x – 2. Entonces para poder hacer P(x) + Q(x), sumaremos los coeficientes de ambos polinomios acompañados por el mismo exponente: P(x) + Q(x) = 3x³ + (-x² + 2x²) + (2x + 3x) + (-4 -2) = 3x³ + x² + 5x – 6. A modo de resumen podemos decir que hemos agrupado y sumado los coeficientes de cada término semejante y al final hemos expresado todos los términos en un solo polinomio.

Resta de polinomios

La resta de polinomios se resuelve igual que la suma, la única diferencia es evidentemente el símbolo. Entonces agrupamos los términos semejantes, restamos y lo convertimos todo en una misma expresión. A continuación te lo mostraremos a partir de un ejemplo: P(x) = 5x³ – 2x² + x – 3 y Q(x) = 3x² + 5x + 4, entonces quedaría P(x) – Q(x) = 5x³ + (-2x² + 3x²) + (x + 5x) + (-3 + 4) = 5x³ + x² + 6x + 1.

Multiplicación de polinomios

A la hora de resolver este tipo de multiplicaciones se nos puede complicar un poco el asunto, pero si haces todos los pasos que te comentaremos, entonces todo irá bien. En esta operación matemática todos los monomios operarán con todos los demás, esto quiere decir que no multiplicaremos solamente los términos semejantes. Además, no solo cambiarán los coeficientes, sino que también cambiarán los exponentes. Con este ejemplo lo entenderás todo mucho mejor: P(x) = 2x² + 3x – 1 y Q(x) = 2x + 3:

P(x) · Q(x) = (2x² + 3x – 1) · (2x + 3) = 2x² · 2x + 2x² · 3 + 3x · 2x + 3x · 3 + (-1) · 2x + (-1) · 3 = 4x³ + 6x² + 6x² + 9x – 2x – 3 = 4x³ + 12x² + 7x – 3

Básicamente, multiplicamos los coeficientes de cada término de un polinomio con todos los del segundo y después aplicamos la propiedad de la potenciación de aⁿ · a^m = a^n+m.

División de polinomios

Por último solo nos queda explicar cómo resolver la división de polinomios, básicamente deberemos aplicar la propiedad distributiva de la división: (a + b + c) ÷ d = (a ÷ d) + (b ÷ d) + (c ÷ d). Y también aplicaremos la propiedad de la potenciación siguiente aⁿ ÷ a^m = a^n-m. Ahora lo veremos con un ejemplo sencillo: P(x) = 3x³ – 6x² + 9x y Q(x) = 3x.

P(x) ÷ Q(x) = (3x³ – 6x² + 9x) ÷ 3x = (3x³ ÷ 3x) + (6x² ÷ 3x) + (9x ÷ 3x) = x² – 2x + 3

Ahora que ya has terminado de ver cómo resolver todas estas operaciones con polinomios esperamos que ya sepas aplicarlo a la práctica. Pero si crees que este no es el caso y quieres seguir practicando un poco, entonces te recomendamos mirarte algunos ejercicios resueltos de esta página. Estos te servirán para acabar de interiorizar todos estos conceptos matemáticos.

Factorización de polinomios

Para factorizar polinomios puedes hacerlo manualmente tal como se explica en el artículo de este último enlace o puedes hacerlo con la ayuda de una calculadora de Ruffini. Te recomendamos hacerlo con esta segunda opción si quieres hacerlo rápidamente, pero si estás aprendiendo a factorizar, entonces mejor practica manualmente. La manera de hacerlo deberás elegirla dependiendo de tu situación.

Resolver polinomios con la calculadora científica

Actualmente hay muchas calculadoras científicas distintas en el mercado. Pero si estás buscando una calculadora económica y que sea capaz de resolver polinomios, te recomendamos la Casio FX-991SPX II. Es fácil de usar, muy potente y funcional, por lo cual es perfecta para cualquier estudiante de matemáticas de la secundaria y bachillerato. A continuación explicaremos de forma resumida cómo se resuelven expresiones matemáticas de este estilo con la ayuda de este modelo o alguna Casio similar.

Primero de todo deberemos introducir el valor numérico de las variables, escribiéndolo y seguidamente pulsando «STO» + letra de la variable, por ejemplo la x. Entonces cuando tengas todas las variables puestas, simplemente deberás escribir la expresión polinómica tal cual con todas las variables y números. Y finalmente deberás pulsar en la tecla igual, de esta manera obtendrás el resultado equivalente al valor numérico del polinomio.

Es muy común representar funciones para poder analizar gráficamente la relación entre las distintas variables que forman esa función. O a veces, incluso se usan este tipo de representaciones para comprar múltiples funciones. Esto se usa especialmente a la hora de realizar estudios estadísticos. Dicho esto, hoy explicaremos un método muy sencillo que consiste en tan solo 3 pasos para poder graficar cualquier función. Además, también comentaremos cómo analizar el resultado gráfico para poder sacar algunas conclusiones.

Tipos de funciones

Antes que nada, deberemos entender las características de los distintos tipos de funciones y cuáles son las diferencias que se deben tener en cuenta a la hora de representarlas. De esta manera, nos será más fácil llevar a cabo la graficación, es por eso que ahora comentaremos muy brevemente cada tipo. Cabe destacar que hay muchos tipos de funciones, por lo cual nos centraremos en los dos tipos de funciones polinómicas más importantes y en las funciones definidas a trozos.

Funciones lineales

La función lineal o función polinómica de primer grado es aquella función cuya expresión es un polinomio de grado 1. Entonces, su expresión sigue el modelo f(x) = mx + n, siendo m el pendiente y n la ordenada. Básicamente, estas funciones tienen una forma gráfica equivalente a una recta. A continuación, puedes ver un ejemplo:

Funciones cuadráticas

La función cuadrática o función parabólica se expresa por medio de un polinomio de segundo grado y es por eso, que tiene una forma de parábola. Como modelo a seguir tendremos en cuenta la siguiente expresión: f(x) = ax² + bx + c, siendo a ≠ 0. También, hay dos otras características destacables de estas funciones, la amplitud y el crecimiento. A continuación, puedes ver un ejemplo:

Funciones definidas a trozos

Una función definida a trozos es aquella que tiene diferentes definiciones según el valor de x. Entonces, cuando la x ocupa un cierto rango de valores, deberemos tratar una expresión. Mientras que cuando la x ocupa otros valores, deberemos tratar una expresión distinta. Es aquí donde nos encontramos con discontinuidades y, por lo tanto límites. Ya que, donde termina una función puede ser que empiece otra, pero sin conectar directamente. A continuación, puedes ver un ejemplo:

¿Cómo representar funciones lineales?

Para poder representar una función lineal de manera gráfica, deberemos seguir tres pasos muy sencillos. A continuación, explicaremos el procedimiento, aunque si si lo que quieres es aprender a graficar funciones parabólicas, entonces te recomendamos que mires el siguiente apartado.

Elaborar una tabla de valores

Para poder graficar una función deberemos hacer una tabla de valores en la cual apuntaremos todos los valores de las variables. Básicamente, nos permitirá establecer una relación entre ambas variables y de esta manera, podremos trazar el recorrido de la función. Si no sabes cómo hacer una tabla de valores, puedes mirarte este último enlace. Aunque a modo de resumen, consiste en dar un valor a la variable independiente y sustituir la incógnita en la función que las relaciona. Así tendremos los dos números asociados, la siguiente tabla muestra un ejemplo:

Partiendo de la función f(x) = 2x+1:

x	f(x)
0	1
1	3
2	5
3	7

Dibujar puntos en la gráfica y unirlos dibujando la función

Una vez tenemos la tabla hecha, ya podemos empezar a dibujar los puntos en una gráfica. Esto lo hacemos asociando la variable independiente al eje x y la otra al eje y, y de esta forma obtendremos los puntos. Puedes dibujar tantos puntos como quieras, aunque para representar funciones de este estilo suele ser suficiente con calcular cinco puntos. Ya que, siguen una trayectoria rectilínea y, por lo tanto, continúa siendo la misma por mucho que avances.

Utilizar el pendiente para graficar una función lineal

Existe un segundo método para poder graficar funciones lineales sin tablas de valores, el cual consiste en calcular el pendiente de la función: m = (variación vertical / variación horizontal). Entonces, una vez tenemos calculado el pendiente deberemos mirar el punto de partida. Siguiendo con el anterior ejemplo f(x) = 2x+1, sabemos que el punto de partida será (0, 1), porque en x = 0, la ordenada = 1 (lo deducimos a partir del +1 que hay en la expresión). Y después simplemente deberemos sumar el pendiente que en este caso es igual a +2 verticales por cada 1 horizontal. Entonces, sabremos que el siguiente punto será el (1,3).

¿Cómo representar funciones cuadráticas?

Para representar una función cuadrática podemos seguir dos métodos, el primero es por medio de tablas de valores. Y el segundo consiste en calcular una serie de puntos clave: el vértice, los puntos de corte con el eje X y el punto de corte con el eje Y. Este último es el que explicaremos a continuación:

Calcular el vértice de una parábola

Existen dos fórmulas que nos permiten calcular el vértice de una función parabólica, básicamente una nos da como resultado el punto del vértice del eje X y la otra nos da el punto del vértice del eje Y. Puedes encontrar las dos fórmulas aquí abajo, pero ambas tienen una estructura similar.

Calcular los puntos de corte con el eje X de una función cuadrática

Para obtener los puntos de corte del eje X (los puntos de la parábola que están situados sobre el eje de las abscisas), simplemente deberemos igualar la expresión a 0: f(x) = 0. Entonces, solo nos faltará resolver la ecuación y ya tendremos los valores de X que estamos buscando. Cabe destacar que al ser una función cuadrática, obtendremos dos resultados, no solo uno.

Calcular el punto de corte con el eje Y de una función cuadrática

Por último, para poder obtener el punto de corte con el eje Y, simplemente deberemos calcular c = f(0). Y como una parábola siempre corta el eje vertical (de ordenadas) cuando x = 0, entonces diremos que el punto de corte del eje Y será (0,c). Una vez tengamos todos estos puntos, ya podremos dibujarlos en la gráfica y solo nos quedará unirlos dibujando así, la parábola.

¿Cómo representar funciones a trozos?

Para poder representar funciones a trozos puedes mezclar todos los métodos que hemos explicado anteriormente. Ya que las funciones de este estilo están formadas por todos los tipos de funciones que hemos comentado. Por lo cual, habrá algunas que deberás calcular por medio de una tabla de valores y otras que deberás calcular con otros métodos. Aunque, una vez dominas los que hemos explicado en este artículo, ya no tendrás ningún tipo de problema a la hora de representar funciones a trozos.

Por otro lado, como a la hora de representarlas necesitas hacer un estudio de continuidad, te recomendamos que aprendas a resolver límites, si no sabes ya. Esto te ayudará a representar correctamente los puntos de los extremos de cada función. Dicho esto, ya estarás listo para poder graficar funciones definidas a trozos y también, cualquier otro tipo de función. Ahora te dejamos con una serie de trucos para graficar y con una explicación muy útil sobre la capacidad de la calculadora para hacer representaciones gráficas.

Trucos para hacer representaciones gráficas

Si quieres descubrir algunos trucos y estrategias para dibujar gráficas, aquí te dejamos un vídeo que te servirá para repasar y para poder aprender estos trucos:

¿Cómo hacer gráficos con la calculadora?

Si tienes una calculadora gráfica, entonces tendrá la capacidad de hacer representaciones gráficas. Lo cual puede ser muy fácil de hacer una vez conoces el procedimiento, pero si aún no sabes cómo hacerlo, ahora te lo explicaremos.

• Acceder al modo gráfico: el primer paso de todos es acceder a la opción de gráficos o representaciones gráficas del menú. Es posible que esta opción esté etiquetada con un nombre diferente en el caso de tu calculadora, pero contendrá palabras similares a graficación o las que ya hemos comentado.
• Personalizar las opciones del gráfico: una vez estemos dentro del editor de gráficos, deberemos poner un nombre al archivo, etiquetar los ejes, seleccionar el número de elementos que graficarás y configurar las opciones estéticas de la representación. Este es un paso muy rápido de hacer.
• Añadir los puntos de la función: seguidamente ya podrás empezar a añadir los puntos que formarán la figura. Esto lo podrás hacer escribiendo los puntos con la siguiente notación: (0,1), (3,2)… Y seguirás añadiendo los puntos hasta terminar la representación gráfica.
• Utiliza la función de «Vista Previa»: una vez hayas terminado con el proyecto puedes previsualizar el resultado y ver si está quedando como esperabas. Además, hay muchos modelos que tienen opciones de edición junto con esta de previsualización, así que podrás modificar el resultado hasta que quede perfecto.
• Guardar el proyecto: una vez finalizado todo el procedimiento de edición no te olvides de guardarlo en una ubicación fácil de recordar. De esta manera, siempre que lo necesites podrás volver a acceder al proyecto para visualizarlo o para hacer cualquier mejora que quieras.

Mejores calculadoras para representar funciones

Si estás interesado en adquirir un modelo gráfico para poder representar funciones en la misma calculadora, te recomendamos dos modelos: la HP 50G y la HP Prime. Son dos modelos de altísima calidad, aunque son caros, por lo cual deberás pensar si la inversión te sale rentable. Por ejemplo, si vas a estudiar una carrera como ingeniería que es muy compleja en cuanto a matemáticas, entonces será muy recomendable comprar uno de estos dos modelos. Pero, si no necesitas tanta potencia de cálculo ni de representación gráfica, quizás con la Casio FX-9750GII sea suficiente para ti.

¿Cómo graficar funciones online?

Siempre puedes elegir la opción de usar programas de graficación online, tales como: Desmos, Geogebra y muchísimos más. De esta manera obtendrás gráficos muy precisos de una forma rápida. Se puede decir que la forma digital se usa cuando quieres graficar funciones de forma fácil y rápida. Por otro lado, si quieres graficar funciones para poder editarlas (modificar todos sus atributos) y tener a tu alcance recursos de análisis de funciones de alta calidad, entones te recomendamos comprar una calculadora científica.

En este artículo haremos una explicación completa sobre la resolución de problemas matemáticos escritos. Concretamente, definiremos las etapas de razonamiento que hay que seguir, algunas técnicas de resolución y finalmente pondremos ejercicios de matemáticas de distintos ámbitos para que puedas practicar. En resumen, después de leer este texto tu manera de resolver problemas de matemáticas seguramente será distinta. Aunque, si simplemente has entrado aquí para poder practicar la resolución de problemas, puedes saltarte la teoría e ir directamente a los problemas.

¿Cómo resolver problemas matemáticos?

A continuación, repasaremos detalladamente los pasos que debes seguir a la hora de resolver preguntas matemáticas del estilo problemas. Evidentemente, no existe un proceso concreto y completo que te permita resolver todos los problemas matemáticos que puedas encontrarte. Pero, sí que existe un método un poco más general y universal que te guiará durante el proceso. Este es el que explicaremos en este apartado:

Planteamiento: comprender el problema

Lo primero de todo, antes de empezar a escribir cálculos y hacer representaciones esquematizadas, deberemos comprender el problema. Ya que si nos saltamos esta parte, básicamente estaremos intentando resolver un problema «a lo loco». Por eso, recomendamos leer el enunciado varias veces (como mínimo dos veces) e incluso puedes subrayar los conceptos importantes: los que incluyen datos numéricos y palabras que implican un cálculo. Si no sabes qué son estas palabras clave de matemáticas, aquí puedes encontrar un artículo donde lo explicamos. Pero a modo de resumen son una lista de palabras, de las cuales cada una equivale a alguna operación matemática, por ejemplo «total = suma», «sobrante = resta» y muchas más.

Representa el ejercicio con un esquema organizado

Una vez has entendido el ejercicio, es muy recomendado organizar toda la información en formato de esquema. De esta manera, podrás ver fácilmente todas las relaciones entre las distintas variables. Y por lo tanto, encontrarás rápidamente el camino a seguir para resolver el ejercicio. Evidentemente, el esquema puede tener el diseño que quieras, aunque debes procurar que se entienda bastante bien porque si no, más que ayudarte lo único que hará será confundirte.

Elaborar un plan de ejecución

Cuando hayas terminado de ordenar los datos del problema en el esquema, será el momento de pensar en todas las soluciones posibles que existen para resolver este ejercicio. Si ves que te cuesta esta fase de razonamiento puedes intentar conectar todos los recursos matemáticos que conozcas con la resolución del problema. Y si aún sigues teniendo alguna dificultad en esta fase del proceso, entonces te recomendamos que leas el siguiente apartado. Porque en él mostraremos algunas estrategias que puedes usar en la resolución de problemas y que te ayudarán a mejorar la comprensión y la búsqueda de soluciones.

Proceso: cálculos y estrategias de resolución

A continuación, hemos hecho un listado de trucos y estrategias para la resolución de problemas de matemáticas:

• Comparar con problemas similares: seguramente los problemas que te salgan en el examen guardarán relación con los que has hecho en clase. Entonces, deberás encontrar estas similitudes entre los problemas y así, podrás determinar qué camino seguir para resolverlo, porque ya conocerás ese estilo de enunciado.
• Divide el problema en partes más sencillas: una metodología muy recomendada es partir el ejercicio a piezas para poder ir resolviendo esas partes más pequeñas y al final unirlo todo. Así tendrás una visión más específica de cada subgrupo y tendrás más capacidad para entenderlos.
• Simplifica todo lo que puedas: otra manera de resolver problemas matemáticos la cual es bastante similar a la anterior, consiste en simplificar al máximo el ejercicio. Con esto se incluye la notación (debe ser cómoda de usar), las herramientas que uses, el esquema que dibujes y cualquier elemento que esté relacionado con la resolución.
• Aprovecha los errores: si has probado un método de resolución y este no te ha funcionado, no te frustres, simplemente aprovecha ese error para aprender. De esta manera, si te preguntas ¿Por qué este método no funciona?, encontrarás un elemento clave que te estaba alejando de la solución y por lo tanto, ahora estarás más cerca.
• Método ensayo y error: este procedimiento es bastante conocido, básicamente consiste en ir probando distintos caminos hasta que encuentras el bueno. Solo deberás pensar todos los casos que creas que son posibles e ir probándolos uno a uno, descartando los que te dan mal.

Conclusiones finales

Siempre es muy recomendable revisar el ejercicio al final de todo y sacar unas conclusiones sobre lo que has aprendido. Ya que de esta manera, mejorarás la capacidad de razonamiento matemático y la próxima vez que intentes solucionar un problema te será más fácil. Además, cuando repases podrás identificar más fácilmente cualquier error, ya sea de cálculo, de comprensión o de razonamiento.

Uso de la calculadora para problemas de matemáticas

Las calculadoras científicas son una herramienta muy potente y útil en cuanto a la resolución de problemas, ya que, permiten agilizar los cálculos. Además, te dan confianza en el cálculo porque sabes que ellas no se equivocan. Pero, sí que hay una serie de hábitos que tienes que adquirir cuando quieras resolver problemas con la calculadora o cualquier otro tipo de ejercicio matemático. El primero de ellos es mirar todas las opciones personalizables de la calculadora, por ejemplo las unidades angulares, el método del redondeo… Ya que, esto suele causar errores. Y también debes revisar los cálculos que escribas varias veces porque la calculadora no se equivocará, pero un humano sí. Por lo tanto, verifica dos o tres veces la escritura de los cálculos.

Tipos de problemas matemáticos

En este apartado, hemos recogido problemas de varios niveles lectivos para que los estudiantes practiquen los conceptos más importantes de las matemáticas. Ten presente que cada fila contiene problemas de las siguientes dificultades: fácil, media y difícil, y están ordenados de más fácil a más difícil.

Problemas de suma y resta

1. Si Andrés tiene 23 peras, se come 2, le da a María 3 y regala otras 3 a su padre. ¿Cuántas peras le quedan a Andrés? RESPUESTA: 15 peras.
2. En un aparcamiento hay 14 coches rojos, 25 coches azules, 42 coches blancos y 23 motocicletas. ¿Cuántos coches hay en total en el aparcamiento? RESPUESTA: 81 coches.
3. Alberto ha comprado un ordenador por 261 euros, también ha comprado un bañador nuevo de 35 euros y por último ha pagado 24 euros por una cena. ¿Cuánto dinero ha gastado Alberto en total? RESPUESTA: 320 euros.
4. Para comprar una casa, Hugo paga 24.532 euros más que Juan y Lucas 34.856 euros menos que Juan. Si Juan pagó 245.312 euros, ¿cuánto pagaron por la casa? RESPUESTA: 725.612 euros.

Problemas de multiplicaciones

1. Un tren está formado por 5 vagones y en cada vagón hay 30 personas. ¿Cuántos pasajeros hay en total en el tren? RESPUESTA: 150 pasajeros.
2. Si he comprado 31 litros de leche y cada litro de leche cuesta 3 euros. ¿Cuánto me he gastado? RESPUESTA: 93 euros.
3. Para poder comprar el regalo de su madre, Sandra ha puesto 12 euros y su hermano ha puesto dos veces más dinero que ella. Entonces, ¿cuánto dinero ha costado el regalo? RESPUESTA: 36 euros.
4. Si una entrada un concierto cuesta 215,45 €. ¿Cuánto costarán 45 entradas? RESPUESTA: 9650,25 €.

Problemas de divisiones

1. He tardado seis días en leerme un libro, mientras que Pepe lo ha hecho en la mitad del tiempo. ¿Cuánto ha tardado Pepe? RESPUESTA: 3 días.
2. Si repartimos toda el agua que hay en un depósito de 56 litros en 7 recipientes distintos. ¿Cuántos litros de agua habrá en cada recipiente? RESPUESTA: 8 litros.
3. Un camión transporta 13.120 galletas en paquetes de 8 y a su vez, estos están agrupados en cajas de 20 paquetes. ¿Cuántas cajas lleva el camión de transporte? RESPUESTA: 82 cajas.
4. Si el producto de dos números es 66,875 y uno de esos números es 12,5. ¿Cuál es el otro número? RESPUESTA: 5,35.

Problemas de fracciones

1. En la mesa hay 12 objetos, de los cuales 5 son libros. Representa la proporción de libros en relación al total de objetos con una fracción. RESPUESTA: 5/12 libros.
2. Dolores ha recorrido 1,2 Km que son 2/3 de todo el camino que debe recorrer. ¿Qué distancia habrá recorrido en total una vez llegue a su destino? RESPUESTA: 1,8 Km.
3. Si me gasto 1/4 del dinero que tengo ahorrado en comprarme un libro y después me compro unas galletas que cuestan 1/8 del dinero que me sobraba. ¿Cuánto me queda ahora? RESPUESTA: Me queda 5/8 de lo que tenía al principio.
4. Ana dispone de 400 euros para gastarse en lo que quiera. El viernes gastó 2/5 de esa cantidad y el sábado 3/4 de lo que le quedaba. ¿Cuánto le queda al final? RESPUESTA: 60 euros.

Problemas de porcentajes

Antes de empezar con los problemas de porcentajes, queremos decirte que tenemos un artículo muy completo en el cual enseñamos a calcular porcentajes. Por lo tanto, si no sabes o crees que te cuesta un poco, puedes mirarte ese artículo y después volver aquí para ver si puedes resolver estos problemas. Dicho esto, aquí están los ejercicios de porcentajes:

1. En un pueblo de 15.000 habitantes, el 60% son mujeres. ¿Cuántas mujeres hay? RESPUESTA: 9000 mujeres.
2. Carlos marcó tres goles, que suponen el 30 % de su total de tiros a la portería. ¿Cuántos tiros a portería realizó? RESPUESTA: 10 tiros.
3. Si tenemos 400 pelotas y sabemos que el 25% de ellas son de color azul, el 55% son blancas y el resto son rojas. ¿Cuántas pelotas hay de cada color? RESPUESTA: 100 pelotas azules, 220 pelotas blancas y 80 pelotas rojas.
4. Si Julio tiene 120 videojuegos, de los cuales el 20% de ellos son de estrategia, el 40% de acción y el resto son de coches. ¿Cuántos videojuegos tiene Julio de coches? RESPUESTA: 48 videojuegos de coches.

Problemas de ecuaciones

Los problemas de ecuaciones son bastante complicados para los estudiantes, porque marca el cambio entre problemas de cálculo básico y problemas de cálculo con variables. Es por eso, que debes saber cómo resolver ecuaciones bastante bien, antes de empezar con estos problemas.

1. Encuentra el número que cumple que la suma de su doble y de su triple es igual a 100. RESPUESTA: 20.
2. Si Pilar es 12 años menor que Juana y dentro de 7 años la edad de Juana es el doble que la edad de Pilar, ¿qué edad tiene Juana? RESPUESTA: 17 años.
3. Dado un número, la suma de su mitad, su doble y su triple es 55. ¿Qué número es? RESPUESTA: 10.
4. Determina tres números consecutivos, tales que la suma de sus cuadrados sea 365. RESPUESTA: 10, 11 y 12.

Problemas de matemáticas difíciles con solución

A continuación, hemos hecho una recopilación de ejercicios complicados, no como los problemas de matemáticas sencillos que hemos puesto hasta ahora. En realidad, estos son problemas de lógica matemática bastante populares, a ver si eres capaz de resolverlos. Recuerda que si quieres comprobar tu respuesta, podrás encontrar las soluciones más abajo.

1. El padre de Juan le dice a su hijo que le va a dar dos monedas. “Entre las dos suman tres euros, pero una de ellas no es de un euro”. ¿Cuáles son las monedas?
2. ¿Cuántas veces puede restarse el número 1 del número 1.111?
3. Un hombre compra un caballo por 60 €. Vende el caballo por 70 €. Después vuelve a comprar el caballo por 80 € y lo vende, otra vez, por 90 €. Al final, ¿cuánto dinero ganó o perdió el hombre? ¿O está en bancarrota?
4. Unos amigos quieren repartir 1000 euros de un premio de manera inversamente proporcional a las veces que han llegado tarde a las citas. Si Juan ha llegado tarde 2 veces, Marta 3 veces y Lucas 5 veces, ¿cuánto le corresponde a cada uno?

Soluciones de los acertijos matemáticos

1. Una moneda es de dos euros y la otra es de un euro. El padre de Juan dice que una de ellas no puede ser de un euro… pero la otra sí puede serlo.
2. Solamente una, ya que en las ocasiones consecutivas estaríamos restándolo al número 1.110, 1.109, 1.108.
3. El hombre gana 10 € por venta, así que el resultado es 20 €. El truco aquí está en realizar los cálculos de cada venta por separado.
4. Juan tan solo llega 2 veces tarde: 483,87 €, Marta llega 3 veces tarde: 322,58 € y Lucas llega 5 veces tarde: 193,54 €.

Problemas de matemáticas por niveles

Si estás interesado en problemas de matemáticas para una etapa lectiva en concreto, a continuación te mostramos algunos enlaces para que encuentres ejercicios de esa etapa en particular. Aunque si no lo has hecho, puedes probar los problemas que hemos incluido en este artículo, ya que son de distintos niveles de dificultad. Y aunque encuentres muy sencillos algunos, siempre te servirán para repasar.

Problemas de matemáticas primaria

Si quieres encontrar algunos problemas para repasar los conceptos que se enseñan en la primaria, puedes visitar el siguiente enlace. En él encontrarás ejercicios para los siguientes cursos: 1º de primaria, 2º de primaria, 3º de primaria, 4º de primaria, 5º de primaria y 6º de primaria.

Problemas de matemáticas ESO

En este segundo enlace podrás encontrar problemas y ejercicios resueltos de los distintos cursos de la secundaria. Simplemente, deberás acceder al área correspondiente de tu nivel de estudio y ya podrás navegar por ahí buscando los problemas resueltos.

Recursos para aprender más sobre la resolución de problemas

También te recomendamos que eches un vistazo a estos acertijos matemáticos, los cuales te harán pensar un poco.

La regla de Ruffini es un procedimiento matemático, que fue desarrollado por Paolo Ruffini, el cual nos permite dividir polinomios de la forma (x – a). También se conoce a este método matemático como hacer una división sintética. Pero, ¿cómo se usa este procedimiento y cuáles son sus pasos? Y ¿cómo se puede resolver un ejercicio de Ruffini con la calculadora? Todo esto lo explicaremos en este artículo de forma resumida y fácil de entender, además, te recomendaremos las mejores calculadoras para Ruffini.

Calculadora de Ruffini online

Si quieres factorizar un polinomio puedes usar esta calculadora, la cual te permitirá factorizar cualquier expresión que quieras, siempre y cuando la escribas usando los siguientes símbolos: ^ (para elevar) y / (para dividir). Y puedes estar tranquilo/a, porque esta calculadora es capaz de factorizar polinomios de grado 3 e incluso grados más altos. Por lo cual, esta es la herramienta de cálculo definitiva para factorizar polinomios online.

¿Cómo aplicar Ruffini?

En este apartado, comentaremos cómo realizar Ruffini y resolveremos un ejemplo concreto usando el método, de esta manera, podrás ver de una forma clara y gráfica todo el procedimiento. Lo cual te permitirá entender este concepto desde la raíz y lo recordarás posteriormente en el examen. Además, hemos incluido un vídeo explicativo que te permitirá entender este concepto incluso si te ha quedado alguna duda con la explicación escrita.

Requisitos para que se pueda usar el método de Ruffini

Antes de empezar a resolver una división de polinomios o antes de factorizar un polinomio, deberemos fijarnos en el divisor. Si este es de primer grado, entonces, podremos proceder con el método de Ruffini. Por otro lado, si el divisor es de grado mayor a 1, no podremos resolver el cálculo siguiendo este procedimiento. Por eso, deberemos usar cualquier otro método para dividir polinomios. Este es un factor que se debe revisar antes de empezar a realizar los cálculos porque de lo contrario, puedes perder mucho tiempo.

Procedimiento para dividir polinomios con la Regla de Ruffini

Ahora que ya sabemos cuándo se puede usar este recurso matemático, vamos a ver los distintos pasos que hay que seguir para poder factorizar un polinomio. Entonces, partiendo del ejemplo (x³+3x²-1) / (x-2), primero deberemos escribir los coeficientes del dividendo en una fila horizontal, representando los términos que faltan con un cero. Y después, pondremos el término independiente del divisor en signo contrario separado, tal como se muestra en la imagen.

A continuación, deberemos bajar el primer coeficiente (el que acompaña a la variable elevada a un mayor exponente). No haremos ninguna operación con este número, tal como está lo bajaremos y procederemos al siguiente paso.

Seguidamente, empezaremos con una serie de pasos bastante repetitivos: multiplicaremos el número que hayamos bajado por el divisor y pondremos el resultado debajo del siguiente término. Después, sumaremos el siguiente término entre ese resultado y lo escribiremos al lado del primer número que hayamos bajado.

Si seguimos esta secuencia de pasos hasta terminar la tabla, nos quedaría la siguiente disposición. De esta manera, sabremos que el residuo es igual a 19 (último número que hemos calculado) y que la expresión restante (cociente) será x²+5x+10. Toda esta información la hemos sacado de los números situados en la fila inferior. Y en el caso de estar factorizando un polinomio, deberemos usar este cociente para seguir encontrando las demás raíces.

Vídeo explicativo de la Regla de Ruffini paso a paso

El siguiente vídeo explica la misma teoría que acabamos de comentar, también de una forma muy resumida, ya que el vídeo tan solo dura cinco minutos. Y es exactamente por esto que te recomendamos mucho que lo veas completo, porque así verás más ejemplos e interiorizarás mejor el concepto. Además si te ha quedado alguna duda sobre el procedimiento, muy posiblemente la podrás solventar viendo este vídeo.

¿Cómo poner Ruffini en la calculadora?

Para poder dividir polinomios con Ruffini en la calculadora, simplemente, deberemos acceder a los solucionadores de la calculadora, o dicho de otra forma, acceder al modo de cálculo para ecuaciones. Y una vez estemos dentro, seleccionaremos la opción de ecuaciones polinómicas, ya que queremos factorizar un polinomio. Seguidamente, seleccionaremos el grado de la expresión y ya podremos entrar en el editor matemático, por eso, introduciremos la expresión. De esta manera, cuando obtengamos las raíces del polinomio, ya solo nos quedará escribirlo en el formato de (x – a). Todo este procedimiento (excepto la parte de las raíces) es idéntico al que usaremos para resolver ecuaciones con la calculadora.

Las mejores calculadoras para calcular el teorema de Ruffini

Actualmente, podemos encontrar muchas calculadoras capaces de resolver operaciones con polinomios y factorizarlos. Aunque, hay ciertos modelos que destacan en cuanto a sencillez de uso y precio. Dos buenos ejemplos son la Casio FX-991SPX II y la Casio FX-991ES PLUS, de hecho, la explicación que hemos hecho en el anterior apartado está basada en el funcionamiento de estos dos modelos. Aunque como ya hemos dicho, puedes encontrar otras calculadoras científicas que también te servirán para hacer Ruffini a la perfección.

Ejemplos y ejercicios de Ruffini

La Regla de Ruffini se puede practicar cogiendo dos polinomios al azar, siempre y cuando cumplan las normas que hemos comentado al principio. Aunque también puedes probar de factorizar polinomios de grado mayor a uno por medio de este procedimiento matemático. Así estarás repasando el mismo mecanismo matemático y a su vez, repasarás el concepto de raíz de un polinomio. A continuación, te mostraremos dos polinomios que deberás factorizar y una división bastante simple, la cual deberás resolverla usando el método de Ruffini.

Ejercicio 1

Factoriza el polinomio: 2x³-7x²+8x-3

Raíces: x=1 y x=1, por lo tanto, nos quedaría (x-1)²(2x-3)

Ejercicio 2

Factoriza el polinomio: x³+2x²-x-2

Raíces: x=-2, x=-1 y x=1, por lo tanto nos quedaría (x+2)(x+1)(x-1)

Ejercicio 3

Resuelve la división entre polinomios siguiente: (3x³-5x²+2) / (x-2)

Cociente: 3x²+x+2, resto: 6

Si quieres más ejercicios de Ruffini te recomendamos mirar este artículo de Superprof, en el cual se explican los mismos procedimientos que en este artículo. Pero, con ejemplos y ejercicios de Ruffini un poco diferentes, por lo cual, a lo mejor, puedes resolver algunas dudas con más práctica. En cualquier caso, esperamos que te haya servido nuestro contenido y la calculadora de Ruffini.